РОЗДІЛ 2. МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ТЕПЛОЕЛЕКТРИЧНИХ ПРОЦЕСІВ У НПОС
У даному розділі формалізовано і проаналізовано математичні моделі теплоелектричних процесів у резисторних НПОС, що мають різну область застосування, рівень адекватності та швидкості аналізу: тривимірну математичну модель нестаціонарних теплоелектричних процесів у резисторних НПОС, що враховує нелінійність усіх характеристик, одновимірну математичну модель нестаціонарних теплоелектричних процесів у резисторних НПОС. Для кожної побудованої математичної моделі розроблений метод для її аналізу.
2.1. Тривимірна математична модель нестаціонарних теплоелектричних процесів НПОС
Математичні моделі, які містять багато залежностей теплових і електричних характеристик детально відтворюють особливості конструкції та максимально точно описують теплові й електричні процеси.
Проблема аналізу таких моделей полягає у тому, що вони потребують значних ресурсів. Деякі компоненти такої моделі можуть бути зайвими і лише погіршувати економічність математичної моделі. У даному підрозділі розглянута математична модель теплоелектричних процесів у надпровідному обмежувачі струму, що має вигляд бруска, з урахуванням нелінійної залежності електричних та теплофізичних характеристик надпровідного матеріалу від теплоелектричного режиму обмежувача струму, а також взаємозв'язок обмежувача струму з електричною схемою. Модель може бути використана для аналізу будь-яких теплоелектричних режимів НПОС. При аналізі моделі використовується метод скінчених елементів та ітераційні алгоритми обчислень для врахування нелінійних залежностей у математичній моделі [73,74,75].
Розглянемо резисторний НПОС, конструкція якого описана у роботі [17,57]. Схема конструкції даного пристрою наведена на рисунку 2.1. Елемент занурено у рідкий азот для підтримки надпровідного стану. Через золоті контакти на пластини подається струм I. Надпровідна пластина з матеріалу YBCO знаходиться на сапфіровій підкладці для механічної стабільності елементу.
Рис. 2.1. Конструкція резисторного НПОС.
Товщина пластини бралась близькою до значення лондонівської глибини проникнення магнітного поля у надпровідний матеріал YBCO. Таким чином, припускалось, що неоднорідний розподіл струму в надпровідному елементі спричинений лише неоднорідністю розподілу температури.
У зв'язку з тим, що надпровідний обмежувач струму перебуває у рідкому азоті чи гелію для підтримки надпровідного стану, він має бути ізольований від зовнішнього середовища. Це дозволяє не враховувати тепловий вплив зовнішнього середовища (потік тепла через контакти не впливатиме на теплоелектричний режим надпровідної пластини завдяки дії кріогенного охолоджувача);
Теплоелектричні процеси надпровідного обмежувача струму будуть пов'язані з електричним навантаженням у схемі. Тому математична модель НПОС буде пов'язана з електричним опором, індуктивністю та ємністю пристрою, який захищає НПОС.
При побудові математичної моделі резисторного НПОС необхідно врахувати наступні елементи конструкції: надпровідний елемент, діелектричну підкладку, кріогенний охолоджувач, електричні контакти. При цьому кріогенний охолоджувач і діелектрична підкладка не відіграватимуть ролі в електричних процесах у резисторному НПОС. Відповідно у математичній моделі це повинно бути змодельоване граничною умовою рівності нулю напруженості електричного поля на межі діелектричної підкладки і надпровідної пластини та на межі кріогенного охолоджувача і надпровідної пластини. Вплив кріогенного охолоджувача на теплові процеси враховується у моделі через граничну умову.
Внаслідок залежності електричної провідності надпровідного матеріалу від температури необхідно розглядати теплові процеси одночасно з електричними, так як тепловиділення у надпровіднику, в свою чергу, залежить від електричної провідності. Взаємозв'язок між моделлю теплових процесів і моделлю електричних процесів виражається в наступних залежностях: залежності електричної провідності надпровідного матеріалу від температури і густини струму (напруженості електричного поля); залежності інтенсивності джерел тепла у надпровідній пластині та контактах від густини струму (напруженості електричного поля) і електричної провідності.
Схематичне зображення схеми із захистом за допомогою НПОС зображено на рисунку 2.2.
Рис. 2.2. Модель електричного кола із НПОС.
Електричні процеси у надпровіднику описуються рівняннями:
, , , (2.1)
де - густина струму, - електрична провідність, - електричний потенціал, - напруженість електричного поля. На ізольованих поверхнях напруженість електричного поля дорівнює нулю. Різниця електричних потенціалів на границях поверхонь контактів дорівнює падінню напруги на НПОС .
Теплові процеси у надпровіднику опишемо наступним нелінійним рівнянням:
, (2.2)
де і - відповідно теплоємність і теплопровідність надпровідного матеріалу, - густина матеріалу, - густина струму. Значення електричної провідності надпровідного матеріалу апроксимуємо за допомогою формули:
(2.3)
де - електрична провідність надпровідника в надпровідному стані при температурі кріогенного охолоджувача , - електрична провідність надпровідника у нормальному стані при критичній температурі ,
- критична температура надпровідника, - коефіцієнт збільшення питомого електричного опору з ростом температури, - критичний струм надпровідника, що може бути наближено наступною функцією:
(2.4)
Для підкладки, рівняння теплопровідності має вигляд:
, (2.5)
де - питома теплоємність, - теплопровідність, - густина матеріалу підкладки.
На поверхнях, що контактують із рідким азотом ми вводимо наступні граничні умови: , де - коефіцієнт охолодження рідкого азоту, що залежить від температури, - нормальна похідна температури до поверхні. На стику підкладка - надпровідник ми припускаємо рівність теплових потоків: .
Аналіз нелінійної тривимірної математичної моделі теплоелектричних процесів у НПОС відбувався за допомогою методу скінчених елемен
- Київ+380960830922