Розділ 2
ПОЄДНАННЯ МЕТОДІВ ГРАНИЧНИХ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ (ГІР) ТА МАЛОГО ПАРАМЕТРА У ТРИВИМІРНИХ ЗАДАЧАХ ПРО УСТАЛЕНІ КОЛИВАННЯ У ПРУЖНОМУ ТІЛІ З ПРОСТОРОВОЮ ТРІЩИНОЮ
Математичне дослідження динамічних явищ у тілах з дефектами типу тріщин у рамках теорії пружності ґрунтується на їх адекватному моделюванні через постановки відповідних крайових задач. Ці постановки включають диференціальні рівняння руху середовища, співвідношення зв'язку між переміщеннями, деформаціями та напруженнями і граничні умови, які відображають способи збудження хвильового процесу, характер дифракції, відбиття та заломлення хвиль на перешкодах та границях.
У даному розділі здійснено гранично-інтегральне формулювання динамічних задач про вплив просторової тріщини на напружено-деформований стан безмежного пружного тіла під час розповсюдження у ньому гармонічних хвиль. Специфіка розгляду тріщини полягає у заданні граничних умов на змінні у часі зусилля на двох поверхнях, які не відрізняються розташуванням, але мають протилежні напрямки нормалі. Прикладені до тріщини зусилля є самозрівноваженими на цих поверхнях у кожній її точці, тобто математично тріщина моделюється стрибками динамічних переміщень при збереженні неперервності зусиль (напружень) в місці локалізації дефекту. Необхідною є побудова інтегральних (потенціальних) зображень розв'язків задач у вигляді потенціалів, густини яких відображають стрибкоподібний характер розв'язку актуальних величин на тріщині. Мається на увазі стрибок переміщень поверхонь дефекту в напрямках координатних осей. Далі шляхом підстановки інтегральних зображень у граничні умови дії зусиль на поверхні тріщини виводиться система ГІР щодо функцій розкриття тріщини.
У цьому ж розділі запропоновано метод малого параметра для аналітичного розв'язання ГІР типу потенціалу Гельмгольца у гіперсингулярній формі у випадку низькочастотних хвильових процесів та пологих тріщин у безмежному пружному тілі, який базується на розвиненні розв'язку у подвійні збіжні степеневі ряди за частотним та геометричним параметрами. Тут другий параметр характеризує кривину поверхні.
Основні результати цього розділу опубліковані у працях [95, 99].
2.1. Постановка тривимірних задач дифракції та випромінювання пружних гармонічних хвиль тріщиною у безмежному тілі. Динамічні коефіцієнти інтенсивності напружень (КІН)
Розглянемо безмежне пружне ізотропне тіло з довільно розташованою по поверхні Ляпунова тріщиною S з гладким контуром L за гармонічного за часом t зовнішнього збурення, що задається набігаючою із нескінченності хвилею переміщень з компонентами чи напружень , віднесеними до декартової системи координат (рис. 2.1). Компоненти збуджувальної хвилі змінюються у часі за законом
, ,
, , (2.1)
де , - амплітуди компонент переміщень і напружень;
- радіус-вектор точки тіла;
- уявна одиниця;
- задана циклічна частота коливань.
Вільні від навантажень протилежні поверхні тріщини параметризуються заданням нормалі до поверхні S в точці x просторового розташування тріщини так, що досягаються спрямуванням точки x до S зі сторони нормалі та з протилежної сторони відповідно.
Як наслідок гармонічності збурення, спільний експоненціальний часовий множник можна виокремити з подальшого аналізу всіх величин напружено-деформованого стану та звести задачу до відшукання тільки амплітудних значень відповідних величин.
Рис. 2.1.
Дифракційне походження хвильової картини у динамічно збуреному безмежному пружному тілі з тріщиною (рис. 2.1) для усталеного процесу забезпечується поданням компонент переміщень та напружень в ньому у вигляді суперпозиції:
, ,
, . (2.2)
Тут позначення "total" відповідають загальному полю хвиль, "in" - полю падаючих хвиль від заданих динамічних навантажень тіла (величини з цим позначенням вважаються відомими як розв'язки задач без урахування присутності в тілі дефекту, тобто для однорідного тіла);
- невідомі компоненти переміщень у розсіяних дефектом хвилях;
- невідомі компоненти напружень у розсіяних дефектом хвилях.
Ключовим для визначення вектора переміщень є рівняння Ляме для усталених коливань, яке за відсутності масових сил має вигляд
, (2.3)
в якому () - хвильові числа;
- тривимірний набла-вектор у прямокутній системі координат;
і - швидкості поширення у тілі поздовжніх і поперечних хвиль, які виражаються через сталі тіла залежностями
, , ;
G - модуль зсуву;
? - густина тіла;
? - коефіцієнт Пуассона.
Якщо компоненти вектора переміщень u як функції радіуса-вектора точки тіла і часу t відомі, то компоненти тензора деформацій можна визначити із співвідношень Коші
, , (2.4)
а компоненти симетричного тензора напружень - із співвідношень закону Гука
, , (2.5)
де - символ Кронекера.
Якщо розсіювач у тілі - довільно розташована тріщина (рис. 2.1), то умови вільності її поверхонь від навантажень з урахуванням суперпозиційних подань (2.2) будуть
, , , (2.6)
де - j-ва компонента одиничної нормалі до поверхні S в точці , праві частини мають вигляд
, , . (2.7)
Таким чином, задача дифракції гармонічних хвиль на тріщині у безмежному тілі зводиться до розв'язання рівняння Ляме (2.3) з граничними умовами на напруження (2.6).
Абстрагування від зв'язку (2.7) дозволяє описати також граничними умовами (2.6) задачі випромінювання хвиль просторовою тріщиною за дії на її поверхні гармонічних з компонентами () самозрівноважених зусиль (рис. 2.2). У цьому випадку дефект виступає джерелом хвильового процесу.
Під час розгляду безмежних тіл (зовнішніх задач) до постановки слід долучити умови пружного випромінювання Зоммерфельда у безмежно віддаленій точці. В теорії пружних коливань ці умови забезпечують відсутність власних коливань у безмежному середовищі. У загальному випадку вони полягають у обмеженнях на поведінку вектора переміщень на нескінченності, коли , і записуються наступним чином [9, 78]:
, ,
, , (2.8)
де
- Київ+380960830922