РОЗДІЛ 2
АЛГОРИТМИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ З ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ?-МАТРИЦЯМИ
Матриці з поліноміальними елементами дістали широке практичне застосування, зокрема СЛАР з ?-матрицями виникають в задачах динамічного програмування [81], будівельної механіки [19], в некласичних задачах для диференціальних рівнянь [67], в алгоритмах оптимізації електронних схем [30]. Тому побудова ефективних методів обчислення невідомих для таких систем - потрібна і достатньо важлива задача. В циклі робіт [56-62] були розглянуті різні підходи до розв'язування СЛАР з квадратними та прямокутними ?-матрицями. Однак, в багатьох застосуваннях, наприклад, в некласичних задачах для диференціальних рівнянь [67], в алгоритмах оптимізації електронних схем [30], в розрахунках радіолокаційних антен [27], виникає необхідність розгляду іншого випадку - СЛАР, коефіцієнтами яких є тригонометричні поліноми. Тригонометричні многочлени, як ефективний засіб наближення періодичних функцій, знаходять широке застосування і в багатьох інших задачах, тому пошук методів розв'язування СЛАР з тригонометричними ?-матрицями є задачею актуальною.
Предметом розгляду даного розділу будуть СЛАР з тригонометричними ?-матрицями. Зупинимось на викладі основних означень та тверджень, що будуть застосовуватись, з алгебри тригонометричних многочленів [51], теорії поліноміальних матриць [48] та тригонометричних ?-матриць [79].
2.1. Деякі властивості матриць тригонометричних поліномів
2.1.1. Алгебра ?-матриць.
Означення 2.1. ?-матрицею або матрицею многочленів називається матриця А(?) розмірності n?n, елементи якої - многочлени від ?.
Значення для ? та коефіцієнти многочленів беруться із поля чисел F, так що коли елементи А обчислюються для деякого часткового значення, наприклад ?=?0 , то .
Означення 2.2. Якщо існує деякий елемент в матриці А(?), який є многочленом від ? степеня s (s?N), і немає елементів в А(?) степеня, більшого за s, то кажуть, що s - степінь матриці А(?).
Якщо А(?) має степінь s, то її елемент може бути записаний у вигляді:
,
При цьому повинен існувати хоча б один елемент, для якого . Якщо матриця така, що її елемент дорівнює , тоді А0 - ненульова і
.
Означення 2.3. ?-матриця називається регулярною, якщо det (A0) ? 0.
Над ?-матрицями однієї розмірності можна виконувати арифметичні операції.
2.1.2. Алгебра тригонометричних поліномів.
Означення 2.4. Тригонометричним поліномом від змінної називається скінченна тригонометрична сума:
,
де . Число l називається степенем тригонометричного полінома.
Означення 2.5. Тригонометричний поліном від змінної , записаний в комплексній формі, - це скінченна сума:
,
де .
Можна розглядати алгебраїчні кільця над тригонометричними многочленами. Нехай тригонометричні многочлени задані в комплексній формі?
і ?
Означення 2.6. Сумою многочленів Am(x) і Bl(x) називається тригонометричний поліном
,
де ,
Означення 2.7. Добутком многочленів Am(x) і Bl(x) називається тригонометричний поліном
,
коефіцієнти якого визначаються за співвідношенням?
?
Означення 2.8. Скалярним добутком векторів Am(x) i Bl(x) порядку n, елементами яких є тригонометричні поліноми степеня m та l відповідно, називається многочлен Q(x), коефіцієнти якого визначаються співвідношенням:
де m? , l? - степені, - коефіцієнти тригонометричних поліномів A?(x) та B?(x) відповідно .
Щоб дізнатися чому дорівнює частка від ділення тригонометричних многочленів Аm на Вl (m>l) необхідно визначити тригонометричні поліноми R(x) і Q(x), такі що
, .
Відомо, що за алгоритмом Евкліда результат ділення визначається за допомогою рекурентних співвідношень:
, .
Вводимо поняття тепліцевої матриці, яке будемо далі застосовувати.
Означення 2.9. Матриця А називається тепліцевою, якщо
.
Ділення тригонометричних поліномів можна також звести до розв'язування систем з тепліцевими матрицями. Частку і залишок в такому разі доцільно шукати у вигляді:
Де невідомі pk, qk можуть бути обчислені, наприклад, методом невизначених коефіцієнтів.
2.1.3. Алгебра тригонометричних ?-матриць. Будемо розглядати квадратні матриці A(х) розмірності , елементами яких є тригонометричні многочлени степеня l від х .
Означення 2.10. Дві матриці тригонометричних поліномів над полем F, A(x) i B(x) називаються еквівалентними, якщо В(х) може бути отримана із А(х) послідовністю елементарних перетворень.
Означення 2.11. Правими (лівими) елементарними перетвореннями над матрицями тригонометричних поліномів, многочлени яких мають коефіцієнти із поля F називають:
1) множення довільного стовпця (рядка) на ненульовий елемент с?F;
2) додавання до будь-якого стовпця (рядка) іншого стовпця (рядка), помноженого на довільний тригонометричний поліном над F;
3) перестановку будь-яких двох стовпців (рядків).
Множення деякої матриці тригонометричних поліномів розмірності n?n на кожну із наступних матриць справа є правим елементарним перетворенням:
, , .
За допомогою S1 другий стовпець множиться на с; за допомогою S2 n-1 стовпець, помножений на f(x), додається до другого стовпця; за допомогою S3 другий і n-1 стовпці міняються місцями.
Означення 2.12. Матриця тригонометричних поліномів Q(x) розмірності називається канонічною, якщо Q(x) - діагональна матриця diag{q1(x), q2(x), ..., qr(x), 0, ... , 0}, де r?n, qi(x) (i=) - ненульовий тригонометричний поліном, старший коефіцієнт якого - одиниця і qі(x) ділиться на qi-1(x) для і=2, 3, ... , r.
Будь-яка матриця А(х) тригонометричних поліномів еквівалентна єдиній канонічній матриці [79], яка не залежить від послідовності елементарних перетв