РАЗДЕЛ 2
ПРОБЛЕМА КВАНТОВОГО ХАОСА
И ТРАДИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ЕЕ АНАЛИЗА
2.1. Классический детерминированный хаос
В силу того, что к настоящему времени мы не можем сформулировать проблему квантового хаоса, не обращаясь к классической динамике, и для лучшего понимания дальнейшего изложения, кратко остановимся на определении классического детерминированного хаоса [150,151].
В классической механике под динамической системой понимается объект, чье движение в некотором пространстве динамических переменных полностью определено заданием взаимодействия и начальных условий. Принципиальная особенность динамической системы - отсутствие случайных параметров или шума в уравнениях движения. Синонимом понятия динамическая система является детерминированная система.
Мы будем говорить об особом классе динамических систем - гамильтоновых системах - системах без диссипации. Они играют наиболее фундаментальную роль в физике. Диссипативные системы важны с точки зрения приложений. Однако они не являются ни фундаментальными (так как диссипация вводится как некоторый грубый эквивалент очень сложного взаимодействия с окружающей средой - тепловым резервуаром), ни чисто детерминированными, в силу неизбежного присутствия шума при исключении степеней свободы теплового резервуара.
Динамика классической гамильтоновой системы с степенями свободы описывается уравнениями
(2.1)
где - гамильтониан системы. Функция динамических переменных является интегралом движения , если скобки Пуассона [152] . Система называется интегрируемой, если существуют независимых интегралов таких, что . Движение интегрируемой системы является квазипериодическим. Траектории интегрируемой системы в -мерном фазовом пространстве ограничены -мерной поверхностью (тором). Любое одномерное движение гамильтоновой системы (не во внешнем поле) является интегрируемым, так как сохраняется энергия.
В общем случае гамильтоновы системы с более чем одной степенью свободы не является интегрируемыми. Такие системы демонстрируют неожиданный тип поведения, при котором их движение неотличимо от случайного, несмотря на строго детерминированный характер движения, т.е. полное отсутствие внешнего источника случайности. Такое поведение противоречит традиционному физическому мышлению, считавшему хаотичность уделом только систем с очень большим числом степеней свободы. Последние тридцать лет происходило мучительное осознание того факта, что стохастичность столь же рядовое явление в системах с более чем одной степенью свободы, как и привычное квазипериодическое движение. Объекты и модели, демонстрирующие такой тип поведения, были обнаружены практически во всех разделах физики, и их число продолжает непрерывно увеличиваться. Механизмом, обеспечивающим столь "странное" поведение полностью детерминированных систем, является локальная неустойчивость, приводящая к тому, что первоначально близкие траектории экспоненциально разбегаются в фазовом пространстве. Остановимся на этом утверждении подробнее.
Обозначим
(2.2)
точку в фазовом пространстве . Эволюция системы определяется оператором сдвига во времени
(2.3)
Эволюция произвольной функции от представима в виде
(2.4)
Пусть - две произвольные интегрируемые функции динамических переменных . Введем понятие корреляционной функции
. (2.5)
Условием превращения движения в хаотическое является условие расщепления (ослабления) временных корреляций
(2.6)
Каков механизм расщепления корреляций? Лишь относительно недавно [153] стало понятно, что в основе этого механизма лежит локальная неустойчивость - экспоненциальное разбегание близких траекторий
(2.7)
где - обратное время расщепления корреляций. Как понять этот результат? Начальные условия, необходимые для решения соответствующих дифференциальных уравнений, задаются с конечной точностью. В силу этого любое начальное условие представляет не точку в фазовом пространстве, а совокупность близких точек. Когда из-за сильной экспоненциальной неустойчивости на временах порядка эти точки разбегутся на расстояния порядка размера системы, детерминированное описание в терминах уравнений движения станет неэффективным, и будет разумным перейти от описания с помощью уравнений движения к статистическому описанию.
Сделаем небольшое отступление. Одно из главных следствий изучения динамического хаоса есть концепция, представляющая статистические законы как внутреннюю часть динамики, без привлечения дополнительных статистических законов. Эта фундаментальная идея восходит к Пуанкаре, Адамару и даже Максвеллу. В такой картине статистические законы рассматриваются как вторичные по отношению к более фундаментальным и первичным динамическим законам.
Удивительно, но обратное также верно.
Оказывается, что в некоторых условиях динамические законы полностью содержатся в статистических. Сегодня такая ситуация носит название ''синергетика'', но принципиальная идея восходит к Джинсу, который открыл нестабильность гравитирующего газа, который является основным механизмом образования галактик и звезд в современной космологии. Солнечная система - классический пример такой самоорганизации. В этом случае динамические законы вторичны по отношению к первичным статистическим законам, порождающим динамику. Полная картина выглядит следующим образом
(2.8)
Оба конца этой цепи остаются для нас пока неясными. Однако, все-таки, сегодня большинство фундаментальных (элементарных) законов являются динамическими (или выглядят такими), вот почему написанная цепочка начинается с динамического закона.
Важнейшую роль в изучении приведенной выше цепочки играют так называемые численные эксперименты или компьютерное моделирование. Их можно назвать третьим путем познания, наряду с лабораторными экспериментами и теоретическим анализом.
Пока мы ограничиваемся первым звеном цепочки - . При таком подходе динамический хаос объясняет происхождение и механизм случайн