Раздел 2
НЕЙРОННЫЕ СЕТИ В ЗАДАЧАХ ИдентификациИ
Хаоса
В данном разделе проведен обзор наиболее часто встречаемых в литературе моделей
хаоса и решена задача идентификации хаоса с помощью метода расчета показателя
Херста. Предложен рекуррентный метод вычисления фрактальной размерности в
реальном времени с помощью искусственной нейронной сети и решена задача
динамической реконструкции хаоса.
Модели хаоса
Согласно Британской энциклопедии, слово «хаос» происходит от греческого «».
Первоначально оно означало бесконечное пространство, существовавшее до
появления всего остального. Позднее римляне интерпретировали хаос как
изначальную сырую бесформенную массу, в которую Создатель привнес порядок и
гармонию. В современном понимании хаос означает состояние беспорядка и
нерегулярности.
Для сложных физических систем, поведение которых по времени детерминировано,
существует правило в виде дифференциальных или разностных уравнений,
определяющее их будущее, исходя из заданных начальных условий. Было бы
естественно предположить, что детерминированное движение (описываемое,
например, непрерывными дифференциальными уравнениями) достаточно регулярно и
далеко от хаотичности, поскольку последовательные состояния непрерывно
развиваются одно из другого. Но еще на грани предыдущих веков математик А.
Пуанкаре (Poincare, 1892) открыл, что в некоторых механических системах,
эволюция которых во времени определяется уравнениями Гамильтона, может
появляться хаотическое движение. К сожалению, это было воспринято многими
физиками как курьез, и прошло около 70 лет, пока метеоролог Е.Н. Лоренц
(Lorenz, 1963) не обнаружил, что даже простая система из трех связанных
нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка может привести к
совершенно хаотическим траекториям. Работа Лоренца, значимость которой сегодня
общепризнанна, в течение многих лет после публикации оставалось малоизвестной.
Он открыл один из первых примеров детерминированного хаоса в диссипативных
системах.
В дальнейшем под детерминированным хаосом подразумевается нерегулярное, или
хаотическое движение, порожденное нелинейными системами, для которых
динамические законы однозначно определяют эволюцию во времени состояния системы
при известной предыстории. В последние годы благодаря новым теоретическим
результатам, наличию быстродействующих компьютеров и развитию техники
эксперимента стало ясно, что это явление часто встречается в природе и имеет
далеко идущие последствия во многих областях науки.
Однако, нелинейность – необходимое, но не достаточное условие для возникновения
хаотического движения (линейные дифференциальные или разностные уравнения могут
быть решены преобразованием Фурье и не приводят к хаосу).
Наблюдаемое во времени хаотическое поведение возникает не из-за внешних
источников шума (их нет в уравнениях Лоренца), не из-за бесконечного числа
степеней свободы (в системе Лоренца их лишь 3) и не из-за неопределенности,
связанной с квантовой механикой (рассматриваемые системы чисто классические).
Настоящая первопричина нерегулярности определяется свойством нелинейных систем
экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в
ограниченной области фазового пространства (например, трехмерного в системе
Лоренца).
Таким образом, становится практически невозможно предсказать длительное
поведение таких систем, поскольку реально начальные условия можно задать лишь с
конечной точностью, а ошибки экспоненциально нарастают. Так, например, сторона,
на которую упадет монета, поставленная на ребро, зависит от слабого
прикосновения. Последовательность «орлов» и решек при подбрасывании монеты
проявляет нерегулярное, или хаотическое, поведение во времени, так как крайне
малые изменения начальных условий могут привести к совершенно различным
результатам.
В последние годы стало ясно, что высокая чувствительность к начальным условиям,
приводящая к хаотическому поведению во времени, никоим образом не исключение,
это типичное свойство многих систем.
С точки зрения математики во всех нелинейных динамических системах с числом
степеней свободы больше 2 (особенно во многих биологических, метеорологических
и экономических моделях) можно обнаружить хаос и, следовательно, на достаточно
больших временах их поведение становится непредсказуемым [30].
«Детерминированный хаос» сегодня – весьма активная область исследований, в
которой получено множество результатов. Разработаны методы классификации
различных типов хаоса и обнаружено, что при изменении внешнего управляющего
параметра многие системы демонстрируют близкие переходы от порядка к хаосу.
Использование математического аппарата, основанного на теории искусственных
нейронных сетей, открывает новые перспективы в изучении детерминированного
хаоса.
С позиций общей теории систем рассмотренные в разделе 1 рекуррентные нейронные
сети представляют собой нелинейные динамические детерминированные или
стохастические системы, описываемые в пространствах состояний или сигналов
системой уравнений вида
(2.1)
Общим для всех рассматриваемых структур является наличие устойчивых состояний –
аттракторов (, , на рис. 2.1 для детерминированных систем, , ), к которым
сходится сеть в процессе своего функционирования. При этом каждому из
аттракторов соответствует собственная зона притяжения, определяемая тем, что из
любой её точки система всегда возвращается к своему устойчивому состоянию.
Рис. 2.1. Энергетические состояния системы
Вместе с тем существует широкий класс детерминированных нелинейных систем,
поведение которых выглядит как
- Київ+380960830922