РОЗДІЛ 2
ЗАСТОСУВАННЯ КЛАСИЧНОЇ НЕЛІНІЙНОЇ ТЕОРІЇ ДО ЗАДАЧ
СТІЙКОСТІ ОБОЛОНОК, ВИГОТОВЛЕНИХ ІЗ МАТЕРІАЛІВ З ОДНІЄЮ ПЛОЩИНОЮ ПРУЖНЬОЇ СИМЕТРІЇ
2.1. Основні співвідношення та припущення
Розглядатимемо гнучкі оболонки, що знаходяться, в загальному випадку, під дією нерівномірно розподілених вздовж меридіана поверхневих та рівномірно розподілених контурних силових навантажень. Оболонки можуть бути одно - та багатошарові (рис.2.1), як ізотропні, так і анізотропні, а також змінної в меридіональному напрямку товщини. Анізотропія матеріалу характеризується тим, що в любій точці матеріалу шарів існує площина симетрії відносно якої любі два напрями еквівалентні у відношенні пружних властивостей. В даному випадку ця площина паралельна поверхні приведення. Припускаємо, що всі шари пакету деформуються без відриву та проковзування. Матеріал оболонки підпорядковується узагальненому закону Гука. Вважаємо, що геометричні та механічні характеристики оболонки, засоби її закріплення та навантаження такі, що для опису процесу втрати стійкості можливе застосування варіанту геометрично нелінійної теорії тонких оболонок в квадратичному наближенні [93]. Ця теорія базується на гіпотезах Кірхгофа?Лява для всього пакету шарів в цілому. Перша з них полягає в тому, що відносне видовження в нормальному до координатної поверхні напрямку та поперечні зсуви приймаються рівними нулю:
Друга ? в нехтуванні нормальними напругами на площадках, паралельних координатній поверхні, у порівнянні з аналогічними напругами на площадках, перпендикулярних координатній поверхні.
Прийняття гіпотези недеформованих нормалей дозволяє звести задачу про стійкість шаруватої анізотропної оболонки до задачі про стійкість вибраної де-яким чином координатної поверхні, наділеної певними жорсткісними характеристиками, і тим самим замість тривимірної задачі теорії пружності розглядати двовимірну задачу.
В якості координатної поверхні вибирається для однорідних ізотропних оболонок, як правило, серединна поверхня, а для багатошарових анізотропних оболонок ? із умови найбільш простої форми запису співвідношень пружності.
Вважаємо, що деформації видовження та зсуву малі у порівнянні з одиницею. Кути повороту нормалі до координатної поверхні також малі, але при цьому не можна знехтувати їх квадратами в співвідношеннях, що зв'язують деформації та переміщення в рівняннях стійкості.
Прийняття вказаного простішого варіанту геометрично нелінійної теорії тонких оболонок дозволяє проводити дослідження стійкості гнучких неоднорідних шаруватих оболонок, змінної в меридіональному напрямку жорсткості в докритичній області деформування.
2.2. Деформації та переміщення оболонки
Використання гіпотези Кирхгофа?Лява дозволяє виразити компоненти переміщення точок оболонки, що не лежать на координатній поверхні, через компоненти переміщення координатної поверхні наступним чином:
, ,
, (2.1)
де ? переміщення координатної поверхні в напрямках відповідно.
Вважаємо, наслідуючи [122], що функції із точністю до доданків другого порядку малості можна представити у вигляді:
, ,
, (2.2)
де та ? кути повороту координатної поверхні в площинах та відповідно, причому
, . (2.3)
При цьому припускаємо, що параметри поперечного зсуву та поворот елементу оболонки відносно нормалі до координатної поверхні є малими величинами більш високого порядку малості, ніж повороти відносно осей та .
Приймаючи до уваги лінійний закон розподілу переміщень за товщиною (2.1), деформації можна представити у вигляді [50]
, , , (2.4)
де та ? відповідно компоненти тангенціальної та згинової деформації, що виражаються через переміщення та кути повороту координатної поверхні наступним чином:
(2.5)
Тут ? параметри Ляме.
Співвідношення (2.1)?(2.5) визначають геометричні співвідношення розглядуваного варіанту рівнянь теорії пологих оболонок в квадратичному наближенні [136], що були вперше отримані в роботі [93].
Приймаючи гіпотезу Кирхгофа?Лява для всього пакету оболонки вцілому, задовольняємо умовам жорсткого контакту шарів за переміщеннями, а саме:
, , (2.6)
при .
Зберігаючи в приведених формулах (2.2), (2.5) лише лінійні члени, маємо співвідношення лінійної теорії деформації тонких оболонок.
2.3. Рівняння рівноваги
З метою приведення тривимірної задачі до двовимірної, як і для переміщень та деформацій, в теорії тонких шаруватих оболонок замість компонент тензора напружень вводяться інтегральні характеристики ? зусилля:
, ,
, ,
, , (2.7)
, .
Величини , віднесені до одиниці довжини лінії , ? приведені силові фактори, статично еквівалентні напруженням, що діють в нормальному перерізі оболонки, перпендикулярному напрямку . Аналогічний зміст мають величини . При цьому ? нормальні тангенціальні зусилля; ? зсувні зусилля; ? згинний та крутний момент в перерізі ; ? згинний та крутний момент в перерізі . Поверхневі сили прикладені до обмежуючих оболонку поверхонь, замінимо статично еквівалентними їм силами. При цьому будемо вважати, що при переносі зовнішніх сил на координатну поверхню можна знехтувати додатковими моментами та з достатньою для практичних розрахунків точністю прийняти, що координатна поверхня завантажена лише розподіленими по ній силами. Вектор інтенсивності поверхневих навантажень запишемо у вигляді:
. (2.8)
Згідно з В. В. Новожилова [94], введемо позначення: