ГЛАВА 2
Метод исследованиЯ электронных свойств квазиодномерных структур
В данной главе описывается метод потенциалов нулевого радиуса, составляющий
основу последующего исследования электронной структуры углеродных нанотрубок. В
качестве примера применения этого метода здесь определяется зонный спектр и
строятся соответствующие блоховские волновые функции для модельных систем в
виде одноатомной регулярной цепочки в трёхмерном пространстве и двух таких
параллельных цепочек. Далее на основе этих моделей и полученных обобщений
формулы Ландауэра исследуются частотная и температурные зависимости конечной
проводимости идеальных квазиодномерных проводников и полупроводников конечной
длины, обусловленной рассеянием на контактах.
2.1. Метод потенциалов нулевого радиуса
Рассмотрим частицу, находящуюся в центрально-симметричном поле с потенциалом
U(r) (рис.2.1). В этом случае уравнение Шредингера
сводится к радиальному уравнению:
Будем рассматривать только s-состояния (). Тогда уравнение значительно
упрощается:
где.
Пусть потенциал быстро убывает так, что можно его оборвать на некотором
расстоянии а. Тогда у нас будет две области и соответственно два уравнения:
Будем рассматривать только связанное состояние с . Полагая
, , (2.3)
перепишем (2.2) в виде
Его убывающим решением является функция
так что .
Это решение следует сшить в точке а с решением уравнения (2.1), используя
условия
или иначе
Теперь будем уменьшать радиус действия потенциала а и одновременно увеличивать
глубину ямы так, чтобы уровень энергии Е не менялся. При этом решение справа от
а не будет меняться, так как, если , то и .
Таким образом, в пределе мы можем заменить реальный потенциал ямой нулевого
радиуса, влияние которой описывается граничным условием:
. (2.4)
Этого условия достаточно, чтобы появилось связанное состояние и, кроме того,
при сечение рассеяния частицы на таком центре становится не нулевым.
Резюмируя, можно сказать, что сутью метода, является замена реального
потенциала граничным условием на волновую функцию частицы в точке расположения
источника этого потенциала. При этом в остальных точках пространства волновая
функция удовлетворяет уравнению Шредингера для свободной частицы. Параметр ,
входящий в (2.4), характеризует мощность потенциала или глубину ямы. Значение
этого параметра можно найти исходя из какого-то известного свойства описываемой
системы. В частности, можно воспользоваться тем, что равна длине рассеяния
частицы на потенциале нулевого радиуса.
В одномерном случае потенциал нулевого радиуса с точностью до множителя равен
дельта-функции. Однако, в двумерном и трёхмерном случаях яму нулевого радиуса,
строго говоря, невозможно просто описать с помощью дельта-потенциала [27].
Реальный потенциал взаимодействия был впервые заменён дельта-образным Бете и
Пайерлсом (1935 г.). В 1936 г. Энрико Ферми успешно использовал потенциал ,
эквивалентный граничному условию (2.4), для описания рассеяния нейтронов в
водородосодержащих средах. В такой форме этот потенциал называется
псевдопотенциалом Ферми. Математические основы метода потенциалов нулевого
радиуса и различные его приложения, а также подробное описание предельного
перехода от потенциальной ямы конечных размеров к потенциалу нулевого радиуса
имеется в монографиях [28-30].
2.2. Частица в поле линейной бесконечной цепочки в 3-х мерном пространстве
Рассмотрим задачу движения электрона в поле бесконечной периодической цепочки
одинаковых одновалентных атомов в трёхмерном пространстве [7,29], положение
атомов в которой определяется вектором (рис. 2.2).
В таком поле появляется зона собственных состояний, для которых электрон
свободно распространяется вдоль цепочки, оставаясь локализованным вблизи неё.
Расчёт спектра энергий для этой зоны и соответствующих волновых функций будем
производить на основе модели ПНР. Заметим, что рассматриваемая модель
отличается от одномерной модели Кронига-Пенни тем, что в данном случае электрон
движется в поле цепочки потенциалов, вложенной в трёхмерное пространство.
В соответствии с методом ПНР нам нужно найти решение уравнения Шредингера для
свободной частицы
, (2.5)
которое в окрестности каждого узла цепочки удовлетворяет граничному условию
, , (2.6)
Единственный параметр взаимодействия определяется энергией взаимодействия Е0
одиночного атома с электроном и подгоночным параметром , имеющим размерность
массы: .
Будем искать волновую функцию в виде
, (2.7)
где , .
Подставляя (2.7) в (2.6), получаем систему уравнений:
, (2.8)
В силу трансляционной симметрии рассматриваемой системы волновую функцию (2.7)
можно выбрать так, чтобы выполнялась теорема Блоха: , где - единичный вектор
вдоль оси цепочки (т.е. вдоль оси x), k – волновой вектор электрона, а -
периодическая функция . Для того, чтобы это требование выполнялось,
коэффициенты в (2.7) должны иметь вид , где , - нормировочный множитель.
Тогда (2.8) сводится к равенству
(2.9)
Таким образом, условие нетривиальной разрешимости системы (2.8) сводится к
(2.9).
Ряд входящий в (2.9) можно просуммировать. Действительно, так как , то
Поэтому
где .
Зонным энергиям соответствуют корни уравнения (2.9), которые получаются, когда
. Следовательно, зонная энергия и волновой вектор k связаны соотношением:
Поэтому
Эта формула и определяет закон дисперсии для зонных электронов. Из неё можно
получить границы зоны: соответствует дну, а – потолку зоны. Следовательно
При u>2 вся зона попадает в область отрицательных энергий. Стоит заметить, что
вероятност
- Київ+380960830922