Розділ 2
Основні теоретичні та методичні положення, використані в роботі
2.1. Основні положення математичної теорії пружності та механіки руйнування
Клас плоских задач теорії пружності складають два практично важливих випадки:
а) деформація циліндричного тіла силами, нормальни-ми до його осі й однаковими
у всіх його поперечних перерізах – плоска деформація; б) деформація тонкої
пластини силами, що діють у її площині – плоский напружений стан [78].
Напружено-деформований стан у довільній точці деформівного пружного ізотропного
тіла визначається трьома компонентами тензора напружень і двома складовими
вектора зміщень , які у разі відсутності масових та інерційних членів повинні
задовольняти рівнянням рівноваги
(2.1)
і рівнянням стану (закон Гука для ізотропного тіла)
, (2.2)
де – об`ємне розширення, – модуль зсуву, – модуль Юнга, – коефіцієнт Пуассона,
– постійна Ляме.
Під час навантаження пружного тіла зовнішні сили виконують роботу, що
акумулюється в тілі у вигляді потенціальної енергії деформації, величина якої
для плоского випадку може бути записана у вигляді:
. (2.3)
За допомогою подання компонентів напружень і рівнянь стану через бігармонічну
функцію Ері –
, (2.4)
а також формули Гурса
, (2.5)
де – комплексні змінні (), і – функції комплексної змінної, аналітичні в
області, зайнятій пружним тілом, розв`язок плоских задач теорії пружності
зводиться до знаходження двох функцій комплексної змінної і , які задовольняють
певним крайовим умовам. У випадку плоских задач теорії пружності компоненти
тензора напружень обчислюються за допомогою функцій і за формулами:
(2.6)
де
З формул (2.6) випливають такі залежності:
(2.7)
З співвідношень (2.4) і на підставі формули Гурса (2.5) для компонент вектора
зміщень отримаємо
, (2.8)
де .
Співвідношення (2.6) – (2.8) є основними вихідними залежностями для визначення
місцевих напружень поблизу різких змін форми поверхні тіла, тобто значень
концентрації напружень, та визначення відносних змін об'єму елементів тіла –
дилатації матеріалу.
Зайняті тілом канонічні або неканонічні області S в площині можуть бути
відображені конформною функцією на круг К площини (). Тоді , , а бігармонічна
функція переходить у функцію
. (2.9)
При цьому компоненти тензора напружень та вектора зміщень знаходяться з
співвідношень:
(2.10)
, (2.11)
де
Для випадку плоскої задачі теорії пружності величина дилатації елемента тіла
обчислюється через комплексні потенціали Колосова-Мусхелішвілі [78] за
формулою:
,
де - компоненти першого інваріанту тензора деформацій.
Проте, для оцінювання міцності матеріалу недостатньо знати розподіл напружень в
точках тіла або на контурах концентраторів напружень. Момент, коли деформівне
тверде тіло з концентраторами напружень досягає граничного рівноважного стану
під дією навантажень і робочого середовища, встановлюється за допомогою
критеріїв руйнування – енергетичних, силових або ж деформаційних.
Енергетичні критерії започатковані А.А. Гріффітсом [160] і формулюються для
випадку навантаженої зростаючими розтягальними напруженнями нескінченної
пластини, ослабленої тріщиною довжини .
Згідно з концепцією Гріффітса розвиток тріщини викликає зменшення енергії
пружних деформацій тіла за рахунок збільшення поверхневої енергії в результаті
утворення нових поверхонь тіла. При цьому крихке руйнування може бути
спричинене навантаженням, що перевищує граничне навантаження
- у випадку плоскої деформації, і
- у випадку плоского напруженого стану ( – питома поверхнева енергія тіла).
Концепція Гріффітса була поширена на металеві матеріали в працях Дж.-Р. Ірвіна
та Е. Орована, які запропонували додати в останніх рівняннях до питомої
поверхневої енергії роботу пластичного деформування . Ірвін також ввів у
розгляд величину як параметр руйнування або коефіцієнт інтенсивності напружень,
сформулював силовий критерій руйнування і довів його еквівалентність
енергетичному критерію.
Однак, теорія Гріффітса–Орована справедлива для малих пластичних зон (зон
передруйнування) і не містить умов обмеження на матеріали та геометричні
параметри тіла. Огляд критеріїв руйнування, які враховують структурні параметри
матеріалу, міститься в роботі [84].
В роботах М.Я. Леонова і В.В. Панасюка [70,71,83] була запропонована
розрахункова модель, яка дає можливість звести розв`язування пружнопластичних
задач для тіл з тріщинами до відповідних граничних задач теорії пружності –
-модель. В цій моделі пластичну зону на продовженні тріщини замінено додатковим
розрізом, береги якого притягаються один до одного з напруженням , що
відображає усереднений стан вказаної пластичної зони матеріалу. Так, в рамках
-моделі встановлено граничне значення зовнішніх розтягальних напружень
нескінченної пластини, ослабленої тріщиною довжини :
де – критичне значення величини розкриття тріщини [84].
Однією з найважливіших задач в механіці руйнування є визначення критичного
розміру малої тріщини. Теоретичні дослідження появи малих тріщин вже
проводились [116]. Однак, питання визначення критичного розміру малої тріщини
при її переході до катастрофічного росту (як макроскопічної) лишалось
відкритим. В роботах [122,124,128] представлено дослідження стабільного
докритичного росту короткої тріщини при переході її до макроскопічних розмірів.
Ці дослідження здійснено за допомогою методів теорії катастроф, яка останнім
часом активно розвивається як засіб якісних досліджень різноманітних реальних
процесів, а також розрахунків надійності та довговічності деталей машин і
конструкцій [24,158,169,170].
Реальні елеме