РАЗДЕЛ 2
ОБРАТНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРОДОЛЬНО НАГРУЖЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
В настоящем разделе приводятся методы исследования процессов деформирования в
продольно нагруженном стержне переменного сечения, находящемся под воздействием
нестационарного нагружения, а также составного стержня, состоящего из двух
стержней переменного сечения. В разделе рассмотрены: задача определения
параметров напряженно-деформированного состояния (НДС), задача идентификации
внешнего нагружения и задача управления НДС. Для решения перечисленных задач
было использовано преобразование Лапласа [54, 55], метод конечных разностей
[105] и методика численного решения интегральных уравнений с помощью способа
аппроксимации подынтегральных функций кусочно-постоянными функциями [158].
2.1. Обратные задачи для стержней переменного сечения конечной длины
Рассматривается задача определения параметров напряженно-деформированного
состояния консольного стержня переменного сечения конечной длины L. На
свободный торец стержня с координатой х=0 вдоль его оси действует
нестационарная нагрузка N(t)=P(t)?F(0). Торец с координатой х=L жестко
закреплен (рис. 2.1).
Площадь поперечного сечения рассматриваемого стержня изменяется по
экспоненциальному закону:
(2.1)
где h – площадь поперечного сечения стержня на торце;
б – параметр, определяющий изменение площади поперечного сечения стержня вдоль
его оси.
Рис. 2.1. Исследуемая механическая система.
В качестве уравнения, описывающего волновой процесс, принимается волновое
уравнение для стержней переменного сечения, при выводе которого предполагается,
что поперечные сечения стержня остаются плоскими при деформировании, а
распределение нормальных напряжений равномерно по сечению [58]:
(2.2)
где а – скорость распространения продольных волн.
2.1.1. Определение параметров напряженно-деформированного состояния (решение
прямой задачи теории упругости).Решение уравнения (2.2) должно удовлетворять
условию жесткого закрепления стержня u(L,t)=0 и силовому условию, а также
нулевым начальным условиям:
u(t=0)=0;
С учетом указанных начальных условий можно записать выражение для определения
функции перемещения в пространстве изображений по Лапласу в виде:
(2.3)
где АL(s) и ВL(s) – произвольные функции параметра s.
Их оригиналы – A(t) и B(t) – произвольные функции времени.
Искомая функция перемещений после выполнения обратного преобразования [54, 55]
будет иметь вид:
(2.4)
где J0(x) – функция Бесселя 0 – го порядка.
На основе выражения (2.4) можно получить функциональную зависимость
деформаций от времени и координаты:
(2.5)
Для определения неизвестных функций времени A(t) и B(t) на основании граничных
условий формируется система интегральных уравнений:
(2.6)
Для решения этой системы уравнений с целью нахождения неизвестных функций
времени A(t) и В(t), воспользуемся способом аппроксимации подынтегральных
функций кусочно-постоянными функциями [158]. Суть предложенного метода
заключается в следующем. Допустим, время t изменяется в интервале значений от 0
до Т. Вводится величина шага по времени Dt=T/M, где М – количество временных
интервалов (целое положительное число). В области изменения переменной t
функция у(t) аппроксимируется следующим выражением:
(2.7)
где
H(t) – функция Хевисайда.
Аппроксимация позволяет найти решение системы интегральных уравнений (2.6) в
виде:
(2.8)
(2.9)
где ;
- целая часть числа х.
На основании выражений (2.4) и (2.5), реккурентное по индексу m выражение для
определения продольной деформации точек стержня может быть представлено в
виде:
(2.10)
где ; .
Значения Аm и Вm определены выражениями (2.8) и (2.9).
Для численного анализа принимаются следующие величины констант, определяющих
геометрические характеристики и физические свойства материала стержня: a»5150
м/сек - скорость распространения продольных волн в стальных стержнях; длина
стержня L = 1 м; F(x) – площадь поперечного сечения стержня, которая изменяется
по зависимости (2.1) (рассмотрен круглый стержень с диаметром 0.02 м в точке с
координатой х = 0); Е – модуль упругости (для стали Е = 2.1Ч1011 Па).
При решении прямой задачи в качестве импульсной возмущающей нагрузки рассмотрим
силу, заданную в виде:
(2.11)
Графики зависимости перемещений, возникающих в различных точках стержня под
действием импульсной возмущающей силы (2.11), от времени t приведены на рис.
2.2 а-в, а графики зависимости деформаций – на рис. 2.3 а-в, соответственно.
При вычислении принималось, что N0 =100 H.
На рис. 2.2 а-в сплошной линией показаны зависимости значений перемещения
разных точек стержня от времени при значении параметра a=1 м-1 (стержень
переменного сечения), а пунктирной линией – при a=0 м-1 (стержень постоянного
сечения).
а) х = 0.25, м б) х = 0.5, м
в) х = 0.75, м
Рис. 2.2. Результаты расчета перемещений точек стержня.
Обозначение кривых на рис. 2.3 аналогично соответствующим кривым на рис. 2.2.
а) х = 0.25, м б) х = 0.5, м
в) х = 0.75, м
Рис. 2.3. Результаты расчета деформаций точек стержня.
Отметим, что при рассмотренном нагружении зависимости перемещений и деформаций
от времени носят сложный характер, что вызвано волновым характером
деформирования и наличием двух отражающих поверхностей.
2.1.2. Идентификация внешней нагрузки. Предметом задачи идентификации является
определение функции зависимости внешней динамической нагрузки от