РАЗДЕЛ 2
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЭФФЕКТЫ
В ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И ФЕРРОМАГНИТНЫХ СРЕДАХ
2.1 Электромагнитное поле
Рассмотрим классические уравнения Максвелла в вакууме (при наличии свободных зарядов), которые можно записать в виде четырех векторных дифференциальных уравнений [40,68,72]:
(2.1)
В этих уравнениях и - соответственно векторы напряженности электрического поля и магнитной индукции; Ф/м - диэлектрическая проницаемость вакуума; - скорость света в вакууме; - плотность свободных зарядов; - плотность электрического тока; - координата времени.
Уравнения (2.1) полностью определены, если заданы распределение и закон движения зарядов в пространстве. В этом случае второе и третье уравнения приводят к следующему уравнению непрерывности электрического заряда:
В материальных средах под влиянием внешнего электромагнитного поля происходят явления поляризации и намагничивания среды, что приводит к изменению макроскопического электромагнитного поля в объеме, занимаемом материальным телом. Уравнение Максвелла для расчета электромагнитного поля в материальных средах имеет вид [40,72]:
(2.2)
В этих уравнениях через обозначен вектор электрического смещения (индукции), а через - вектор напряженности магнитного поля. Их связь с ранее введенными полевыми характеристиками электромагнитного поля в вакууме устанавливается с помощью равенств
(2.3)
где векторы и характеризуют свойства поляризуемости и намагничивания среды. Через и обозначены соответственно плотность свободных зарядов и плотность тока свободных зарядов. Постоянная Гн/м - это абсолютная магнитная проницаемость вакуума. Между проницаемостью , и скорость света в вакууме существует известная зависимость [40,72]
.
Для однозначной разрешимости уравнений (2.2), (2.3) необходимо располагать физическими соотношениями (уравнениями состояния), связывающими поляризацию и ток с напряженностью электрического поля , а также вектор намагничивания с индукцией магнитного поля . В слабых полях для большинства сред физические соотношения (подобно закону Гука) представляются линейными зависимостями. В этом случае
, (2.4)
где - соответственно относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости среды; - ее проводимость.
Относительно ферромагнитной среды необходимо сделать следующее замечание: ограничимся рассмотрением магнитомягких ферромагнитных материалов (железоникелевые сплавы, трансформаторное железо и т.п.), обладающих малым остаточным магнетизмом (узкая петля гистерезиса), для которых влияние индуцированных токов мало по сравнению с эффектом намагниченности. Поэтому можно воспользоваться квазистатическим приближением [56,68,], то есть уравнениями магнитостатики, а также считать, что намагниченность является линейной функцией напряженности магнитного поля (имеются в виду поля, при которых намагниченность далека до насыщения). Имеем
, (2.5)
где - относительная магнитная проницаемость.
Для линейных сред четыре уравнения первого порядка в (2.2) можно свести к двум линейным уравнениям в частных производных второго порядка, к так называемым волновым уравнениям, или же выразить векторы электромагнитного поля через скалярный и векторный волновые потенциалы [40,68,72]. Решение уравнений (2.2) через потенциалы представляются формулами
(2.6)
причем между скалярным и векторным потенциалами выполняется зависимость
(2.7)
Рассмотрим область тела, ограниченного поверхностью . Пусть внутри этой области существует электромагнитное поле, протекают токи и выделяется джоулево тепло. Выразим энергию поля с помощью векторов, описывающих поле. Из уравнений Максвелла (2.2) следует [56]
. (2.8)
где
(2.9)
. (2.10)
Здесь - внутренняя электромагнитная энергия, - вектор плотности потока электромагнитной энергии (вектор Умова-Пойтинга) [51, 57]. Равенство (2.8) можно интерпретировать как уравнение баланса энергии: прирост в единицу времени внутренней электромагнитной энергии равен притоку электромагнитной энергии через поверхность и электрической энергии, рассеянной внутри тела и превращенной в тепло. С учетом соотношений (2.6), (2.7), вектор Умова -Пойтинга можно выразить через волновые потенциалы. Имеем:
. (2.11)
Записанные выше основные соотношения электромагнитной теории Максвелла существенно упрощаются в случае керамических тел, обладающих пьезоэффектом. Рассмотрение их кристаллической структуры и экспериментальные данные показывают, что с достаточной для практических целей точностью пьезоэлектрические керамики можно рассматривать как поляризуемые диэлектрики с пренебрежимо малым намагничиванием. В керамиках отсутствуют свободные электрические заряды, плотность тока свободных зарядов равна нулю. Поэтому обоснованно можно положить
.
Тогда согласно (2.3)
и уравнения Максвелла (2.2) примут вид
(2.12)
В большинстве публикаций по механике пьезокерамических сред утверждается [5,51,56,58], что магнитными эффектами вообще можно пренебречь, тогда следующим упрощением будет пренебрежение магнитным членом в векторе Умова - Пойтинга, т.е. . Тогда получаем,
. (2.13)
Кроме того, из (2.6) следует, что
. (2.14)
Таким образом, имеем дело с квазистатическим электрическим полем, описываемым уравнением
. (2.15)
Вернемся к уравнению баланса энергии (2.8). Для пьезоэлектриков при , и с учетом (2.13) имеем
. (2.16)
Равенство (2.16) можно трактовать как уравнение баланса электромагнитной энергии для пьезоэлектрического тела.
2.2 Линейная теория пьезоэлектричества
Линейна теория пьезоэлектричества является сравнительно простым обобщением классической теории упругости. Если исходить из четырех известных законов сохранения в применении к материальным средам [28, 63], то отличие пьезоэлектрической среды от обычного упругого тела будет в необходимости учета в уравнении баланса энергии потока электрической энергии, определяемого формулой (2.13). Остальные три закона сохранения (массы, количества движения и момента