Розділ 2
Теоретичні дослідження процесу взаємодії струменів повітряно-механічної піни
різної кратності ПІД ЧАС їх польоту
2.1. Математична модель процесу взаємодії струменів повітряно-
механічної піни
Для дослідження процесу взаємодії струменів повітряно-механічної піни (далі
просто піни) різної кратності необхідно побудувати математичну модель, яка б
описувала процес переміщення в повітрі похилих гідравлічних струменів та їх
взаємодію. Як відомо [36], траєкторією таких струменів є парабола (рис. 2.1), а
розрахунки базуються на інтегруванні рівнянь руху матеріальних точок з
врахуванням опору середовища. Щодо нашого випадку, то слід також врахувати
сили, які виникають внаслідок взаємодії струменів між собою.
Рис. 2.1. Параболічна траєкторія польоту пінних струменів
2.1.1. Дослідження вертикальних струменів при довільній залежності сили опору
від їх швидкостей та сили взаємодії струменів від різниці їх швидкостей.
Для спрощення процесу розглянемо частковий випадок, коли кут нахилу струменя до
горизонту И=90є, тобто струмені є вертикальними (рис. 2.2).
Класично, при дослідженні вертикальних струменів, використовують емпіричні
формули Люгера та Фрімана [36,64], які побудовані на основі експериментальних
досліджень та дозволяють знайти втрати напору. Ми ж будемо задаватись не
виразами втрат напору, а силою опору руху, як функцією швидкості потоків.
Швидкість визначиться розв’язком диференціального рівняння Бернуллі, що
співпадає з рівнянням руху кинутої вертикально в верх матеріальної точки.
Розглянемо для початку загальний випадок, коли сили опору повітря (Fоп1, Fоп2)
та сила взаємодії струменів між собою (Fвс) є деякими неперервними функціями
швидкості v, тобто:
Fоп1 = Fоп1(v1), причому Fоп1(0) = 0;
Fоп2 = Fоп2(v2), причому Fоп2(0) = 0;
Fвс = Fвс(v1- v2), причому Fвс(0) = 0.
Розглянемо конкретні випадки цих залежностей.
Щоби скласти диференціальне рівняння руху, розглянемо (рис. 2.2) динамічну
рівновагу елемента струменів різної кратності довжиною dy в напрямку
вертикальної осі oy. Вона виражається рівняннями:
(2.1)
де
; ,
(2.2)
Рис. 2.2. Виділений елемент струменів
Індекси 1 та 2 стосуються для позначення параметрів першого та другого
струменів, D і щ – діаметр і площа поперечного січення струменя; p – тиск; v –
вертикальна швидкість руху центра виділеного елемента; с – питома густина
рідини; g – прискорення вільного падіння; G – сила ваги; Fi – сила інерції; Fоп
– сила опору повітря, що діє на виділений елемент; Коп = Коп(y) – коефіцієнт
тертя струменя об повітря; f(v) – деяка неперервна функція швидкості; Fвс –
сила взаємодії струменів між собою; Квс=Квс(y) – приведений коефіцієнт тертя
струменя об струмінь.
Оскільки в подальшому буде розглядатися тільки стаціонарний рух струменів, то
для нього , а часткові похідні по y переходять в звичайні. Підставивши вирази
(2.2) в (2.1), переходимо до рівняння Бернуллі в диференціальній формі:
(2.3)
Для спрощення цих рівнянь, рахуватимемо тиск p в виділеному об’ємі струменя
висотою dy постійним, тому . Крім того, приймаємо КопD-1=const. В результаті
замість (2.3), отримаємо:
(2.4)
Слід відмітити, що у випадку взаємодії струменів між собою внаслідок сил
в’язкості, необхідно використовувати середні значення коефіцієнтів динамічної
в’язкості пінних струменів та середні значення їх питомих густин, оскільки, як
показали подальші експериментальні дослідження, при сумісному русі струмені
змішуються між собою і процес взаємодії носить турбулентний характер.
Як відмічено в роботі [ 63] спрощене рівняння Бернуллі є не що інше, як
рівняння руху кинутого вертикально в верх абсолютно жорсткого тіла масою m.
Дійсно, якщо сила опору повітря представлена виразом , то рух тіла визначається
рівнянням [7]:
(2.5)
де точка означає похідну за часом t.
Ввівши позначення :, отримаємо:
(2.6)
що співпадає з (2.4) при б = 4Коп(сD)-1.
Що стосується сил взаємодії струменів, то у нашому випадку ми маємо два кинуті
вертикально вверх абсолютно жорстких тіла, умовно зв’язаних між собою силами
в’язкого тертя.
Розглядаючи сили взаємодії між струменями слід зазначити, що крім сил в’язкості
ще є сили адгезії (когезії) та сили жорсткості. Однак, як показали подальші
теоретичні дослідження, вплив цих сил на параметри руху струменів є неістотним,
тому, для спрощення задачі, цими силами будемо нехтувати.
2.1.2. Використання рівнянь руху умовно зв’язаних матеріальних точок для
розрахунку траєкторій похилих гідравлічних струменів.
Оскільки з допомогою рівнянь динаміки кинутих вверх двох або більше абсолютно
твердих тіл, умовно зв’язаних між собою силами в’язкості можна описувати
стаціонарний рух вертикальних гідравлічних струменів, то узагальнимо цей метод
на двомірний випадок, тобто коли положення тіл в просторі в момент часу t
описується двома координатами: віссю абсцис x = x(t) і віссю ординат y = y(t).
Така методика теоретичних досліджень використовувалася в роботі [64] для
дослідження траєкторій похилого гідравлічного струменя з врахуванням сили його
тертя об повітря. Коефіцієнт тертя визначався методом ідентифікації, тобто
значення б підбиралося таким чином, щоби досягувалося співпадіння теоретичних
та експериментальних траєкторій. В цій же роботі також проведено встановлення
характеру залежності сили опору від швидкості, тобто встановлено значення
пропорційності, а саме: лінійну та квазілінійну залежність, квадратичну та
квазіквадратичну і кубічну. Для параметрів гідравлічних похилих струменів, що
досліджуються в даній роботі найбільш адекватною є квадратична залежність сили
опору струменя п
- Київ+380960830922