РОЗДІЛ 2
СУМАТОРНІ РІВНЯННЯ В ЗАДАЧАХ ТЕОРІЇ ДИФРАКЦІЇ НА КОНІЧНИХ ПОВЕРХНЯХ З КРАЯМИ
Дослідженню дифракційних характеристик конічних поверхонь з краями присвячена значна кількість робіт. Проте в літературі практично не приводяться дані аналітико-числового аналізу, які можна було б використати для отримання еталонних результатів і, зокрема, обгрунтованих асимптотик. У цьому сенсі вкажемо роботи [30-31, 111-114], де використовується метод Вінера-Хопфа. Як відомо, застосування цього методу до задач дифракції на конусах має суттєві обмеження, пов'язані з факторизацією відповідних функціональних рівнянь. Крім того, необхідно відзначити роботи, присвячені застосуванню методу задачі Рімана-Гільберта [108-110] для дослідження розсіяння хвиль напівбезмежними конусами з повздовжніми секторіальними щілинами, а також праці автора, який вперше для аналізу дифракції електромагнітних хвиль на конусах скінчених розмірів застосував метод точного аналітичного обертання асимптотик ("напівобертання").
У даному розділі розглядається задача дифракції для структури, сформованої двома співвісними конусами, що не утворюють біконічних областей: скінченим і напівбезмежним зі зрізаною вершиною (див. рис.2.1а). На основі аналізу задач дифракції для окремих елементів цієї структури, а саме для скінченого конуса і напівбезмежного конуса зі зрізаною вершиною, розвивається відповідний математичний апарат. Вибір вихідної структури обумовлений кількома обставинами. По-перше, поєднання скінченого та напівбезмежного конусів з різними кутами розхилу найважче піддається аналізу числовими методами. По-друге, розробка строгих підходів для розв'язання задач такого класу дозволяє створити апарат дослідження взаємодії електромагнітних хвиль з довільними співвісними конічними структурами (це має фундаментальне значення для теорії дифракції). По - третє тільки розв'язок ключової задачі дозволить дати строге пояснення ряду її часткових практично значимих випадків, зокрема описати поведінку скінченого вібратора над напівбезмежною конічною поверхнею зі зрізаною вершиною, чи побудувати строгу теорію визначення поля зонда в околі кільцевого отвору на площині.
Основні результати даного розділу опубліковані в роботах [171,173 - 175,177, 183,184, 186 -194, 241].
2.1. Осесиметричні задачі дифракції електромагнітних хвиль
Тут розглянемо осесиметричні задачі для електромагнітних хвиль. Нехай у просторі R3 задано сферичну систему координат (r,,) з центром в точці O. Розіб'ємо умовно R3 концентричними сферами так
. (2.1)
Тут
, (2.2)
, ; c1
, (2.3б)
такі, що продовження твірної поверхні Q3 має з Q1 спільну вершину (рис. 2.1а). Поверхні Q1 , Q3 розбивають області D1, D3 так
, (2.4)
.а)
б)в)Рис. 2.1. Геометричні схеми
де
, (2.5а)
, (2.5б)
а області - є доповнюючими по відношенню до кутової координати :,. Для зручності сукупність конічних поверхонь Q1, Q3 з різними кутами розхилу позначимо так
. (2.5в)
Осесиметричну задачу стаціонарної дифракції (залежність від часу в подальших викладках опускається) формулюємо, як крайову задачу для рівняння Гельмгольца відносно скалярного потенціалу (потенціал Дебая). З його допомогою відмінні від нуля компоненти електромагнітного поля виражаються так
. (2.6)
Тут Z - хвильовий опір середовища, в якому знаходяться конуси (2.5).
Отже, потрібно знайти функцію , яка задовольняє рівняння Гельмгольца
, (2.7)
де k - хвильове число, , ,
. (2.8)
Крім того, функція повинна задовільняти граничним умовам на Q:
1. ТМ - хвилі (Е-поляризація)
для ; (2.9)
2. ТЕ - хвилі (Н-поляризація)
для . (2.10)
Тут - відомий потенціал поля джерела випромінювання. Функція повинна задовольняти умові випромінювання Зоммерфельда на безмежності
, (2.11)
умові локальної обмеженості енергії в довільному скінченному об'ємі, яка зводиться до виконання умов Мейкснера на краях Q
, (2.12)
де , - відомі константи; , с=с1(2); .
В такій постановці крайові задачі (2.7), (2.9) і (2.7), (2.10) мають єдиний розв'язок [58,59].
2.2. Зображення розв'язків рядами власних функцій
Зауважимо, що за фізичним змістом скалярний потенціал Дебая можна розглядати як збурення, внесене відрізками конічних поверхонь, у поле локалізованого джерела. Враховуючи це, потенціал повного поля запишемо так
(2.13)
Тут - потенціал первинного поля.
Розв'язок сформульованих вище задач шукаємо методом розділення змінних, зображаючи його рядами власних функцій рівняння Гельмгольца кожної з областей (i=1,2) та (див. формули (2.5а,б) та (2.2))
; (2.14а)
; (2.14б)
, (2.15)
, (2.16а)
. (2.16б)
Тут - невідомі коефіцієнти розкладу; - функції Лежандра; - функції Макдональда та модифіковані функції Бесселя; , , (). Індекси , а - додатні зростаючі послідовності простих коренів трансцендентних рівнянь
, (2.17а)
. (2.17б)
Перша пара індексів визначаються з (2.17) при , а друга пара при . Слід зауважити, що функції Лежандра, як функції індексу, допускають тільки прості дійсні нулі [243,244]. Далі будемо вважати, що невідомі коефіцієнти розкладу належать до класу послідовностей, для яких ряди (2.14) - (2.16) є абсолютно і рівномірно збіжні, а нормальні до країв компоненти поля допускають особливості типу (2.12). За цих умов кожен із доданків в (2.14) - (2.16) є обмеженою величиною в своїй області і почленно задовольняє граничним умовам на Q. Крім того, в області D3 вони задовольняють умові випромінювання Зоммерфельда [3].
Потенціал поля джерела, розміщеного в області , зобразимо рядом сферичних функцій
. (2.18а)
У випадку розташування джерела в конічних областях потенціал первинного поля подамо у вигляді ряду власних мод відповідних конічних областей
. (2.18б)
Тут - відомі величини, 0 - радіальна координата джерела, - додатні корені одного з трансцендентних рівнянь (2.17); знак "+" відповідає області , а