ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЯВЛЕНИЙ ДИФРАКЦИИ В СВЕТОВОМ ПОЛЕ
Дифракцией волн, в первоначальном узком смысле, называется огибание волнами
препятствий, в более широком современном смысле – любые отклонения при
распространении волн от законов геометрической оптики; наблюдается при
взаимодействии волн с объектом любых размеров. Принято рассматривать
дифракционные явления, как результат интерференции полей бесконечного множества
фиктивных элементарных источников, распределенных по всей плоскости отверстия.
При деструктивной интерференции этих источников света, т.е. возникновении
областей в которых их амплитуды равны, а фазы отличаются на p, образуются
фазовые сингулярности. В задачах дифракции с исходной асимметрией скалярного
поля, геометрическое место точек сингулярной фазы образуют в пространстве
линию, которая в сечении пучка плоскостью XY, представляет образование диполя
оптических вихрей.
Теоретический анализ дифрагированных пучков, содержащих дислокации волнового
фронта, в работах предшественников [65, 82-87], как правило, базировался на
расчете интеграла Кирхгофа в представлении Френеля или разложением поля по
модам (Лагерра-Гаусса, Эрмита-Гаусса и др.). В результате данных исследований
были получены амплитудно-фазовые распределения возмущенного пучка, указано
количество и расположение экстремумов и сингулярностей фазы, но отсутствовала
модель, позволяющая предсказывать возникновение и эволюцию ОВ в световом поле.
Это привело к тому, что некоторые важные сингулярные эффекты были незамечены
или обнаружены случайно.
Вследствие этого актуальным как с научной, так и практической точки зрения
является наличие модели, позволяющей прогнозировать образование и эволюцию ОВ в
дифрагированном световом поле. В данной главе развита модель в параксиальном
приближении, позволяющая качественно и количественно предсказать область
локализации дислокаций волнового фронта и указать причины их возникновения.
2.1. Скалярная теория дифракции в приближении Кирхгофа
Рассмотрим общий вид дифракционной задачи (рис. 2.1), в которой О – источник
света, излучающий гармонические волны, а S – замкнутая поверхность, окружающая
точку Р. Элемент поверхности dS расположен в точке М, ОМ=r, РМ=r1, внешняя
нормаль к S есть n.
Рис. 2.1. Геометрические построения к выводу интегральной теоремы
Кирхгофа-Гемгольца
Вектор электрического поля световой волны E(r,t) удовлетворяет волновому
уравнению (ВУ):
. (2.1)
В общем случае решение уравнения (2.1) можно записать в виде:
или ,
где r – радиус-вектор, , - функция пространственных координат, которая задает
форму волновой поверхности. Для плоской волны единичной амплитуды,
распространяющейся вдоль оси z, она имеет вид ; - частота падающего излучения,
k – волновой вектор равный , - скорость света.
По теореме Грина две функции пространственных координат и , однозначны и
непрерывны (так же как их первые и вторые производные) внутри некоторой
пространственной области, включая ее границу, связаны между собой соотношением
, (2.2)
Причем интеграл, стоящий слева, берется по объему области пространства,
ограниченному поверхностью S, а интеграл, стоящий справа по самой этой
поверхности; n обозначает внешнюю нормаль к поверхности S.
Если и - два решения волнового уравнения, то
следовательно, левая часть уравнения (2.2) равна нулю.
Положим теперь равное (т.е. некоторому неопределенному решению уравнения
(2.1)), а равное - функции, описывающей сферическую волну. Подставляя выражения
для функций и в (2.2), получим
. (2.3)
Соотношение (2.3) представляет собой интегральную теорему Гемгольца-Кирхгофа и
является основой скалярной теории дифракции.
Для плоской волны и распределение поля в т.Р примет вид
(2.4)
Для того, чтобы интегральное уравнение (2.4) использовать как формулу для
вычисления по известным значениям и в точках плоского экрана, Кирхгоф предложил
следующие правила:
На отверстиях и имеют такие же значения, какие они имели бы при отсутствии
непрозрачных частей экрана .
На непрозрачных частях экрана и .
Оптическое приближение. При рассмотрении оптических задач для видимого
диапазона выполняется условие . Его учет при дифференцировании второго члена в
(2.4) приводит к следующему приближению:
Тогда окончательное выражение для дифракции плоской волны примет вид
. (2.6)
Использование выражения (2.6) допустимо лишь при условии, что обе точки как О,
так и Р удалены от т. М на поверхности S на расстояния, гораздо большие длины
волны используемого излучения.
2.2. Диффузионная модель дифракции
Представим световое поле в плоскости источника (рис. 2.2) как множество лучевых
трубок, интенсивность излучения в каждой из которых пропорциональна потоку
энергии вдоль трубки. Дифракция в первом приближении представляет собой эффект
поперечной диффузии лучевой амплитуды из одних трубок в смежные, или, иными
словами, диффузию лучевой амплитуды по фронтам распространяющихся волн. Фронты
волн можно считать плоскими в параксиальном приближении.
Рис. 2.2. Расположение систем координат в плоскостях источника и наблюдения
дифракционной картины на расстоянии
Параксиальное приближение используется при описании оптических полей, для
которых выполняются следующие условия:
Малость изменения амплитуды вдоль пучка по сравнению с градиентом амплитуд в
поперечном направлении
. (2.7)
Поперечная компонента нормали к фазовой поверхности намного меньше, чем ее
продольная составляющая
. (2.8)
Положим, что рассматриваемые световые пучки обладают вышеуказанными свойствами,
и построим математическую модель эволюции ди
- Київ+380960830922