ГЛАВА 2
ОСНОВЫ ТЕОРИИ СОЗДАНИЯ ГИПЕРБОЛОИДНЫХ ПЕРЕДАЧ
ВТОРОГО РОДА
2.1. Общие замечания
Методом обкатки при помощи цилиндрического зубчатого колеса получим зубья
(витки) на заготовке, смонтированной на валу, ось которой скрещивается с осью
цилиндрического колеса. Из теоретической механики [68], а также работ [21, 133,
160] следует, что образованные зубья будут располагаться на теле вида
однополостной гиперболоид.
Осуществим гиперболоидное станочное зацепление и технологическую пару
“заготовка-инструмент”, при помощи которой возможно осуществить нарезание
зубьев на цилиндрической и квазигиперболоидной заготовке по методу обкатки. При
этом получим инструмент с режущей поверхностью, например, абразивные
цилиндрические и квазигиперболоидные червяки, квазигиперболоидные хоны и др., а
также инструменты с режущими кромками, расположенными на цилиндрических и
квазигиперболоидных зубьях. Рассмотрим решение этой задачи.
2.2. Определение геометрии зубьев (витков) квазигиперболоидного колеса
(червяка)
В работе рассматриваются пространственные зацепления оси которых скрещиваются в
пределах 90° 180°. Исследование этих зацеплений производится в пространстве
трех измерений [169, 170].
Относительное движение колес передачи определяется одним или двумя независимыми
параметрами, в соответствии с чем поверхность зубьев одного из колес явится
огибающей однопараметрического или двухпараметрического семейства поверхностей
другого колеса. Относительное движение с двумя независимыми параметрами имеет
место при нарезании зубьев инструментами, когда, помимо движения обкатки,
существует еще и подача инструмента.
Рассмотрим случай передачи вращения между скрещивающимися осями, предполагая,
что относительное движение определяется одним параметром и бесконечно малые
углы поворота колес, а также их угловые скорости связаны таким соотношением:
где - соответствующие передаточные отношения.
Для исследования зацепления с скрещивающимися осями используем три системы
координат (рис.2.1): подвижные системы , связанные соответственно с
цилиндрическим зубчатым колесом 1 и искомым квазигиперболоидным колесом 2, и
неподвижную систему xyz, относительно которой будем задавать положения
подвижных систем координат. Осями вращения звеньев являются соответственно z и
z, - угол скрещивания осей; - кратчайшее межосевое расстояние. Переход от
неподвижной системы координат xyz к подвижной совершим в два приема: 1)
перенесем начало координат О в О и повернем систему координат вокруг оси x с
тем, чтобы угол между осями z и z стал равным ; тогда система xyz займет
положение ; 2) затем повернем систему вокруг на угол , в результате чего
система перейдет в . Система координат является вспомогательной и используется
лишь при выводе формул преобразования [131, 132, 199].
На рис. 2.1 изображен случай, когда для наблюдателя, смотрящего с положительных
направлений осей , сопряженные колеса 1 и 2 вращаются против направления
часовой стрелки.
Вывод формул преобразований координат, предполагая, что переход совершается от
системы координат , основывается на такой записи [40, 114, 189]
(2.1)
где – столбцевые матрицы радиусов-векторов одной и той же точки в системах ;
- матрица перехода от ;
- матрица перехода от ;
- результирующая матрица для непосредственного перехода от
Запишем формулы преобразования прямоугольных координат при повороте осей. Тогда
переход от подвижной системы координат S1(x1y1z1) к неподвижной системе S(xyz)
можно записать в следующем виде
(2.2)
Далее запишем формулы преобразования прямоугольных координат при параллельном
переносе и повороте осей. Тогда переход от неподвижной системы координат
S0(xyz) к вспомогательной системе Sp(xpypzp) запишем в следующем виде:
(2.3)
Подставляя в выражения (2.3) значения (2.2), получаем
(2.4)
Рис. 2.1 Система координат
Записывая формулы перехода от вспомогательной системы к подвижной системе
получаем
(2.5)
Подставляя в выражения (2.5) выражения (2.4), получаем
(2.6)
Формулы перехода от имеют такой вид:
(2.7)
Формулы связи между неподвижной системой и подвижной можно определить
следующими выражениями:
(2.8)
Формулы перехода от подвижной системы координат к неподвижной определятся так:
(2.9)
Аналогичным образом определим формулы перехода от и обратно:
(2.10)
(2.11)
Уравнениями (2.6) дается связь между координатами вращающейся системы, жестко
связанной с изделием, представляющим собой цилиндрическое зубчатое колесо
(система S), и координатами вращающейся системы, жестко связанной с
квазигиперболоидным колесом (система S(x y z ).
Рассмотрим теперь случай передачи движения с двумя параметрами. Пусть, как и в
ранее рассмотренном случае, звенья 1 и 2 вращаются вокруг скрещивающихся осей и
углы их поворота связаны соотношением u . Кроме того, звено 1 (торец колеса)
движется вдоль своей оси z, то есть по отношению оси zпод углом скрещивания ;
текущая величина этого перемещения обозначается через =z (рис.2.2). Значения и
(i =1,2) между собой не связаны, и поэтому они являются двумя независимыми
параметрами.
Представленная схема движений будет иметь место при нарезании зубьев колес,
фрез, обкаточных резцов, шеверов на заготовках вида “однополостной гиперболоид”
посредсвом обкатных резцов с прямыми или винтовыми зубьями. Перемещение
обкато