РОЗДІЛ 2
УДОСКОНАЛЕННЯ ТЕОРЕТИЧНИХ ОСНОВ ПРОЕКТУВАННЯ
ПРИВ'ЯЗНИХ ПІДВОДНИХ СИСТЕМ ДЛЯ РЕЖИМІВ, КОЛИ НЕОБХІДНО ВРАХОВУВАТИ ЖОРСТКІСТЬ НА ЗГИНАННЯ ЇХ ГНУЧКИХ ЕЛЕМЕНТІВ
2.1. Огляд методів математичного моделювання гнучких елементів
2.1.1. Загальне диференційне рівняння рівноваги пружної лінії ГЕ
Розглянемо ГЕ, який зазнав деформації під впливом зовнішніх навантажень (рис. 2.1). У загальному випадку на ГЕ впливають зосереджені сили і моменти (на рис. 2.1 вони не показані), котрі зумовлені як зовнішніми, так і внутрішніми факторами, а також зовнішні навантаження, які мають випадковий напрям і довільний розподіл по довжині ГЕ. Позначимо їх інтенсивність функціями і , де - довжина ГЕ. Припустимо, що в процесі деформації ГЕ вони можуть змінюватися, однак для кожного деформованого стану ГЕ вони є повністю визначеними [45, 65].
Рисунок 2.1 Деформація ГЕ ППС під впливом навантаження
Виділимо на ГЕ довільно безкінечно малий відрізок таким чином, щоб зосереджені сили та моменти знаходилися поза відрізком.
Замінено розподілене зовнішнє навантаження на вибраному відрізку зосередженими силами, які прикладені до середини відрізка, - і .
Згідно з теорією перетинів на краях відрізка будуть діяти головні вектори сил і та моментів і , прикладені до центру ваги площі перетину [62].
З урахуванням деформації ГЕ для виділеного відрізка в точці В маємо:
; ,(2.1)де - повний диференціал вектора, який міняється по дузі ГЕ , в нерухомій системі координат (x, y, z).
Одночасно довжина відрізка АВ може бути виражена як , де - одиничний вектор (дотична) природного тригранника (n, b, ?).
Тому момент сили відносно точки В буде
У зв'язку з цим рівняння рівноваги для відрізка матимуть вигляд:
та .
Звідси, з урахуванням (2.1), отримуємо загальні диференціальні рівняння рівноваги пружної лінії ГЕ, записані в векторній формі [45,65]:
і .(2.2) В векторній формі отримані рівняння є інваріантними до будь-якої системи координат [69]. Тобто, якщо їх спроектувати на вісі нерухомої системи координат (x, y, z), то отримаємо шість скалярних рівнянь рівноваги відрізка.
Невідомими в (2.2) є вектори , та ; відомими - розподілені зовнішні навантаження і , зосереджені сили і моменти та умови закріплення ГЕ (крайові умови).
Однак одержана система (2.2) є неповною, тому що визначити і з неї неможливо. До рівняння моментів входить одиничний вектор , положення якого в просторі невідоме і залежить від деформації ГЕ [45, 65, 69].
Для визначення характеру деформації ГЕ знайдемо його проекції на вісі зв'язаної (рухомої) системи координат - головного тригранника (u, v, w).
Виразимо похідні векторів і , що ввійшли в (2.1) як повні диференціали векторів по в нерухомій системі координат (x, y, z), через локальні (або відносні) похідні по в рухомій системі (u, v, w):
і ,(2.3)де - локальна похідна; - вектор кутової швидкості рухомої системи координат навколо свого початку.
Після підстановки рівнянь (2.3) в (2.2) отримуємо:
і .(2.4) Позначимо: проекції векторів , , і на осі головного тригранника (u, v, w) як F1, F2, F3; f1, f2, f3; M1, M2, M3; m1, m2, m3 та проекції вектора кутової швидкості через:
, і , (2.5) де і - просторові кривизна та кручення ГЕ, а - кут між осями n і u (або b і v) природного та головного тригранників (рис. 2.2).
Приймемо до уваги, що проекції локальних похідних на осі головного тригранника (u, v, w) будуть представляти вже повні похідні по дузі l, тобто
, , ;
, , ,
а проекція вектора на осі головного тригранника (u, v, w) буде (0, 0, 1) [65].
Таким чином, із векторних рівнянь (2.4) отримуємо систему з шести скалярних рівнянь:
Рисунок 2.2 Основні системи координат просторового ГЕ
(2.6) Отримані диференціальні рівняння рівноваги пружної лінії ГЕ в скалярній формі одержали назву рівнянь Кірхгофа [65]. Всі величини, що входять до складу рівнянь, можуть змінюватися під час розрахунку, але для кожної задачі вони будуть визначеними і повинні відповідати наступним вимогам [45, 65]:
- зовнішні навантаження і є безперервними функціями довжини ГЕ і як окремий випадок можуть бути незмінні, в тому числі дорівнювати нулю;
- жорсткості на кручення та на згинання є безперервними функціями від довжини та діаметра ГЕ;
- кривизни і та кручення ГЕ (див. (2.5)) у первинному стані ГЕ є безперервними функціями від його довжини і як окремий випадок можуть бути незмінними, в тому числі дорівнювати нулю;
- зовнішні зосереджені сили і моменти , а також всі реакції зовнішніх зв'язків повинні бути прикладеними до країв ділянки ГЕ, що досліджується.
Вказані обмеження обумовлюють дослідження просторових ГЕ, які не мають точок перегину, працюють у середовищі з неперервними властивостями (ГЕ не перетинає межу середовища) та не мають додаткових точок взаємодії з навколишнім середовищем у вигляді зосереджених сил і моментів.
Проведемо невеликий аналіз отриманої системи рівнянь (2.6). Очевидно, що сили і є перерізаючими, - сила, що розтягує, і - згинаючі моменти і - момент, що крутить.
Згідно з законом Гука для вказаних моментів справедливі наступні співвідношення [45, 62, 65, 69]:
(2.7)де Е - модуль Юнга; G - модуль зсуву; J1 і J2 - моменти інерції площі поперечного перетину ГЕ відносно головних осей u і v; J3 - геометрична характеристика перетину при крученні (полярний момент інерції).
Якщо ГЕ в первісному стані має деформований вигляд - непрямолінійну форму осьової лінії - та має кручення, то вирази (2.7) трансформуються в:
(2.8)де , і - кривизни та кручення ГЕ в первісному стані.
З урахуванням (2.8) система рівнянь (2.6) набуде вигляду
(2.9) В отриманій системі рівнянь невідомими величинами є сили F1, F2 і F3, а також кривизни p і q та кручення r. Всі інші величини є відомими функціями довжини ГЕ або координат нерухомої системи і визначаю