раздел 2
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРУГОВОЙ МЕМБРАНЫ
2.1. Решение прямой задачи об импульсном поперечном нагружении мембраны
2.1.1. Решение дифференциального уравнения движения мембраны. Дифференциальное
уравнение осесимметричных колебаний мембраны под действием динамической
нагрузки имеет вид [7]
, (2.1)
где u - перемещение точки мембраны в поперечном направлении;
a - скорость распространения волн деформации, ;
T - поверхностное натяжение;
r - поверхностная плотность;
- оператор Лапласа (в полярной системе координат для осесимметричного случая
);
r - размерная координата;
x - безразмерная координата, ;
R0 - радиус контура (окружности) мембраны.
Интенсивность поперечной нагрузки на мембрану принимается в форме
, ,
где P(x), z(t) - функции, характеризующие распределение нагрузки вдоль радиуса
и изменение нагрузки во времени, соответственно.
Схема нагружения мембраны показана на рис. 2.1.
Будем предполагать, что контур мембраны закреплен, т.е. выполняется граничное
условие [7]
Рис. 2.1. Схема нагружения мембраны
u(R0, t)=0. (2.2)
Начальные условия зададим в форме
, . (2.3)
где f(x) и F(x) – известные функции.
Будем искать решение в виде разложения в ряд по функциям Бесселя нулевого
порядка первого рода (используется теория рядов Фурье-Бесселя) [7, 16]:
. (2.4)
где ak(t) – искомые функции времени;
mk - корни уравнения J0(x)=0.
Такая форма решения удовлетворяет граничному условию (2.2).
На основе уравнения (2.1) и разложения (2.4) получим дифференциальное уравнение
относительно функции ak(t)
, (2.5)
где
; . (2.6)
Запишем решение дифференциального уравнения (2.5) в форме:
, (2.7)
где ; .
Коэффициенты и учитывают начальную форму мембраны и распределение начальных
скоростей точек мембраны, соответственно.
Укажем, что приведенное решение в форме (2.7) можно получить, например, с
использованием интегрального преобразования Лапласа.
2.1.2. Анализ воздействия на мембрану нагрузки, равномерно распределенной по
всей ее поверхности. Рассматривается нагружение мембраны, которое не зависит от
пространственной координаты, а по времени меняется как функция Хевисайда H(t),
т.е.
, (2.8)
где P0 - постоянная величина, имеющая размерность давления.
Для того чтобы получить решение для исследуемого случая нагружения,
воспользуемся выражением (2.6), подставив в него зависимость (2.8). В
результате получим
. (2.9)
После подстановки (2.9) в (2.7) и, учитывая при этом нулевые начальные условия,
будем иметь следующее выражение для перемещений точек мембраны:
. (2.10)
где N - число учитываемых членов ряда в реальных расчетах, результаты которых
приведены далее.
На рис. 2.2, а изображены графики колебаний точки в центре мембраны (r=0) с
учетом разного количества членов в разложении (2.10). Здесь и далее для решения
прямой задачи приняты следующие исходные данные: P0=1.5Ч106 Н/м2; R0=0.02 м;
T=105 Н/м; r=5Ч105 кг/м2. Анализ расчетов с числом учитываемых членов N>5
показал, что соответствующие им кривые практически не отличаются от кривой,
отвечающей N=5. Поэтому при таком нагружении мембраны достаточно ограничиться
числом N=5.
На рис. 2.2, б представлены графики колебаний точек мембраны, находящихся на
окружности радиусом и рассчитанных с разным числом членов ряда.
а) б)
Рис. 2.2. Изменение во времени прогиба точек мембраны
Легко видеть, что характер колебаний в точках x=0 и x=0.5 при рассмотренном
законе нагружения подобен.
2.1.3. Анализ воздействия равномерно распределенной нагрузки на мембрану при ее
ступенчатом изменении во времени. Примем закон изменения нагрузки в форме g(x,
t) = P0[H(t) – H(t - w)], где w - длительность воздействия нагрузки на
мембрану. В этом случае для определения коэффициентов разложения перемещений
точек мембраны получается следующее выражение:
.
где .
Выражение для перемещений примет вид
. (2.11)
При проведении расчетов было принято, что w=3.6 c. График колебания точки,
отвечающей r=0, показан на рис. 2.3, а. График колебания точек, принадлежащих
окружности радиусом r=R0/2, представлен на рис. 2.3, б.
а) б)
Рис. 2.3. Изменение во времени прогиба точек мембраны
Из приведенных кривых на рис. 2.3, а и рис. 2.3, б видно, что после “снятия”
нагрузки амплитуды колебаний точки мембраны сильно уменьшаются.
В следующем подразделе будет изложена методика решения обратных нестационарных
задач для круговых в плане мембран. Решение обратных задач предполагает
необходимость построения соответствующих прямых задач, причем в процессе их
построения используются теория интегральных уравнений Вольтерра I рода.
Результаты, которые получены при решении прямых задач, могут быть использованы
в качестве исходных данных при решении обратных, в которых производится
идентификация внешних силовых воздействий.
2.1.4. Оценка достоверности полученных результатов исследования. Для оценки
достоверности полученного решения прямой задачи импульсного деформирования
мембраны воспользуемся альтернативным способом решения дифференциального
уравнения движения мембраны. В соответствии с разностным алгоритмом [27]
разобьем условно радиус мембраны на P частей, а интервал времени исследования –
на M частей. Обозначим через Dx, Dt, соответственно, “шаги” по пространственной
координате и во времени. Запишем конечноразностный аналог дифференциального
уравнения колебания мембраны, использовав при этом явную трехслойную схему
аппроксимации
.
При записи приведенного соотношения применялись следующие аппроксимации частных
производных по времени и по координате:
, , .
Граничные условия формулируются следующим образом: , . Начальное услови