Особливості спектра випромінювання заряджених частинок, що рухаються в електромвгнітному полі у вакуумі та непогинаючих середовищах.

РОЗДІЛ 2
ОСОБЛИВОСТІ СПЕКТРІВ ВИПРОМІНЮВАННЯ ОКРЕМИХ ЗАРЯДЖЕНИХ ЧАСТИНОК, ЩО РУХАЮТЬСЯ
В МАГНІТНОМУ ПОЛІ
2.1. Основні співвідношення теорії випромінювання окремих заряджених частинок,
що рухаються в магнітному полі
Розглянемо окремий випадок руху електрона по гвинтовій лінії в непоглинаючих
(прозорих) ізотропних середовищах. Закон руху та швидкість електрона
визначаються співвідношеннями:
, (2.1)
. (2.2)
Тут , , , , – компоненти швидкості, , – імпульс та енергія електрона, і – його
заряд і маса спокою, – вектор магнітної індукції, – час, , , – одиничні
вектори. Для закону руху (2.1) та швидкості (2.2) миттєва потужність
випромінювання окремого електрона, згідно зі співвідношеннями (1.66), (1.67),
набуває вигляду:
, (2.3)
, (2.4)
де
Середня за часом потужність випромінювання зарядженої частинки визначається
співвідношенням
. (2.5)
Після підстановки (2.3)?(2.4) в (2.5) та інтегрування знаходимо
, (2.6)
де
, (2.7)
. (2.8)
Видно, що середня потужність у даному випадку збігається з миттєвою потужністю
. Це зумовлено властивостями симетрії підінтегрального виразу в (2.4) відносно
змінних і та нескінченними межами інтегрування за .
Співвідношення (2.7) встановлене для непоглинаючих ізотропних однорідних
середовищ із парними додатними величинами , та і задає спектральний розподіл
потужності випромінювання.
Підставляючи вираз для закону руху (2.1) та швидкості (2.2) у співвідношення
(1.69), (1.64), (1.65), знаходимо середню потужність випромінювання
, (2.9)
де
. (2.10)
? спектрально-кутовий розподіл потужності випромінювання.
Використовуючи зображення функції Бесселя через ряд за функціями Бесселя
цілочислових індексів [120]
, (2.11)
рекурентні співвідношення для функцій Бесселя
, (2.12)
, (2.13)
та інтегральне зображення для дельта-функції
, (2.14)
знаходимо середню потужність випромінювання, виражену через її
спектрально-кутовий розподіл, як суперпозицію гармонік [72]:
, (2.15)
де
, (2.16)
? нумерує гармоніки; , ? функція Бесселя цілочислового індексу та її похідна
відповідно.
Для кожна гармоніка представляє набір частот, які є розв'язком рівняння
. (2.17)
У випадку постійних величин , та для швидкостей для середньої потужності
отримаємо після інтегрування за частотою (2.15)
, (2.18)
де
. (2.19)
Співвідношення (2.6)?(2.8), (2.15), (2.16), (2.18), (2.19), одержані
вдосконаленим методом сили самодії Лоренца, збігаються з даними праці [129],
які отримані методом хвильової зони. Вирази (2.18), (2.19) задають потужність
випромінювання для всіх гармонік.
Межі ?ї гармоніки визначаються частотами (– постійна величина)
, . (2.20)
Підсумовуючи у співвідношенні (2.18) ряди за функціями Бесселя цілочислового
індекса та інтегруючи за , дістанемо повну потужність випромінювання електрона
в середовищі з постійними , та [71]:
, (2.21)
де
, . (2.22)
Потужність випромінювання при русі електрона по гвинтовій лінії у вакуумі
досліджувалась у працях [128, 129]. Результат цих праць отримується із (2.21)
при , .
Використовуючи наведені в цьому розділі співвідношення для спектрального
розподілу потужності випромінювання окремого електрона в непоглинаючих
ізотропних середовищах, дослідимо спочатку тонку структуру цього розподілу у
вакуумі.
2.2. Особливості спектрального розподілу потужності випромінювання окремого
електрона у вакуумі для малих поперечних та поздовжніх компонент швидкості
Для детального дослідження спектра випромінювання електрона, що рухається в
магнітному полі у вакуумі, зручно комбінувати аналітичні та числові методи.
Середня потужність випромінювання електрона (2.18), для випадку вакууму,
набуває вигляду
, (2.23)
де
. (2.24)
Звідси легко знайти кутовий розподіл випромінювання для кожної гармоніки.
Повна потужність випромінювання електрона у вакуумі, згідно з (2.21):
. (2.25)
Щоб дослідити спектр випромінювання електрона на окремих гармоніках у випадку
малих аргументів функції Бесселя використаємо їх зображення через Г-функцію
[120]:
. (2.26)
Для малих аргументів прямує до величини , оскільки . Похідна від функції
Бесселя , як випливає з рекурентного співвідношення (2.13), має вигляд
. (2.27)
Для малих аргументів похідна від функції Бесселя (2.27) прямує до .
Як випливає з аналізу співвідношення (2.23), для малих значень поперечної
складової швидкості (), випромінювання відбувається в основному на частоті . Це
зумовлено тим, що перший доданок ряду пропорційний , а наступні мають вищий
порядок малості. Частота називається основною частотою і, згідно з (2.17)
дорівнює:
. (2.28)
Тут – кут, який хвильовий вектор випромінювання утворює з віссю – напрямком
магнітного поля. Основна частота випромінюванн