РОЗДІЛ 2
РІВНЯННЯ НЕСКІНЧЕННОГО ЛАНЦЮГА ОСЦИЛЯТОРІВ
1.1. Формулювання задачі, існування та єдиність локальних розв'язків задачі Коші
В даній роботі вивчаються деякі питання динаміки нескінченного ланцюга лінійно зв'язаних нелінійних осциляторів. Нехай - узагальнена координата -го осцилятора. Рівняння його руху при відсутності взаємодії з сусідніми осциляторами має вигляд:
Передбачається, що кожний осцилятор лінійно взаємодіє з двома своїми найближчими сусідами. Тоді рівняння руху системи, що розглядається, мають вигляд
(2.1)
Рівняння (2.1) представляють собою нескінченну систему звичайних диференціальних рівнянь. Розглядаються такі розв'язки системи (2.1), що
(2.2)
тобто осцилятори знаходяться в стані спокою на нескінченності.
Потенціал запишемо у вигляді
і покладемо
Тоді рівняння (2.1) матиме вигляд
(2.3)
Враховуючи граничні умови (2.2), при певних припущеннях це рівняння природно розглядати як диференціально-операторне рівняння
(2.4)
в гільбертовому просторі дійсних двохсторонніх послідовностей , де
а нелінійний оператор визначається формулою
(2.5)
Скалярний добуток і норма в позначаються і відповідно.
За означенням, розв'язком (2.4) вважається двічі неперервно диференційовна функція від зі значенням в .
Передбачається, що
послідовності і дійсних чисел обмежені;
- функція класу на , і для будь-якого існує таке , що для всіх
(2.6)
В умові неважко бачити, що є обмежений самоспряжений оператор в
Лема 2.1.1. Нехай виконується умова , тоді оператор є обмеженим оператором в Більше того, оператор є неперервним за Ліпшицем на кожній кулі простору
Доведення. Нехай і . Покажемо, що і з деякою константою . Оскільки то з нерівності (2.6) та умови випливає, що
Звідси
що доводить першу частину леми.
Нехай тепер і Тоді
і нерівність (2.6) дає
Аналогічно до попереднього отримуємо
що і доводить неперервність за Ліпшицем. Лему доведено. ?
Рівняння (2.4) можна записати як рівняння першого порядку в просторі
(2.7)
де і (стандартний прийом приведення рівняння другого порядку до системи першого порядку). Згідно леми 2.1.1, оператор є неперервним за Ліпшицем в просторі .
Як наслідок стандартного результату про існування та єдиність локальних розв'язків (див., наприклад, [13]), має місце
Теорема 2.1.1. Нехай виконуються умови та . Тоді для будь-яких і рівняння (2.3) має єдиний розв'язок класу , який визначений на деякому інтервалі і задовольняє початкові умови
(2.8)
1.2. Існування та єдиність глобальних розв'язків задачі Коші
Оскільки рівняння (2.4) може бути записане у вигляді еквівалентного рівняння (2.7), то наступне твердження про існування та єдиність глобальних розв'язків випливає із теореми 1.2, розділу 8 [13].
Теорема 2.2.1. Нехай виконуються умови та з константою , що не залежить від . Тоді для будь-яких і задача (2.4), (2.8) має єдиний розв'язок визначений при всіх
Умови теореми 2.2.1 означають, зокрема, що потенціал має зріст на нескінченності не вище другого степеня.
Рівняння (2.4) можна записати у гамільтоновому вигляді з гамільтоніаном
(2.9)
де
Лема 2.2.1. В умовах є функціоналом класу на
Доведення. Квадратичні члени і в (2.9) є, очевидно, функціоналами класу (нагадаємо, що згідно - обмежений лінійний оператор). Тому достатньо показати, що
- функціонал класу на . Нехай і визначено рівністю (2.5).
За формулою Лагранжа, існують такі , що
Припустимо, що і . Тоді і згідно ,
Це означає, що похідна існує і . Оскільки, за лемою 2.1.1, оператор неперервний, то Лему доведено. ?
Розглянемо гамільтонову систему з гамільтоніаном
(2.10)
Оскільки і , то система (2.10) еквівалентна рівнянню (2.7), а значить і рівнянню (2.1). Як добре відомо (див., наприклад, [2], [38], [50]), є інтегралом системи (2.2). Звідси отримуємо
Наслідок 2.2.1. В умовах нехай - розв'язок рівняння (2.1) зі значеннями в . Тоді
Теорема 2.2.2. Додатково до умов та , припустимо, що оператор недодатний, тобто для будь-якого . Крім того, нехай виконується одна із наступних умов:
для всіх і
існує така неспадна функція , що і для всіх і
Тоді для будь-яких задача (2.4), (2.8) має єдиний розв'язок, визначений при всіх
Доведення. Випадок . Нехай - локальний розв'язок задачі (2.4), (2.8), що існує згідно теореми 2.1.1. Для того, щоб довести, що визначена на всій осі, достатньо показати, що функція залишається обмеженою на будь-якому скінченому інтервалі існування розв'язку (див., наприклад, [21], теорема Х.74).
Маємо
Згідно умов теореми і означення гамільтоніана,
Отже, обмежена на . Оскільки
то звідси випливає обмеженість і теорему в цьому випадку доведено.
Випадок . Нехай такий, що і - розв'язок рівняння (він, очевидно, існує). Із означення та умов теореми випливає, що
і, отже, на множині, де строго зростає, виконується нерівність
На множині, де стала, виберемо так, щоби було найбільшим на даній множині, тоді автоматично .
Нехай - функція, визначена рівністю
Покладемо
Неважко перевірити, що модифіковане рівняння (2.3) з потенціалом задовольняє умовам теореми 2.2.1 і, отже, має глобальний розв'язок з початковими даними . Елементарні обчислення показують, що
,
де
Для модифікованого гамільтоніана маємо . Оскільки , то . Отже,
Оскільки , то . Оскільки для модифіковане рівняння співпадає з вихідним, то теорему доведено. ?
При деяких додаткових припущеннях умову недодатності в теоремі 2.2.2 можна відкинути.
Наслідок 2.2.2. Нехай виконуються у
- Київ+380960830922