РОЗДІЛ 2
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ.
ВИХІДНІ ПОЛОЖЕННЯ І СПІВВІДНОШЕННЯ МОДЕЛІ
Після витримки при заданому розподілі температури (при максимальній температурі, не вищій за температуру, яка відповідає точці [20] для заданого матеріалу) тіло починає охолоджуватись. При цьому початковий розподіл температури для процесу охолодження співпадає з розподілом при витримці. Наявні початкові напруження на стадії охолодження є залишковими напруженнями, отриманими в кінці витримки. В зоні максимальних температур витримки значно зменшується значення межі текучості і модуля пружності [20, 51, 85]. При пониженні температури значення цих характеристик збільшується, матеріал зміцнюється [20, 51, 85]. Тому в зв'язку з широкими діапазонами зміни температур в процесі охолодження (від максимальної температури витримки до температури середовища) значення характеристик матеріалу суттєво залежать від температури. Високі температури і значні градієнти температур при низькій межі текучості можуть спричинити пластичне течіння матеріалу, особливо для початкових моментів часу процесу охолодження. Зміцнення матеріалу при пониженні температури як правило має направлений характер (анізотропне зміцнення) і наближено може бути враховане в рамках моделі ізотропно-кінематичного зміцнення [119]. Зазначимо, що в літературі відповідні параметри зміцнення є відомі для незначної кількості матеріалів. У випадку, коли такі характеристики є невідомі або матеріали не володіють такими зміцнювальними властивостями, матеріали вважатимемо ізотропно зміцнюваними або ідеальними пружно-пластичними матеріалами.
Розглядаємо матеріали, які не зазнають фазових перетворень в діапазонах температур відпалу. Процеси деформування приймаємо квазістатичними. При згаданих умовах теплові і механічні процеси є незв'язні і вихідна математична модель може бути сформульована за два етапи:
- на першому етапі записуємо задачі теплопровідності, що описують температурне поле в тілі, при врахуванні температурної залежності характеристик матеріалу і заданих умов теплообміну тіла з зовнішнім середовищем;
- на другому етапі при відомому температурному полі формулюємо відповідну задачу механіки про температурні напруження з врахуванням термочутливості характеристик матеріалу. При цьому використовуємо рівняння стану одного з варіантів теорії неізотермічного пружно-пластичного течіння з ізотропно-кінематичним зміцненням [96, 169] (що описує фізичний процес деформування тіл з початково ізотропних анізотропно зміцнюваних термочутливих матеріалів) або рівняння стану ізотропно зміцнюваного [95] чи ідеального пружно-пластичного матеріалу (при відсутності в літературі відповідних параметрів зміцнення).
Розглядається ізотропне пружно-пластичне тіло з початковими напруженнями , яке у вихідному недеформованому стані займає область , віднесену до ортогональної декартової системи координат . На тіло діють механічні і (або) теплові навантаження. Припускаємо, що матеріал може деформуватись пластично і точки тіла можуть зазнавати великих переміщень при малих деформаціях. Тому задачу термопружно-пластичності будемо формулювати в змінних Лагранжа (матеріальних змінних) [18, 60, 61, 176]. При цьому всі функції і шукані величини пов'язані із початковою системою координат.
Досліджуються квазістатичні термомеханічні процеси в пружно-пластичних деформівних термочутливих тілах із зміцнюваних матеріалів і складною історією навантаження. Тому в математичній постановці відповідної задачі пластичності (що буде сформульована в цьому розділі) будемо опиратись на рівняння стану теорії пластичного неізотермічного течіння в припущенні геометричної лінійності деформаційних процесів. При цьому виходимо з фізичних моделей ізотропного анізотропно зміцнюваного термочутливого тіла та ізотропного ізотропно зміцнюваного пластично деформівного тіла з постійними характеристиками матеріалу, які описуються відповідними рівняннями стану.
В першому випадку в п. 2.3 розглядаються рівняння стану [96, 169] з врахуванням температурно залежних характеристик і ізотропно-кінематичного зміцнення матеріалу при умові текучості Мізеса, які слідують із рівняння стану для анізотропного термочутливого матеріалу (п. 2.3). В зв'язку з тим, що (як відзначено вище) для цього випадку значення параметрів зміцнення є наявні в літературі для незначної кількості матеріалів, розглядаємо другий простіший (але ще досить загальний) тип пластичного тіла - ізотропного з ізотропним зміцненням. В такому випадку використовуємо простішу структуру відомого в літературі рівняння стану [95], не обмеженого конкретним виглядом функції текучості (приведеного в п. 2.4), та його часткового випадку, отриманого в п. 2.4 при застосуванні функції текучості Мізеса. Ці рівняння описують фізичну модель матеріалу при незалежних від температури властивостях та ізотропному зміцненні.
Особливості процесу охолодження пов'язані з високими початковими максимальними температурами витримки за локального розподілу температури [34, 112, 113]. При цьому можуть бути наявні високі градієнти температури [20] (рис. 2.1).
Так як процес охолодження охоплює широкий діапазон зміни температур (від температури витримки до температури природного стану ), то властивості матеріалів також міняються в широких межах. На рис. 2.2 як приклад приведені температурні залежності коефіцієнта теплопровідності , коефіцієнта лінійного температурного розширення , модуля пружності , межі текучості (в області зміни температур при режимах відпалу виробів [34, 112, 113] для сплаву типу ТС [10, 76]). Видно, що температурна залежність характеристик матеріалу при охолодженні є суттєва. При нехтуванні термочутливістю матеріалів можуть бути отримані малодостовірні оцінки температурного і напружено-деформованого станів.
Рис. 2.1. Характерний початковий розподіл температури витримки
Рис. 2.2. Температурна залежність термомеханічних властивостей
сплаву типу ТС [10, 76]
З іншої сторони, при високоградієнтних температурних режимах охолодження можут