РОЗДІЛ 2
РІВНЯННЯ І ПРИПУЩЕННЯ
Коливання всіх реальних тонкостінних оболонкових конструкцій по суті нелінійні, тому що завжди мають нелінійні залежності в об'єктивних закономірностях, які визначають їх динамічне деформування. Розгляд їх як лінійних об'єктів є результатом граничного абстрагування і це пов'язано безпосередньо з процесом переходу від реальних фізичних явищ до математичних образів, які виражаються у відповідних диференціальних (інтегро-диференціальних) рівняннях.
"Нелінійність" при коливаннях оболонок може мати "геометричне" походження (завдяки нелінійній залежності деформацій і переміщень) і "фізичне" походження (коли деформації лежать за межами застосування закону Гука, тобто нелінійно залежать від зусиль). У ряді випадків "нелінійність" може бути обумовлена складним характером розсіювання енергії при коливаннях. У деяких розрахункових схемах має місце також нелінійна інерційність, пов'язана з появою в математичній моделі оболонки нелінійних інерційних доданків.
Будемо розглядати тонку кругову циліндричну оболонку, тобто тіло, яке обмежене двома круговими циліндричними поверхнями, відстань між якими, тобто товщина, мала в порівнянні з іншими розмірами тіла. Оболонку будемо вважати замкнутою, тобто такою, яка не має границь по одній із криволінійних координат.
На серединній поверхні вибирається ортогональна система криволінійних координат. Одна з координат направлена по внутрішній нормалі до серединної поверхні, інші координатні лінії збігаються з лініями головних кривизн. Рівняння серединної поверхні задається в деякій векторній чи скалярній формі. Лінійний елемент серединної поверхні оболонки (довжина дуги) визначається першою квадратичною формою поверхні, скривлення серединної поверхні оболонки характеризується радіусом кривизни. Вважається, що оболонка тонка, відношення її товщини до радіуса менше 0,05. Передбачається, що виконуються гіпотези Кірхгофа-Лява.
Динамічні рівняння оболонки можуть бути одержані з використанням принципу Д'Аламбера чи варіаційного принципу Гамільтона-Остроградського. Відповідно до останнього, істинний рух виділяється з усіх можливих рухів, що переводять систему з того самого початкового положення за один і той самий проміжок часу в одне й те саме положення тим, що для нього виконується умова , де - кінетична і - потенціальна енергії системи, - сума елементарних робіт зовнішніх сил. Далі використовуються рівняння, одержані за допомогою принципу Гамільтона-Остроградського.
Визначивши варіацію кінетичної і повної потенціальної енергії, одержимо диференціальні рівняння руху елемента оболонки [55]. Якщо виразити зусилля і моменти, що входять у рівняння руху елемента оболонки, через переміщення і покласти одну з кривизн рівної нулю, а іншу оберненою до радіуса оболонки, то одержимо рівняння руху кругової циліндричної оболонки без пошкоджень.
Дослідження системи динамічних рівнянь оболонок являє собою досить складну в математичному відношенні задачу, оскільки загальні методи розв'язування поки що відсутні. Для наближеного розв'язання задач у наш час використовують різні варіаційні методи (Бубнова - Гальоркіна, Рітца та ін.), що зводять розв'язання системи в частинних похідних до аналізу деякої скінченої системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь, метод збуджень, метод скінчених елементів і т.д. Одним із основних питань при застосуванні прямих варіаційних методів для розв'язування нелінійних задач є питання про вибір апроксимуючих виразів для функцій, що описують динамічні переміщення оболонки. Для таких апроксимацій звичайно використовують форми власних лінійних коливань досліджуваних оболонок. Ці форми, як відомо, визначаються внутрішніми (геометричними) властивостями оболонки, а також фізичними параметрами.
Розгляд задач про коливання оболонок почнемо з дослідження власних частот і форм коливань оболонки. Динамічні рівняння оболонки (рис. 2.1) виберемо у вигляді [55]:
,
, (2.1)
,
де вісь направлена вздовж осі симетрії серединної поверхні оболонки,
вісь направлена по колу,
вісь направлена вздовж внутрішньої нормалі до серединної поверхні оболонки,
- переміщення в напрямку осі ,
- переміщення в напрямку осі ,
- переміщення в напрямку осі ,
- коефіцієнт Пуассона,
- радіус серединної поверхні оболонки,
- модуль Юнга,
- товщина оболонки,
- густина матеріалу оболонки,
- інтенсивність заданих навантажень у напрямку осі ,
- інтенсивність заданих навантажень у напрямку осі ,
- інтенсивність заданих навантажень у напрямку осі ,
- час коливань оболонки,
диференціальний оператор: .
Рис. 2.1. Циліндрична оболонка з заданою системою координат
Будемо вважати, що , , . Введемо далі безрозмірні змінні , .
Рівняння системи (2.1) пов'язані між собою, оскільки кожне з них має три невідомі змінні , і . Для дослідження цих рівнянь більш зручною є "непов'язана" форма, коли одне з них має лише одну змінну, наприклад , а два інших пов'язують і з . Часто на практиці потрібно визначити лише розв'язок рівнянь відносно компонента , оскільки воно виражає суттєву умову рівноваги сил (включаючи сили інерції) у найбільш "слабкому" поперечному напрямку оболонки. Для рівняння має вигляд [55]:
, (2.2)
де , , , .
Рівняння зв'язку для змінних і відповідно будуть записані так:
, (2.3)
, (2.4)
де диференціальний оператор: .
Загальний розв'язок системи рівнянь (2.1) чи (2.2 - 2.4), за допомогою якої описується процес коливань оболонки, може бути представлено у вигляді розкладу по формах власних коливань і має наступний вигляд, згідно [17, 30, 31, 55]:
,
, (2.5)
,
де , , - довільні сталі, котрі визначаються з граничних умов, заданих на кожному краї оболонки,
- власна частота коливань.
Основні типи граничних умов наведено в таблиці 2.1, де , , - відомі зусилля і моменти.
Далі розглянемо оболонку з крайовими умовами Нав'є:
; . (2.6)
Умови (2.6) записано в переміщеннях. Відповідно через зусилл