РОЗДІЛ 2
Узагальнення методу граничних інтегральних рівнянь (гір) на тривимірні
динамічні задачі теорії пружності для біматеріального простору з
підповерхневою тріщиною
У даному розділі дається спосіб отримання інтегральних зображень розв’язків та
виведення ГІР для задач усталених коливань у пружному тілі, складеному з двох
ідеально з’єднаних різнорідних півпросторів, в одному з яких знаходиться
поодинока плоска довільно розташована щодо поверхні поділу матеріалів тріщина.
Як вихідні для гранично-інтегрального формулювання задачі розглядаються
диференціальні рівняння руху середовища у частотній області, умови контакту
півпросторів та граничні умови прикладання динамічних зусиль до поверхонь
тріщини. При зведенні задачі до системи ГІР вектор пружного переміщення
подається у вигляді комбінації потенціалів Гельмгольца, а тріщина моделюється
стрибками динамічних переміщень при збережені неперервності напружень на місці
її розташування.
У цьому ж розділі запропоновано перехід до гранично-інтегрального формулювання
тривимірних задач для біматеріалу з тріщиною при нестаціонарному навантаженні
її поверхонь. Застосування інтегрального перетворення Фур’є за часом до
вихідних співвідношень задачі дозволяє звести її до ГІР, що співпадають з ГІР
для аналогічної задачі у частотній області, якщо трансформанти Фур’є ототожнити
з амплітудними значеннями вихідних величин, а параметр перетворення – з
циклічною частотою коливань.
Результати цього розділу опубліковано у праці [64].
2.1. Постановка задач усталеної взаємодії плоскої тріщини з поверхнею поділу
пружних матеріалів
Розглянемо два ідеально з’єднані пружні півпростори A і B з густинами і ,
модулями зсуву і та коефіцієнтами Пуассона і відповідно. Нехай у півпросторі A
розташована плоска тріщина по області з довільною орієнтацією відносно поверхні
поділу матеріалів . Протилежні поверхні тріщини навантажені взаємно
зрівноваженими зусиллями (рис. 2.1), що змінюються у часі за гармонічним
законом
, , 233
де – вектор амплітуди коливань заданих зусиль на тріщині;
– радіус-вектор точки тіла;
– уявна одиниця;
– задана циклічна частота коливань.
Відзначимо, що розглянута задача випромінення хвиль тріщиною із умовами виду
(2.1) є загальною з точки зору визначення концентрації напружень в околі
дефекту, оскільки довільність розподілу амплітуд забезпечує опис взаємодії
тріщини з хвильовим полем від зовнішніх чинників після виокремлення регулярного
поля, що відповідає задачі поширення хвиль у бездефектному середовищі. Під час
навантаження тріщини можливий контакт її протилежних поверхонь не враховується.
Відсутність такого контакту можна забезпечити попереднім розхилом поверхонь
тріщини, таким, що не допускає входження цих поверхонь одна за одну в процесі
динамічного деформування.
За умов навантаження (2.1) часовий множник вилучається з розв’язку, що дозволяє
звести задачу до пошуку амплітуд актуальних величин. Ключовими для вектора
переміщень в півпросторі D є рівняння руху Ляме стаціонарних коливань, яке за
відсутності масових сил має вигляд:
. 445
Тут - тривимірний набла-вектор;
, - хвильові числа;
і - швидкості поширення в матеріалі поздовжніх і поперечних хвиль відповідно,
що визначаються через сталі тіла залежностями:
, .
Рис. 2.1.
Запис рівняннь Ляме (2.2) у скалярній формі для кожного з півпросторів
приводить до системи трьох взаємозв’язаних рівнянь відносно амплітудних значень
компонент переміщень за гармонічного процесу з круговою частотою .
Компоненти тензора напружень, які виникають в тілі у кожній його точці,
пов’язані з компонентами вектора переміщень законом Гука
, , 657
де – символ Кронекера;
– об’ємна деформація.
Проекції вектора зусиль на довільній площадці тіла з вектором нормалі
визначаються за формулами
, , . 869
При розгляді необмежених тіл, на вектор пружного переміщення накладають умови
випромінювання Зомерфельда. Згідно цих умов хвиля, що поширюється від джерела
збурення, згасає на нескінченності, тобто відкидається можливість власних
коливань у безмежному середовищі. Умови випромінювання зручно подавати у
вигляді [10]:
, ,
, ,
, , , 10711
де – модуль радіуса вектора точки ;
– похідна за напрямком радіус-вектора.
Для спрощення математичного запису граничних умов задачі пов’яжемо з тріщиною
декартову систему координат так, щоб область тріщини була у координатній
площині , її центр збігався з геометричним центром області , а поверхням
тріщини відповідали значення . Іншу систему координат зв’яжемо з поверхнею
поділу матеріалів так, щоби півпросторові A відповідали значення , а
півпростору B - . Тоді взаємне розташування тріщини та поверхні поділу
матеріалів визначають вектори між центрами систем координат і напрямні косинуси
, , осей в координатній системі , які задаються таблицею 2.1.
Таблиця 2.1.
Напрямні косинуси осей координат
Співвідношення між радіусом-вектором точки в -й системі та радіусом-вектором
цієї ж точки у -й системі має вигляд
, 12813
а через компоненти записується наступним чином:
, , , 14915
де ;
? напрямні косинуси вектора в -й системі координат, .
У введених системах координат умови ідеального механічного контакту
півпросторів (неперервної передачі переміщень і зусиль через поверхню ) такі:
, , , , 161017
а граничні умови на поверхнях тріщини записуються як
, , , 181119
де - компоненти вектора переміщень у півпросторі ;
- компоненти тензора напружень у півпросторі ;
() - проекції вектора заданих зусиль на тріщині.
Отже, крайові задачі дослідження взаємодії