РАЗДЕЛ 2
Линейная кинетическая теория плазмонаполненного гиротрона
В этом разделе рассматривается линейная стадия циклотронной неустойчивости пучка электронных осцилляторов в резонаторе гиротрона, заполненном фоновой магнитоактивной плазмой. В первом подразделе определяется вид дисперсионного уравнения, описывающего линейную стадию возбуждения винтовым электронным пучком собственных квази-ТЕ мод цилиндрического волновода с магнитоактивным плазменным наполнением. Анализируется влияние фоновой плазмы на возбуждение рабочей моды гиротрона. Во втором подразделе исследуется линейная стадия взаимодействия электронного пучка с конкурирующими модами гиротрона в случае присутствия фоновой плазмы в волноводе, помещенном в магнитное поле. Анализируются влияние плазмы на линейные инкременты нарастания колебаний и области неустойчивости для этих мод. В третьем разделе рассматривается возбуждение собственных мод резонатора гиротрона, заполненного фоновой магнитоактивной плазмой. Исследуется стартовые токи квази-ТЕ мод при различных значениях плотности плазмы в резонаторе.
2.1. Линейная кинетическая теория неустойчивости квази-ТЕ мод в волноводах, заполненных магнитоактивной плазмой
В данном подразделе определяется вид дисперсионного уравнения, описывающего линейную стадию взаимодействия винтового электронного пучка с квази-ТЕ модами цилиндрического волновода, заполненного фоновой магнитоактивной плазмой малой плотности. Используемый для получения дисперсионного уравнения метод основан на кинетическом анализе механизма циклотронной неустойчивости в ограниченных системах. Он был впервые применен в 1975 году для планарной геометрии [131], а в 1979 году для цилиндрической геометри [132]. Последующие исследования [133-135] усовершенствовали этот метод и сделали его применимым для описания характеристик реалистичных гиро - устройств и, в частности, гиротрона. Его детальное описание можно найти, например, в [136]. Вследствие того, что резонансная система гиротрона представляет собой сегмент слабонерегулярного цилиндрического волновода (рис. 1.10), основные результаты, полученные для неограниченного волновода, могут быть достаточно близки к результатам для резонатора гиротрона, а также имеют самостоятельное значение.
В качестве исследуемой системы рассмотрим бесконечно длинный цилиндрический волновод, однородно заполненный холодной бесстолкновительной плазмой с неподвижными ионами, для описания которой используется гидродинамическая модель. Внешнее магнитное поле параллельно оси волновода . Волновод пронизывает трубчатый пучок электронных осцилляторов малой плотности. Электроны пучка имеют перпендикулярную и параллельную составляющие скорости относительно оси волновода. Плотность пучка предполагается малой, что позволяет пренебречь собственным электромагнитным полем.
Задача о нахождении линейного инкремента нарастания колебаний в интересующей нас системе ставится следующим образом: необходимо решить совместную систему уравнений Максвелла-Власова
(2.1)
, (2.2)
с граничным условием на стенках волновода. Используем предположение о малости возмущений
, . (2.3)
Здесь - функция распределения электронов в пучке, - равновесная функция распределения, - возмущение функции распределения электронов пучка, и - координата и импульс электрона пучка (рис. 2.1). Т.к. в рамках линейного приближения каждое гармонические колебания нарастают независимо, полагаем, что все возмущения пропорциональны . В этом случае компоненты и связаны следующим материальным соотношением:
(2.4)
где - тензор диэлектрической проницаемости холодной магнитоактивной плазмы (см. обозначения к 1.3).
Рассмотрим случай возбуждения пучком электронов собственной квази-ТЕ моды плазменного волновода, считая связь мод НЕ и ЕН поляризации пренебрежимо малой. При этом из системы уравнений Максвелла (2.1) получим
. (2.5)
где - положительные корни уравнения (1.8) относительно .
Подставляя в (2.5) выражение (1.13) для и действуя на обе части уравнения оператором
,
приведем его к следующему виду
, (2.6)
где - норма функций Бесселя (1.33).
Рис. 2.1. Качественная схема циклотронного вращения электронов пучка.
Интегрируя выражения в правой части уравнения (2.6) по частям и используя соотношения (см. рис. 2.1)
,
приходим к следующему
, (2.7)
. (2.8)
Используя (2.2), преобразуем подынтегральное выражение в (2.7)
(2.9)
Применяя теорему суммирования Графа для функций Бесселя (см. рис. 2.2)
к треугольнику ОАВ (см. рис. 2.1) и вводя замену для индекса суммирования , представим выражение (2.9) в виде
(2.10)
Рис. 2.2. Треугольник для применения теоремы сложения функций Бесселя.
Действуя аналогично, можно показать, что подынтегральное выражение в (2.8) и выражение для преобразуются к виду
(2.11)
. (2.12)
Здесь - ларморовский радиус электрона
, (2.13)
- радиальное положение ведущего центра электрона (точка В на рис. 2.1)
, (2.14)
- фазовый угол вращения электрона,
. (2.15)
После подстановки выражений (2.10)-(2.12) в (2.7), (2.8) и (2.6), последнее можно привести к следующему виду:
(2.16)
Перейдем к рассмотрению динамики пучка электронов, которая описывается уравнением (2.2), считая условия (2.3) выполненными. В результате получим уравнение нулевого порядка для равновесной функции распределения
(2.17)
и линейное уравнение для возмущения
(2.18)
Здесь
,
- релятивистский фактор.
Из уравнения (2.17) непосредственно следует, что любая функция, составленная из констант движения электрона в постоянном внешнем магнитном поле , может быть выбрана в качестве равновесной функции распределения . Такими константами являются параллельная и перпендикулярная внешнему магнитному полю составляющие вектора импульса электрона и , а так