РОЗДІЛ 2
МОДЕЛЬ ВРАХУВАННЯ ТРОПОСФЕРНОЇ ЗАТРИМКИ ПРИ СУПУТНИКОВИХ СПОСТЕРЕЖЕННЯХ
2.1. Локальна модель впливу тропосфери на супутникові вимірювання
Аналітичні моделі, описані в розділі 1, не завжди дозволяють з необхідною точністю враховувати тропосферну рефракцію.
Нами в роботах [7, 63] для визначення тропосферних затримок при супутникових спостереженнях запропонована локальна модель впливу тропосфери. Ця модель є модифікацією моделі поширення радіохвилі, що була представлена в роботі [62]. Особливістю цієї моделі є те, що тропосфера умовно розділена на сферичні шари. До деякої висоти тропосфера складається зі сферичних шарів, густина повітря в яких експоненціально залежить від висоти згідно з формулою
; , (2.1)
де i = 1, 2, 3, ..., m;
, - параметри i-го шару.
Починаючи з висоти , густина повітря змінюється за лінійним законом:
; , (2.2)
де j = 1, 2, 3, ..., k; , - параметри j-го шару.
Значення i та j задають порядкові номери шарів, а їх кількість рівна значенням m та k.
Оскільки густина повітря є величиною, залежною від температури, вологості та тиску, то параметри , , , за своєю фізичною природою є інтегральними показниками, які описують стан тропосфери на певний момент часу і які віднесені, відповідно, до нижньої та верхньої межі виділеного шару.
Розділимо траєкторію поширення радіосигналу на частини у відповідності з проходженням радіосигналу через сферичні шари (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Траєкторія поширення радіосигналу в тропосфері
Похибку вимірювання віддалі від антени до супутника можна визначити за формулою
, (2.3)
де - похибка видовження лінії візування внаслідок її викривлення; - похибка, яка пов'язана із зміною часу поширення електромагнітної хвилі за рахунок зміни густини середовища.
2.2. Визначення похибки видовження лінії візування
Похибку можна представити у вигляді суми
, (2.4)
де - різниця між довжиною кривої візування і довжиною ламаної AA1A2A3...B, - різниця між довжиною ламаної AA1A2A3...B і хордою .
Величину визначимо за формулою
, (2.5)
де і - різниці між елементами довжин кривих візування і та відповідними хордами і .
Через радіус кривизни траєкторії поширення електромагнітних хвиль елементи і можна записати у вигляді
і , (2.6)
де ?i і ?j - центральні кути між радіусами кривизни траєкторії.
Для хорд і отримаємо наступні вирази:
і . (2.7)
Оскільки кути ?i і ?j дуже малі, розкладемо функцію в ряд Тейлора і обмежимось першими чотирма членами розкладу. Тоді:
; , (2.8)
; . (2.9)
При цьому будемо вважати, що елементарна частина траєкторії електромагнітної хвилі в межах сферичного шару близька до дуги кола, отже,
. (2.10)
Величини і для відповідних шарів тропосфери знайдемо з наступних міркувань.
Розглядаючи трикутник AA1O (рис. 2.1) і маючи в ньому три відомі елементи (R + HA, R + h, Z), можна знайти хорду s. Таким чином, величини і ми завжди можемо розрахувати, коли будемо задавати значення зенітних віддалей z та висоти hi і hj відповідних шарів тропосфери.
З рис. 2.1 видно, що для експоненціальної та лінійної моделей тропосфери можна одержати наступні залежності:
,
. (2.11)
Такі ж залежності знайдемо для величин q:
,
. (2.12)
Тоді, знаючи fi, fj, qi і qj, довжину хорди S0 визначаємо за формулою:
. (2.13)
Підставляючи (2.11) та (2.12) в (2.13), одержимо:
. (2.14)
Похибка буде дорівнювати:
. (2.15)
Підставивши (2.14) в (2.15) отримаємо:
(2.16)
,
і, враховуючи (2.4), (2.10) і (2.16), запишемо в кінцевому варіанті формулу для визначення поправки [7]
(2.17)
.
Отже, використавши формулу (2.17) можна визначити похибку видовження траєкторії супутник-приймач внаслідок її викривлення.
2.3. Визначення похибки затримки часу при поширенні електромагнітної хвилі
Похибку визначимо на основі формули [7]
, (2.18)
де ?ni і ?nj - зміна показника заломлення між виділеними шарами тропосфери, який визначається за формулами:
, (2.19)
. (2.20)
Показник заломлення шарів тропосфери визначимо за відомою формулою [59]
, (2.21)
де - дисперсійний коефіцієнт.
Часткові кути рефракції можуть бути визначені за формулами:
, (2.22)
. (2.23)
Використання формули (2.21) накладає певні обмеження на нашу модель, оскільки не дозволяє враховувати вплив температури, тиску повітря та його вологості в явному вигляді. Для подолання цих проблем можна скористатись дисперсійною формулою квантової фізики для газів [30]
, (2.24)
де ? - діелектрична проникність повітря;
qe - заряд електрона;
me - маса електрона;
Ni - концентрація атомів чи молекул даної компоненти, яка входить в склад повітря;
fink - сила осцилятора з циклічною частотою ?ink даного атома чи молекули;
? - циклічна частота коливання електромагнітної хвилі.
Запишемо рівняння Клапейрона-Мендєлєєва для будь-якої компоненти повітря.
, (2.25)
де Pi - парціальний тиск i-ї компоненти;
V - об'єм газу;
mi - маса i-ї компоненти;
?i- молярна маса i-ї компоненти;
R - універсальна газова стала;
T - абсолютна температура повітря.
Визначимо концентрацію атомів i-ї компоненти повітря з рівняння
, (2.26)
де NA - число Авогадро.
Використовуючи формулу (2.25), вираз (2.26) набере вигляду:
. (2.27)
Підставивши рівняння (2.27) в (2.24), одержимо:
. (2.28)
Виділимо в складі повітря молекули водяної пари як окрему компоненту. Позначимо парціальний тиск, силу і циклічну частоту осциляторів молекул та атомів сухого повітря відповідно через Pd, fdnk та ?dnk, а для молекул води відповідно e, fwnk та ?wnk, де e - парціальний тиск водяної пари (абсолютна вологість повітря).
Тоді вираз (2.28) набе