Розділ 2
Поверхні як сім’ї проекціювальних променів двоосьових та одноосьових систем
проекціювання
2.1. Двоосьові поверхні
Двоосьовими називають поверхні, вилучені з гіперболічної конгруенції прямих.
Остання утворюється множиною ?2 прямих, що перетинають дві прямі. Прямі множини
називають променями конгруенції, прямі, які перетинають промені, називають
осями, директрисами або фокальними прямими. Гіперболічна конгруенція – першого
порядку (по кількості променів, що проходять через довільну точку простору) і
першого класу (по кількості променів, що належать довільній площині). Промені
гіперболічної конгруенції складають проекційну систему, названу двоосьовою.
Осі, вони ж є директриси, вони ж фокальні прямі є подвійними прямими двоосьових
поверхонь. З лінійчастих поверхонь лише поверхні другого порядку,
однопорожнинний гіперболоїд і гіперболічний параболоїд, несуть на собі дві
сім’ї прямих. Решта – одну сім’ю. Через неособливу точку квадрик проходить дві
прямолінійні твірні, решти лінійчастих поверхонь – одна твірна.
Дотична площина в неособливій точці лінійчастої нерозгортної поверхні перетинає
її по лінії (двом твірним у випадку квадрики). Однак можливі випадки наявності
так званих торсових твірних на лінійчастих поверхнях. В точках торсової твірної
дотичні площини збігаються. Точки перетину торсових твірних називають
куспідальними. Лінії перетину поверхні площинами, що проходять через
куспідальні точки, мають їх за точки звороту.
2.1.1. Параметричні рівняння гіперболічної конгруенції прямих. Складемо
параметричні рівняння гіперболічної конгруенції прямих за визначником у вигляді
двох мимобіжних директрис (рис. 2.1), параметричні рівняння яких
(2.1)
(2.2)
Рівняння довільного променя конгруенції отримаємо як рівняння прямої, що
проходить через точки (u, 0, a) та (0, v, b):
(2.3)
Зміст параметрів u, v: це параметри конгруенції, що фіксують положення променя;
u – параметр положення точки перетину променя з директрисою (2.1), v – з
директрисою (2.2). Параметр t визначає положення точки на промені.
Параметричні рівняння конгруенції отримуємо з (2.3):
(2.4)
Визначимо особливі точки конгруенції з умови (1.6) з врахуванням того, що
функції (1.5) мають вигляд (2.4)
(2.5)
де частинні похідні беруться від функцій (2.4).
Оскільки в умові (2.5) , вона виконується при , або .
Підстановка цих виразів до (2.4) дає рівняння директрис (2.1) та (2.2)
відповідно. Звідси висновок: крім точок на директрисах, що є фокальними
фігурами конгруенції, особливих точок параметризація конгруенції (2.4) не
містить. Оскільки через будь-яку точку простору проходить єдиний промінь, а
через будь-яку точку на директрисі однопараметрична сім’я променів, що належать
площині, визначником якої є точка і інша директриса, директриси конгруенції
називають сингулярними прямими [16], як такі, що складаються з особливих точок
параметризації (2.4).
Розв’яжемо рівняння конгруенції (2.4) відносно t, u, v. Для точок, в яких не
виконується умова (2.5), це завжди можна здійснити:
(2.6)
Рівняння (2.6), по-перше, звичайною підстановкою дозволяють обчислити значення
параметрів t0, u0, v0 променя конгруенції, що проекціює точку (x0, y0, z0)
(2.7)
по-друге, їх можна використати для складання параметричних рівнянь поверхні, як
сім’ї променів конгруенції, що проекціюють лінію.
2.1.2. Параметричні рівняння поверхні променів, що проекціюють лінію. Складемо
параметричні рівняння поверхні променів, що проекціюють лінію
(2.8)
Шукані рівняння отримаємо двома послідовними підстановками: спочатку у вирази
u0 та v0 (2.7) замість підставимо праві частини (2.8), а потім до параметричних
рівнянь (2.4) конгруенції замість u та v підставимо вирази, одержані першою
підстановкою. Таким чином, кінцеві параметричні рівняння шуканої поверхні
отримаємо у вигляді:
(2.9)
Примітимо, що t – лініями (координатними лініями w = const) поверхні (2.9)
будуть прямолінійні промені.
Приклад 1. Скласти параметричні рівняння лінійчастої поверхні конгруенції (2.4)
за її проекцією на площину XOY
(2.10)
Дослідити поверхню на наявність торсових променів. Користуючись засобами
комп’ютерної графіки, отримати комп’ютерне зображення поверхні з виділенням
директрис (2.1) та (2.2), кола (2.10) та визначених торсових променів.
Розв’язання. Оскільки обидві директриси перетинають площину проекції в
невласних точках, зовнішніх відносно кола (2.10), шукана поверхня еліптична
[85].
Зіставивши (2.8) та (2.10), підставимо до виразів (2.9) замість праві частини
(2.10). Отримаємо параметричні рівняння шуканої поверхні:
(2.11)
Знайдемо тангенціальне рівняння поверхні (2.11) за формулою (1.20). Вирази
частинних похідних функцій (2.11)
(2.12)
Оскільки запис частинних похідних відповідає їх розташуванню у рядках
визначника (1.20), який дорівнює нулеві, скоротимо при підстановці другий рядок
на , а третій рядок на . Після скорочень та підстановки частинних похідних
(2.12) до визначника (1.20) отримаємо
або в розгорнутому вигляді
При та при це рівняння набуває вигляду
верхній знак – при , нижній – при .
При та при воно набуває вигляду
верхній знак при , нижній – при .
Оскільки виразам відповідають директриси, всі точки яких особливі (див. (2.5)),
розглянемо рівняння дотичних площин всюди, крім точок на директрисах, тобто,
при значеннях . Зважаючи на ці умови, останні два рівняння можна скоротити на
другі множники.
В результаті впевнимося, що при рівняння дотичних площин не залежать від t,
тобто, оскільки t – параметр положення поточної точки на промені, то при
переміщенні точки по променю площина, дотична до поверхні, не змінюється.
- Київ+380960830922