РАЗДЕЛ 2
РАССЕЯНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ ВОЛН ОДНОСЛОЙНОЙ РЕШЕТКОЙ ИЗ РЕЗИСТИВНЫХ ЛЕНТ
2.1. Постановка задачи
Рассмотрим дифракцию плоских волн на решетке, состоящей из резистивных лент.
Как известно, резистивная лента является моделью тонкой частично прозрачной
ленты, либо диэлектрической, либо тоньше скин-слоя из неидеально проводящего
металла. Геометрия задачи показана на рис. 2.1. Бесконечная последовательность
лент нулевой толщины, параллельных оси z, расположена в плоскости x= 0 с
периодом d. Пусть каждая лента решетки имеет ширину 2w, а вектор
распространения плоской падающей волны лежит в плоскости xy и образует угол j с
осью x. Задача отыскания поля, рассеянного решеткой, не зависит от координаты z
и является двумерной. На протяжении всей диссертации временная зависимость
подразумевается в виде .
Мы рассмотрим случаи двух ортогональных поляризаций:
* Е-поляризация: Ez, Hx и Hy не равны нулю и
* Н-поляризация: Hz, Ex и Ey не равны нулю.
Задача состоит в определении полного электромагнитного поля. Функция ,
описывающая z-компоненту полного магнитного или электрического поля, в
зависимости от поляризации, должна удовлетворять двумерному уравнению
Гельмгольца
и условиям, которые гарантируют единственность решения [103]:
1. Граничным условиям для резистивного слоя (1.4), связывающим тангенциальные
компоненты поля на поверхности ленты:
При этом соответствующие формулы для резистивности, входящей в граничные
условия (т.е. для поверхностного сопротивления), имеют вид:
(2.2)
где - толщина ленты, s - проводимость, w - циклическая частота и er -
относительная диэлектрическая проницаемость, d-толщина скин-слоя.
2. Условию на ребре. Это условие вытекает из очевидного требования, чтобы поток
энергии через любую охватывающую ребро поверхность стремился к нулю при
стягивании этой поверхности к ребру:
где D есть произвольная конечная область, а в зависимости от поляризации. Как
было показано в [120], вблизи резистивных ребер и при r®0, где r-расстояние от
ребра.
3. Условию излучения, согласно которому рассеянное поле должно удовлетворять
принципу отсутствия источников излучения на бесконечности, т.е. в нашем случае
при .
Параллельные образующим лент z-компоненты падающего поля известны и равны
В силу (2.4) и периодичности граничных условий вдоль оси y, для рассеянного
поля имеет место условие квази-периодичности, согласно которому
U(x,y+d)=U(x,y). Благодаря этому, мы будем отыскивать z-компоненты рассеянного
поля в виде рядов Флоке-Рэлея:
где an и bn являются амплитудами гармоник Флоке (комплексными числами) в
полупространстве прохождения и отражения, соответственно. Кроме того, здесь
введены следующие обозначения:
Заметим, что ряды (2.5) почленно удовлетворяют уравнению Гельмгольца. Кроме
того, в рассматриваемом нами случае условие излучения требует, чтобы для каждой
гармоники либо либо .
2.2. Случай Н-поляризации. Решение с помощью метода задачи Римана-Гильберта
(МЗРГ)
В случае Н-поляризации , и . Амплитуды гармоник an и bn связаны граничными
условиями для тонкого резистивного слоя (1.4) на лентах М и условиями
непрерывности электромагнитного поля на щелях S. Следовательно, (предельные
значения электрического поля слева и справа от решетки равны друг другу) при
всех у и х=0. Отсюда следует, что bn= - an, и один набор коэффициентов,
например bn, может быть исключен из дальнейшего рассмотрения.
Для определения коэффициентов an мы используем пару граничных условий,
выполняющихся на дополнительных подынтервалах элементарного периода: на ленте М
и на щели S, т.е.
Вводя обозначения
и используя (2.4) для падающего поля и ряды (2.5) для рассеянного поля, мы
получаем систему уравнений в парных рядах. Если записать эти уравнения так,
чтобы слева остались только статические части соответствующих выражений, то они
принимают следующий вид:
Заметим, что , , , при ®0. Благодаря этому мы можем обратить статическую часть
(2.10) с помощью метода задачи Римана-Гильберта, так как это описано в разделе
1.4.2. настоящей диссертации. В результате получаем бесконечную систему
линейных алгебраических уравнений второго рода (БСЛАУ-2), эквивалентную (2.10).
В операторной форме эта система выглядит следующим образом:
где функция представлена в пункте 1.4.2 данной диссертации формулой (1.24).
Основываясь на асимптотиках полиномов Лежандра, можно показать, что при больших
значениях |m| и |n| для любых . Этого достаточно, чтобы утверждать, что норма
оператора и, следовательно, (2.11) - регуляризованное матричное уравнение, т.е.
уравнение Фредгольма второго рода. Кроме того, поле, построенное по решению
(2.11), удовлетворяет условию на ребре вследствие того, что оно точно
учитывалось при обращении левой части (2.10) методом задачи Римана-Гильберта
[58, 110]. Заметим также, что если , то все матричные элементы тождественно
равны нулю. Таким образом, (2.11) дает точное аналитическое решение в
статическом случае.
2.3. Случай Е-поляризации. Решение с помощью обратного
преобразования Фурье (ОПФ)
В случае E-поляризации , и . Вместо (2.7) и (2.8) мы имеем следующие парные
граничные условия:
Из равенства (1.4) предельных значений электрического поля слева и справа от
решетки, верного для всех у и х=0, следует, что для этой поляризации bn=an.
Используя обозначения (2