РАЗДЕЛ 2
НЕЙРОСЕТЕВЫЕ РЕАЛИЗАЦИИ МОДЕЛИ ВОЛЬТЕРРА
Достаточно широкое распространение при исследовании нелинейных динамических
объектов получило описание в виде ряда Вольтерра. Это произошло, очевидно, в
первую очередь из-за того, что при ее построении не требуется значительной
априорной информации о свойствах объекта [43-45].
Классическая модель Вольтерра является непараметрической, что создает
некоторые неудобства, как при ее построении, так и при исследовании. Поэтому
при решении практических задач обычно переходят к параметрической модели
Вольтерра, линейной относительно неизвестных параметров. Развитие теории ИНС
привело к тому, что применение нейросетевого подхода при реализации модели
Вольтерра дает возможность упростить эту реализацию.
В данном разделе рассматриваются некоторые вопросы синтеза модели Вольтерра,
использующего как традиционный, так и нейросетевой подход.
2.1. Модель Вольтерра
Одним из наиболее общих представлений нелинейных объектов с одним входом и
одним выходом является ряд Вольтерра
(2.1)
где – ядра Вольтерра первого, второго,…,-го порядков.
Задача идентификации сводится к определению ядер Вольтерра. На рис.2.1 приведен
вид ядер Вольтерра первого и второго порядков.
Рис. 2.1. Вид ядер Вольтерра первого и второго порядков
Обычно предполагается, что ядра для являются симметричными, т.е. , .
Учет симметричности ядер, а также ограничение конечными членами разложений в
представлении (2.1) приводит к следующей упрощенной модели объекта в виде ряда
Вольтерра:
(2.2)
При этом , , и.т.д.
Модель (2.2) может быть записана в виде модели псевдолинейной регрессии
(2.3)
где – вектор неизвестных параметров;
– обобщенный вектор входов.
Если в полиноме Колмогорова-Габора (1.2) использовать сигналы и , учитывающие
запаздывание на тактов, получим следующую дискретную модель Вольтерра:
(2.4)
где – постоянная составляющая;
– ядра Вольтерра первого порядка;
– ядра Вольтерра второго порядка и т.д.
Для устойчивых объектов ядра и т.д. с ростом стремятся к нулю. В описании
(2.4) учтена симметрия ядер, т.е. Общее число членов ряда (2.4) определяется по
формуле [45]
(2.5)
Обозначая обобщенный вектор переменных как где
и вводя новый вектор параметров выражение (2.4) можно записать следующим
образом:
(2.6)
После поступления информации об наблюдениях уравнение (2.6) примет вид
(2.7)
где
Вектор искомых параметров определяется путем минимизации квадратичного
функционала
(2.8)
что приводит к МНК-оценкам.
Следует отметить, что на практике вместо (2.4) часто используется ряд
Вольтерра следующего вида:
(2.9)
получаемый непосредственной заменой на в (1) и также учитывающий симметрию ядер
.
При этом общее количество членов ряда (2.9) составляет
(2.10)
К числу несомненных преимуществ модели (2.9) относится то, что, во-первых,
выходной сигнал модели представляет собой взвешенную сумму входных сигналов и
их произведений и если ограничено, то и ограничен (поэтому не возникает задача
исследования устойчивости модели, которая в случае нелинейных моделей является
достаточно сложной), во-вторых, использование критерия (2.8) позволяет получить
оценки искомых параметров, обладающие оптимальными свойствами.
Среди множества моделей нелинейных объектов при решении задач идентификации и
управления наибольшее распространение получили обобщенная модель Гаммерштейна и
параметрическая модель Вольтерра, так как обе эти модели являются линейными
относительно неизвестных параметров. Данные модели получаются, если фильтры,
используемые в линейной, квадратической, кубической и т.д. частях модели,
различны. Так как при решении практических задач наиболее часто ограничиваются
степенью нелинейности, равной двум, рассмотрим параметрическую модель Вольтерра
второго порядка
(2.11)
Введенная здесь двойная индексация подчеркивает, что соответствующие
передаточные функции относятся к фильтрам при нелинейности второго порядка.
Вводя обозначения
перепишем (2.11) следующим образом:
(2.12)
Данному уравнению соответствует разностное уравнение вида
(2.13)
Так как на практике ограничиваются конечным числом членов ряда (2.13),
обозначаемом далее как , то вместо (2.13) используем
Обозначим
тогда линейная по параметрам модель Вольтерра примет вид
(2.14)
или
где
Уравнение (2.14) может быть записано в виде уравнения псевдолинейной регрессии
(2.3).
2.2. Редуцированная модель Вольтерра
К числу несомненных преимуществ описания в виде ряда Вольтерра необходимо
отнести следующее [6].
1. Модель в виде ряда Вольтерра является достаточно общей моделью описания
нелинейных динамических объектов и не требует при ее построении значительной
априорной информации о свойствах исследуемого объекта.
2. Данная модель является линейной относительно неизвестных параметров, что
позволяет использовать при ее построении хорошо развитый математический аппарат
оптимизации, например, МНК, градиентные методы и т.п.
3. Используемый в данной модели выходной сигнал представляет собой сумму
взвешенных входных сигналов, т.е. вычисляется достаточно просто.
4. Так как модель в виде ряда Вольтерра не является рекуррентной, она является
устойчивой, т.е. при ограниченных входных сигналах ее выходной сигнал будет
также ограничен.
Однако значительное количество подлежащих определению ядер Вольтерра является
причиной того, что данная модель в ее чистом виде не нашла практического
применения. Одним из наиболее эффективных методов уменьшения числа
идентифицируемых параметров является использование ортонормированных базисных
функций (БФ) [6, 46-50].
- Київ+380960830922