розділ 2.1), що модель авторегресії (3.1) називається
стійкою, нестійкою або вибуховою, якщо відповідно , або . Детальне дослідження
асимптотичної поведінки розв’язків незбуреного рівняння
, ,
було проведено в роботі Козака та Новосьолова [36]. Тому, в силу лінійності
рівняння (3.1), при його дослідженні будемо покладати (тобто будемо
досліджувати лише стохастичний член в загальному розв’язку рівняння (3.1)).
Розв’язок рівняння (3.1) представимо у вигляді (див., напр., Гельфонд [22])
(3.2)
де
.
Розглянемо окремо три типи моделі (3.1).
Стійка модель. Якщо , то
і згідно леми Лая (див. лему Д.26),
м.н.
Вибухова модель. Якщо , то, використовуючи (3.2), неважко переконатися, що
мають місце наступні співвідношення:
якщо , то
м.н.;
якщо і , то
м.н.;
якщо і , де , , то множина граничних точок послідовності співпадає майже
напевно з множиною граничних точок послідовності , де
.
Зауваження 3.1. У випадку аналогічні результати (в еквівалентній формі) були
отримані в роботі Дюфло ([99], торема 2.3.21).
Нестійка модель. Розглянемо тепер найбільш цікавий випадок . Покладемо
Теорема 3.1. Нехай .
1). Якщо або , то
м.н.
(3.3)
2). Якщо і , то
м.н.
(3.4)
3). Якщо і , то
м.н.
(3.5)
4). Якщо і , де , то
м.н.
(3.6)
Доведення. 1). Якщо , то з (3.2) випливає, що
.
При маємо і тому в силу результату Штрассена (див. лему Д.27), має місце (3.3).
При (3.3) випливає з попереднього в силу того, що - послідовність незалежних
центрованих гауссівських випадкових величин.
2). Якщо , то з (3.2) випливає, що
.
(3.7)
Звідси при та отримаємо
.
Легко переконатися, використовуючи ЗПЛ Хартмана-Вінтнера (див.(2.26)), що
м.н.
та
м.н.
Звідси випливає (3.4).
3). У випадку і з (3.7) отримаємо
.
Перший доданок в правій частині цієї рівності задовольняє ЗПЛ
Хартмана-Вінтнера, так як , де беремо знак “+” або “–” в залежності від того
або . Другий доданок, домножений на , прямує майже напевно до нуля, так як в
силу леми Д.26
м.н.
Звідси випливає (3.5).
4). Якщо і , то з (3.7) отримаємо
.
(3.8)
Покладемо . Для доведення співвідношення (3.6) потрібно показати, що
м.н.
Покажемо спочатку, що
м.н.
(3.9)
Використовуючи (3.8) переконуємося, що знайдеться стала така, що при всіх
,
де . Так як
,
то в силу леми 2.1 має місце (3.9).
Для завершення доведення залишилось показати, що
м.н.
(3.10)
Розглянемо в вектори та . Так як , то
,
де
.
Звідси
(3.11)
Легко переконатися, що при всіх достатньо великих і . Тому в силу наслідку 2.2
м.н.
Звідси та з (3.11) випливає (3.10). Теорема 3.1 доведена.
Зауваження 3.2. У випадку послідовність в (3.2) очевидно задовольняє умову .
Тому розглянутий в теоремі 3.1 випадок вкладається (формально) в схему законів
повторного логарифма для зважених сум незалежних випадкових величин, яким були
присв’ячені роботи Лая і Вея [129], Штадтмюллера [147], Лі і Томкінса [132].
Але в нашому випадку послідовність не задовольняє умови теорем у вказаних
роботах. Таким чином, теорема 3.1 доповнює результати вказаних робіт.
3.4. Точна асимптотична поведінка розв’язків рівняння авторегресії з стискаючим
оператором у гільбертовому просторі
Розглянемо в рівняння авторегресії
, ,
де ; – випадкова величина; – послідовність незалежних гауссівських випадкових
величин з , , . Тоді з результату Лая (лема Д.26) випливає, що
м.н.
В даному підрозділі цей результат узагальнюється на нескінченновимірний
випадок.
Нехай – сепарабельний гільбертів простір з скалярним добутком та нормою і –
простір лінійних обмежених операторів, які діють з в , з операторною нормою .
Розглянемо в рівняння авторегресії
(4.1)
де задовольняє умову
(4.2)
тобто спектральний радіус оператора менший за одиницю; – послідовність
незалежних центрованих гауссівських випадкових елементів в з спільним
коваріаційним оператором ; – випадковий елемент в .
Теорема 4.1. Розв’язки рівняння (4.1) задовольняють співвідношення
м.н.,
(4.3)
де – спряжений оператор до і – тотожний оператор.
Для доведення теореми 4.1 потрібна наступна лема, яка узагальнює відому теорему
Нісіо у випадку процесів з дискретним часом (див. лему Д.25) на
нескінченновимірні простори.
Лема 4.1. Нехай – центрована гауссівська послідовність в сепарабельному
банаховому просторі , для якої покладемо
, ,
де – спряжений простір до . Припустимо, що виконуються такі умови:
(4.4)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
при всіх з . Тоді
м.н.
Доведення. Доведемо спочатку, що
м.н.
(4.8)
З (4.6) випливає, що при всіх . Тому в силу нерівності Леду і Талаграна (лема
Д.13) при будь-якому
де – медіана випадкової величини . З даної нерівності та леми Бореля-Кантеллі
випливає, що
м.н.
Так як , то звідси та з умов (4.4) і (4.6) випливає співвідношення (4.8).
Доведемо, що
м.н.
(4.9)
Для будь-якого з центрована гауссівська послідовність в , в силу припущень
(4.5) та (4.7), задовольняє умови леми Д.25. Тому
м.н.
(4.10)
Так як при всіх з , то з (4.10) та (4.6) випливає (4.9). Лема 4.1 доведена.
Зауваження 4.1. Твердження леми 4.1 (як і теореми Нісіо) залишається вірним
також у випадку (див. Кармона і Коно [86]).
Доведення теореми 4.1. Без обмеження загальності, в силу умови (4.2), можемо
припускати, що в рівнянні (4.1) . Тоді центрований гауссівський елемент в
має коваріаційний оператор
В силу умови (4.2) існує границя
послідовності операторів в нормі простору . Звідси випливає, що виконуються
умови (4.5) та (4.6) при , так як , і . Так як , то виконання умови (4.4)
очевидне. Розглянемо умову (4.7). Неважко переконатися, що для будь-якого при
всіх має місце оцінка
.
(4.11)
Так як, в силу умови (4.2), знайду
- Київ+380960830922