РАЗДЕЛ 2
ПОСТРОЕНИЕ ОБЩЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
И АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЗОННЫХ СИСТЕМ
2.1 Выбор и анализ функций аппроксимации нелинейных характеристик элементов
Вопросу аппроксимации функции Н = ѓ(B) уделено большое внимание в работах [23,
29, 42, 43], из которых наиболее часто встречаются зависимости в виде:
степенного полинома, ломаной линии и тригонометрических функций. При этом
значительную трудность вызывает определение коэффициентов аппроксимирующей
функции. Во-первых, за счет сложности вычислений (обычно используются такие
методы как: метод наименьших квадратов, выравнивания, выбранных точек [23, 29,
42]) Во-вторых, непосредственно экспериментально получить кривую намагничивания
классическими методами затруднительно.
В данной работе используется вольтамперная характеристика (в.а.х.) для
действующих значений токов и напряжений, которая прямопропорциональна
веберамперной характеристике магнитного материала. По в.а.х. определяются
коэффициенты аппроксимации, если входят явно в последнюю или используются
соответствующие масштабные выражения [43-46].
При выводе соотношений пренебрегаем индуктивностью рассеивания, активными
потерями в обмотках, потерями на гистерезис. Исследования показали [47], что
уже в первой зоне неустойчивости Матье возможны нелинейные колебания, а в зонах
выше третьей наблюдаются существенно нелинейные явления, т.к. используется
сильная накачка. При этом, энергоемкий элемент резонансного контура
периодически находится в режиме насыщения, поэтому важную роль играет выбранная
функция аппроксимации, которая должна адекватно описывать в.а.х. в широком
диапазоне. Рассмотрим несколько аппроксимирующих функций, определим
коэффициенты аппроксимации и проверим их.
В теоретических исследованиях и практических расчетах электрических цепей,
содержащих нелинейную индуктивность, характеристику последней задают с помощью
какой-либо аппроксимирующей функции, которая выражает зависимость между
мгновенным значением индукции B и напряженности H магнитного поля в сердечнике.
При выборе аппроксимирующей функции исходят из следующих соображений. Она
должна иметь аналитическое выражение, так как его легче исследовать и
интерпретировать полученные результаты. Отличие аппроксимирующей кривой от
реальной должно быть достаточно малым. Функция должна отвечать физике
исследуемого процесса, учитывая его характерные особенности. Вместе с тем, вид
аппроксимирующей функции должен быть по возможности простым, чтобы чрезмерно не
усложнять анализ. Эти требования противоречивы и в реальной ситуации приходится
идти на компромисс при выборе аппроксимации нелинейных характеристик системы.
При определении коэффициентов аппроксимирующей функции H=f(B) возникает
трудность в экспериментальном получении кривой намагничивания классическими
методами [46]. В данной работе используется в.а.х. магнитного материала для
действующих значений токов и напряжений. Расчет коэффициентов произведем для
аппроксимаций: синус гиперболический, степенно-показательная,
дробно-рациональная и степенная функции. Согласие расчетной и экспериментальной
кривой уточним по критерию наименьших квадратов.
Постановка задачи. Исходными данными являются действующие значения тока Ik и
напряжения Uk . Требуется для конкретного вида аппроксимирующей функции H=f(B)
минимизировать сумму
, (2.1)
где , - расчетные и экспериментальные значения действующего тока;
- весовой коэффициент k –той точки в.а.х.;
n - число точек в.а.х.
Пусть нелинейная зависимость H=f(B) представлена в виде гиперболического синуса
[47]:
H=a sh (b B), (2.2)
где a, b - постоянные коэффициенты аппроксимации.
Используя второй закон Киргофа и закон полного тока для индуктивного элемента,
подключенного к источнику синусоидального напряжения , согласно схемы
(рис.2.1), имеем:
Рис. 2.1 Схема измерений , (2.3)
, (2.4)
где S - площадь поперечного сечения сердечника; W - число витков обмотки
возбуждения; l - длина средней линии магнитного поля в сердечнике; Um -
амплитуда напряжения питания; w - круговая частота напряжения генератора
питания; i - мгновенное значение тока в контуре.
Решим совместно уравнения (2.3) и (2.4) относительно тока. Из уравнения (2.3)
получаем, учитывая, что постоянная составляющая магнитной индукции в сердечнике
отсутствует: . Используя аппроксимацию (2.2), находим искомый ток:
В полученное выражение входят коэффициенты аппроксимации a и b, которые
требуется определить с помощью в.а.х. для действующих значений тока и
напряжения.
Используем известное соотношение между действующим и мгновенным значениями тока
и разложение гиперболического косинуса , где I0(x), I2k(x) - модифицированные
функции Бесселя. Найдем зависимость между действующими значениями тока I и
напряжения U в приведенной цепи:
, где , (2.5)
Т.к. для точек в.а.х. нелинейной индуктивности, за исключением области вблизи
начала координат, выполняется неравенство [46]:
I0(x) >> 1, x=2qbU. (2.6)
Используя асимптотическое разложение [48]:
, (2.7)
с учетом (2.6) и (2.7) из (2.5) получим:
(2.8)
с ошибкой, не превышающей , где .
Определим коэффициенты аппроксимации методом выбранных точек по двум значениям
в.а.х. - I1, U1 и I2, U2. После преобразования (2.8) находим следующие
выражения для a и b:
, .
Более точные значения коэффициентов аппроксимации получаем из условия минимума
суммы (2.1), которая является функцией искомых a и b и имеет вид:
Это условие дает выражение для определения b:
из которого, можем найти a:
Если рассматриваемая часть характеристики нелинейной индуктивности далека от
области насыщения, то выражения для опр
- Київ+380960830922