ГЛАВА 2
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ФРАКТАЛЬНОГО ПОДХОДА К
ОБОБЩЕНИЮ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО КРИТЕРИЯ
КВАЗИХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
2.1. Постановка задачи
В настоящей работе перед автором стоит задача провести усовершенствование фрактального подхода к решению задач механики разрушения, который бы позволил, оставаясь в рамках линейной механики разрушения, привлечь к решению задач разрушения фрактальные характеристики структуры реальных трещин, переведя на более высокий уровень формализации понятие о структуре как таковой.
В рамках фрактального подхода, провести обобщение энергетической концепции Гриффитса на трещины, обладающие на микроуровне фрактальными характеристиками.
С помощью теории мер, дифференциальной геометрии, теории фракталов провести исследование окрестности вершины угловых вырезов, и по результатам исследований обосновать необходимость привлечения фрактальной размерности в качестве дополнительного параметра при решении задач разрушения для вырезов, имеющих угловые точки.
Для проверки достоверности обобщенной энергетической концепции решить задачу о разрушении луночного выреза. Провести сравнение полученных данных с результатами экспериментов, а также с подходом к решению этой задачи Нейбера-Новожилова.
При решении задачи о накоплении повреждений провести исследование зависимости фрактальной размерности формирующейся поверхности разрушения и параметра поврежденности среды.
2.2. Общая схема фрактального подхода
Основу механики разрушения составляют критерии прочности, которые устанавливают момент исчерпания несущей способности материала. При этом критерии прочности не следуют из уравнений равновесия и движения механики сплошной среды, а являются дополнительным условием при решении вопроса о предельном равновесии тела с трещиной. Формулировки критериев обязательно содержат некоторые удельные характеристики: на единицу длины, площади или объема, методика определения которых на гладких образцах стандартизирована. Но если граница исследуемого объекта на микроуровне сильно изрезана (шероховата), то реальные длина, площадь и объем отличаются от тех, с которыми работает традиционная теория, при этом возникает ряд противоречий экспериментальным данным. Введение фрактальной поправки при определении удельных характеристик, позволит учесть шероховатость поверхности, а также автомодельность процесса разрушения.
Общая схема фрактального подхода предполагает следующие этапы:
- на микроуровне профиль шероховатой трещины аппроксимируется соответствующим фрактальным объектом размерности , при этом ;
- фрактальная шероховатость "сглаживается" покрытием - мерными шарами; для оценки реальной длины трещины строится энтропийная - мерная мера;
- на макроуровне, трещина имеет вид гладкого контура, поэтому остаются справедливыми классические постановки задач разрушения, носителем фрактальных микроособенностей трещины выступает дополнительный параметр - фрактальная размерность .
Таким образом, фрактальный подход по предложенной схеме, позволит, оставаясь в рамках линейной механики разрушения, не только привлечь к решению задач дополнительный параметр, характеризующий геометрические особенности микроструктуры реальной трещины, но и частично отразить тот факт, что процесс разрушения - это совокупность процессов микро- и макроуровней.
Следует отметить, привлечение фрактальных кривых (в плоском случае) к моделированию на микроуровне шероховатости реальных трещин предполагает некоторое ограничение - "...извилистость реальной трещины, как и ее площадь, имеют конечные значения, поэтому существует естественный нижний предел применимости фрактальной модели" [120, с.161]. Для металлов это размер зерна или субзерна. Другими словами, нижний предел следует понимать не в математическом, а в физическом смысле. С другой стороны, математический фрактал бесконечно извилист и поэтому имеет бесконечную длину. Таким образом, фрактальная модель имеет и верхний предел применимости. Как отмечено в работе А.Ф. Булата и В.И. Дырды [120, с.161], "...верхний предел применимости связан с геометрическими размерами тела, размерами трещины, характерным масштабом неоднородности внешних полей и т.д.". Таким образом, конечность интервала, на котором проявляются фрактальные свойства физических объектов, предопределяет, что, исследователь при нахождении фрактальных характеристик должен сам выбрать этот интервал, при этом все полученные с помощью фрактальных объектов соотношения на практике выполняются лишь приближенно.
2.3. Обобщенная фрактальная модель реальной трещины в
твердом теле
2.3.1. Фрактальные особенности процесса разрушения. На сегодняшний день в механике разрушения твердых тел сложились ряд представлений о самом механизме разрушения, которые непосредственно стали основой предложенного в диссертационной работе фрактального подхода. Выделим основные из них.
1. Необходимость одновременного рассмотрения процессов разрушения, происходящих на различных структурных уровнях. Механика деформируемого твердого тела оперирует такими понятиями, в определении которых уже присутствует представление о континууме и его свойствах, например, идеально-упругое, идеально-жесткое тело. Отражением же коллективности процесса разрушения является иерархическая природа деформирования и разрушения, поскольку на микроскопическом уровне процессы макроскопического деформирования связаны с деформацией и разрывом межатомных связей. Это изменение не может происходить как изолированный процесс, а всегда только как скоррелированное взаимодействие многих структурных элементов тела. Необходимость одновременного рассмотрения процессов, происходящих на различных структурных уровнях очевидна: при мысленном "дроблении" используемых в технике материалов на все более мелкие кусочки мы приходим к качественному изменению свойств на некотором уровне. Этот предел не всегда существует отчетливо, но для таких материалов уже не применима методология континуума.
2