Розділ 2
Поширення, конверсія і поглинання магнітогідродинамічних
хвиль у плазмовому шнурі, що міститься в зовнішньому
магнітному полі зі слабким гофруванням
Стале магнітне поле (у циліндричних координатах), яке використовують для
утримання плазми в пристроях КТС, часто буває гофрованим (див. рис. 2.1.). Його
радіальний і аксіальний компонент у випадку слабкого гофрування (|em|<<1)
дорівнюють, відповідно:
B0r=B0(e’m/km) sin(kmz), B0z=B0[1+em(r)cos(kmz)], (2.1)
де em’єdem/dr,km=2p/L, L - період гофрування.
Параметр гофрування em зазвичай є малою величиною, |em|<<1, у сучасних
термоядерних пристроях. Наприклад, він досягає величини ~ 5Ч10 -2 поблизу межі
плазми в токамаку ASDEX-U, Німеччина [33, 195]. У Helias конфігурації [36 –
39]
B0z
w-dw
0 L Bz~ Z
L/2
w0+dw
Рис. 2.1. Схематичне зображення залежності модуля утримуючого магнітного поля
від аксіальної координати і розподілу стоячих власних МГД хвиль у випадку
гофрованого магнітного поля.
“дзеркальна” неоднорідність планується більш значною, em ~ 0.13.
Відзначимо, що рівняння (2.1) не забезпечують автоматичне виконання
фундаментального рівняння div=0. Підставивши визначення (2.1) до цього
фундаментального рівняння, ми одержуємо співвідношення, що визначає залежність
малого параметра em від радіальної координати r. Це співвідношення має вигляд
рівняння Бесселя. Розв'язання останнього рівняння дозволяє стверджувати, що em
є пропорційним до модифікованої функції Бесселя нульового порядку. Це означає,
що em можна вважати постійним, якщо період гофрування є великим у порівнянні з
малим радіусом камери уловлювача. У протилежному випадку, якщо період
гофрування є малим, величина em зменшується приблизно за експонентою при
віддаленні від межі плазми. При цьому неоднорідність утримуючого магнітного
поля є істотною у вузькому шарі шириною kb-1 поблизу металевої стінки.
Магнітні силові лінії, як відомо, є паралельними до вектора напруженості
утримуючого магнітного поля в кожній точці. Векторна форма цієї умови,
=0, (2.2)
дає нам наступне рівняння для силових ліній у циліндричних координатах,
. (2.3)
Рівняння для магнітної поверхні одержуємо, інтегруючи рівняння (2.3) після
підстановки до нього явних виразів (2.1) для B0r і B0z,
. (2.4)
Беручи до уваги властивості em(r) як модифікованої функція Бесселя, можна
переписати рівняння (2.4) у наступній, більш зручній, формі,
. (2.5)
У цьому розділі побудовано теорію поширення, конверсії і поглинання МГД хвиль з
частотою w<<|wce|,wpe у плазмовому циліндрі, що знаходиться в гофрованому
магнітному полі. Дослідження цього питання становить інтерес, головним чином, у
зв'язку з задачею нагрівання плазми такими хвилями в плазмових уловлювачах з
гофрованим магнітним полем. Розглядається випадок плазми низького тиску, для
якої при дослідженні швидкої магнітозвукової і альфвенівської гілок МГДХ
інерцією електронів можна знехтувати. У такій плазмі рівноважна густина n(r,z)
може бути введена як функція однієї змінної, роль якої грає «номер» магнітної
поверхні, n(r,z) = n(r0). Гофрування магнітного поля вважається слабким, що
дозволяє використовувати теорію збурень при розв’язанні рівнянь Максвелла.
Компоненти e1,2 тензора діелектричної проникливості холодної плазми, що
визначають поширення МГДХ, зв'язують компоненти векторів електричної індукції і
напруженості електричного поля хвилі в такий спосіб:
Dr+gDz=e1(1+g 2)Er+ie2 EJ, (2.6)
DJ=e1EJ-ie2 Er, (2.7)
де g=B0r /B0z. Компоненти e1 і e2 тензора діелектричної проникливості холодної
плазми за умови нехтування зіткненнями між частинками плазми визначені
формулами (1.6). Надалі нам будуть потрібні вирази для e1,2 з точністю до
членів другого порядку малості за em:
; (2.8)
де . За відсутності гофрування (em = 0) компоненти e1,2 визначаються виразами
(1.8) і (1.11). Поправки першого порядку e1,2 (1) мають наступний вигляд:
, (2.9)
. (2.10)
Поправки e1,2 (2) другого порядку до компонентів тензора діелектричної
проникливості визначаються в такий спосіб:
. (2.11)
До виразів (2.9) - (2.11) входить циклотронна частота іонів плазми, яка
визначена за умови нехтування гофруванням магнітного поля, .
Введемо ортонормовану систему координатних векторів (), зв'язану із силовими
лініями : перший вектор є перпендикулярним до магнітних поверхонь, =Сr0/|Сr0|,
другий вектор співпадає з азимутальним ортом в циліндричних координатах, ,
третій вектор є паралельним до силових магнітних ліній, =/||. Використання умов
малості гофрування і малості інерції електронів (|e3|®Ґ) при розв’язанні
рівнянь Максвелла призводить до рівності нулю у всьому об’ємі плазми
поздовжнього компонента електричного поля хвилі: E3є(B0zEz +B0rEr)/|B0|®0.
Отримане звідси співвідношення між радіальним і аксіальним компонентами
електричного поля хвилі дозволяє за умови нехтування зіткненнями між частинками
плазми, інерцією електронів і ефектом скінченності ларморівського радіуса іонів
записати спрощену систему рівнянь Максвелла у циліндричних координатах:
, (2.12)
, (2.13)
, (2.14)
B0z , (2.15)
. (2.16)
Розв’язок системи рівнянь (2.12) – (2.16) має задовольняти наступним крайовим
умовам. Поля хвилі мають бути обмеженими у всьому об’ємі камери, азимутальний
компонент електричного поля МГД хвилі має дорівнювати нулю на металевій
поверхні камери r=b. Якщо плазмовий шнур відділений від камери вакуумним
прошарком, то азимутальна компонента електричного поля і поздовжня компонента
магнітного поля (B3єB0zBz+B0rBr)/|B0|) МГД хвилі повинні бути неперервними при
переході через граничну
- Київ+380960830922