Ви є тут

Плоска задача тривимірної стійкості шарнірно закріпленої пластини з центральною тріщиною.

Автор: 
Гладун Олена Юріївна
Тип роботи: 
Дис. канд. наук
Рік: 
2003
Артикул:
0403U003088
129 грн
Додати в кошик

Вміст

РОЗДІЛ 2
Основні співвідношення. Постановка задач

Розглянуто основні положення тривимірної теорії стійкості пружних тіл. З нелінійних рівнянь теорії пружності для малих деформацій отримано загальні лінеаризовані рівняння в збуреннях. Для другого варіанта загальних рівнянь тривимірної теорії стійкості здійснена постановка задач визначення докритичного стану (крайові задачі лінійної теорії пружності) та задач визначення критичних параметрів (узагальнені задачі на власні значення). Із загальних рівнянь отримані рівняння стійкості для випадку однорідного незбуреного стану. Визначені властивості операторів задач стійкості. Розглянуто питання існування розв'язків диференціальних задач у відповідності з типом граничних умов. Викладений матеріал відповідає, в основному, роботам [35,36,118].
2.1 Основні положення теорії. Лінеаризовані рівняння стійкості.
В механіці пружних тіл розрізняються три стани суцільного середовища [35,118]. Перший стан називається природним, відліковим або недеформованим. Він характеризується відсутністю у пружному тілі напружень, деформацій, а отже, і пружних переміщень. Другий стан називається основним, докритичним, незбуреним чи початковим. Цей стан характеризується тим, що в тілі мають місце пружні переміщення, деформації та напруження. У цьому стані зберігається глобальна форма пружного тіла (форма тіла "у великому"). Величини, що відносяться до цього стану, позначаються зверху знаком "". Третій стан називається збуреним. У цьому стані існує принаймні одна форма рівноваги, яка є відмінною від початкового стану, тобто форма тіла змінюється як локально (в околі точки), так і глобально (змінюється конфігурація всього тіла). Усі величини, що відносяться до цього стану, позначаються зверху знаком "'" і визначаються як сума відповідних величин незбуреного стану та збурень. Збурення не помічаються ніяким знаком і вважаються малими порівняно з одиницею величинами. Стійкість рівноваги пружного тіла може бути визначена за динамічним критерієм або за статичним (біфуркаційним) критерієм. Ці критерії відповідають динамічному та статичному методам досліджень [35,118]. При динамічному критерії стійкості стан рівноваги вважається стійким (нестійким), якщо збурення затухають з часом (необмежено ростуть при ). Умовною стійкістю вважається також стан рівноваги, при якому збурення отримують тільки періодичні по розв'язки. Динамічний критерій застосовується як до динамічних, так і до статичних задач теорії стійкості. Статичний критерій застосовується лише до статичних задач. При цьому результати, отримані за допомогою статичного критерію, є достовірними лише тоді, коли виконуються достатні умови застосування статичного метода дослідження [35,118]. В дисертації для дослідження пружної стійкості використовується статичний критерій стійкості (біфуркаційний критерій, метод Ейлера). Відповідно до цього критерію, стан рівноваги вважається стійким, якщо поряд з незбуреним станом не можуть існувати суміжні, близькі до нього, збурені стани рівноваги. Для стійкого стану рівноваги збурення відсутні (рівні нулеві). Стан рівноваги є нестійким, якщо поряд з основним (незбуреним) станом існує принаймні один, відмінний від незбуреного, збурений стан рівноваги. У цьому випадку збурення відмінні від нуля і відповідають переходу від незбуреного до збуреного стану. Збурений стан приймається, у зв'язку із застосуванням лінеаризованих розв'язувальних рівнянь, досить близьким до незбуреного стану. При біфуркаційному підході не можна визначити, яка з форм рівноваги (основна, чи одна із збурених) в момент втрати стійкості буде стійкою.
Для докритичного стану використовується концепція простого навантаження, завдяки чому, задача тривимірної лінеаризованої теорії стійкості зводиться до узагальненої задачі на власні значення. Досягнення параметрами навантаження критичних значень є одним з критеріїв руйнування пружного матеріалу чи елемента конструкції. Це означає, що при появі суміжної форми рівноваги може бути втрачена несуча здатність пружного тіла.
Достатньою умовою застосування метода Ейлера є умова консервативності масових та поверхневих сил, що діють на пружне тіло [118]. В дисертації розглянуто задачі стійкості пластин (з тріщинами), на які діють "мертві" (тобто такі, збурення яких дорівнює нулю) поверхневі навантаження, що є консервативними [35], і отже достатні умови застосування метода Ейлера виконані. Перейдемо до отримання рівнянь у збуреннях.
Лінеаризовані рівняння тривимірної стійкості. Біфуркаційний критерій пружної стійкості базується на тому факті, що умовою втрати стійкості є напружений стан, при якому одночасно існує більше ніж одна форма рівноваги. Це означає, що для дослідження стійкості пружних тіл не можна використовувати рівняння лінійної теорії пружності, для яких доведені теореми існування та єдності розв'язку. Зауважимо, що в [65,74] застосовано наближений підхід, в якому розв'язки задач стійкості базуються на рівняннях лінійної теорії пружності. В працях О.М. Гузя, наприклад [36], виконано аналіз такого підходу і показано, що результати цього наближеного підходу можуть не тільки кількісно, а також і якісно відрізнятися від точного підходу, що базується на лінеаризованих рівняннях стійкості.
При отриманні рівнянь стійкості будемо фіксувати лише початковий стан біфуркацій, тобто вважати збурення досить малими, що дозволяє отримати лінеаризовані рівняння в збуреннях. Розглянемо випадок малих деформацій (). Для отримання лінеаризованих рівнянь стійкості використовуються рівняння нелінійної теорії пружності у випадку малих деформацій [35,94,118]. Для напруженого стану ці рівняння записуються у вигляді
, , (2.1)
У (2.1) позначено: , , - компоненти тензора напружень, вектора пружних переміщень, вектора об'ємних сил; - точка R-мірного, , Евклідового простору; - область, яку займає пружне тіло.
Для отримання лінеаризовних рівнянь стійкості треба записати рівняння (2.1) для незбу