РАЗДЕЛ 2
КВАНТОВО-ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
И ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ФЕРМИ-СИСТЕМ
СО СПОНТАННО НАРУШЕННЫМИ СИММЕТРИЯМИ
2.1. Определение квазисредних на основе приближения
самосогласованного поля
Систематическим и эффективным подходом к исследованию многочастичной проблемы на микроскопическом уровне является квантово-полевой подход, перенесенный в статистическую физику нерелятивистских многочастичных систем из квантовой теории поля. Методы квантовой теории поля достаточно хорошо разработаны для систем, симметрия которых совпадает с симметрией их гамильтониана [9]. При описании состояний многочастичных систем со спонтанно нарушенными симметриями квантово-полевой подход должен быть модифицирован. Развиваемый в диссертации подход основан на учёте, уже в нулевом приближении, существенных особенностей рассматриваемого состояния, прежде всего его симметрии. Это можно последовательно осуществить только в том случае, если в этом приближении, в какой-то мере, учесть взаимодействие между частицами. В силу этого, а также в силу требования простоты к исходному приближению, оказывается естественным выбор в качестве исходного приближения модели самосогласованного поля, рассмотренной в первом разделе диссертации. Как известно, модель СП широко применяется для расчётов атомных оболочек [69], структуры атомного ядра [74-76], свойств молекул и твёрдых тел [73], поэтому предполагается, что свойства многочастичных систем этим методом могут быть достаточно хорошо рассчитаны, причём качество таких расчётов улучшается с развитием вычислительной техники. Основное внимание будет уделено развитию на основе обобщённой модели СП квантово-полевого подхода к описанию многочастичных систем, находящихся в состояниях со спонтанно нарушенными симметриями (в том числе пространственно неоднородных), построению теории возмущений и диаграммной техники. Для Ферми-систем это будет сделано в данном разделе, который написан на основе работ автора [108-110,121]. Отметим, что если для нормальных систем с ненарушенными симметриями выбор между приближениями идеального газа и СП в качестве нулевого не является принципиальным, а определяется скорее соображениями удобства, то для систем с нарушенными симметриями именно использование модели самосогласованного поля позволяет последовательно применять квантово-полевые методы.
Отметим, что квантово-полевой подход к описанию конденсированных тел при конечных температурах развивался в рамках так называемой "термополевой динамики" [52]. Предлагаемый в данной работе подход, как концептуально, так и в деталях, отличается от развиваемого в [52]. В частности, в отличие от термополевой динамики, в основу которой положены идеи квантовой теории поля, предлагаемый подход не выходит за рамки принципов нерелятивистской квантовой теории и статистической механики и не требует каких-либо дополнительных гипотез, а квантово-полевые понятия и методы используются только как более удобное средство описания многочастичных систем.
Для описания многочастичных систем со спонтанно нарушенными симметриями принципиальным является использование концепции квазисредних, введенной в статистическую механику Н.Н. Боголюбовым [63,64] в процессе исследований многочастичных систем с вырожденным состоянием статистического равновесия. Состояния, для описания которых возникает необходимость во введении понятия квазисреднего, характеризуются наблюдаемыми, которые не могут быть рассчитаны с помощью операции обычного усреднения, поскольку соответствующие средние обращаются в нуль в силу правил отбора (1.191), следующих из свойств симметрии гамильтониана. Чтобы получить ненулевые значения наблюдаемых, согласно Боголюбову, к исходному гамильтониану следует добавить вспомогательный гамильтониан (с малым вещественным коэффициентом перед ним), содержащий внешние поля, нарушающие ту симметрию, вследствие которой средние обращаются в нуль. В дальнейшем, усреднение следует проводить с новым гамильтонианом и, после термодинамического предельного перехода , , перейти к пределу .
Полученные таким путём средние, называемые по терминологии Боголюбова, квазисредними, в определённой области термодинамических параметров уже могут быть отличны от нуля. Состояния с отличными от нуля квазисредними обычно называют состояниями со спонтанно нарушенными симметриями. Математические проблемы, связанные с введением квазисредних, рассмотрены в книге [120].
В описанном подходе, однако, сохраняется определённый произвол в выборе полей, нарушающих симметрию. Поскольку выбор нарушающего симметрию поля не зависит от межчастичного взаимодействия, то может оказаться так, что взаимодействие не допускает существование состояний с той симметрией, которая задаётся вводимым полем. Заметим, что в модели СП указанных трудностей при описании систем со спонтанно нарушенными симметриями не возникает, поскольку система самосогласованных уравнений может иметь решения с более низкой симметрией, чем симметрия точного гамильтониана. В работе автора [121] предложено определять квазисредние, используя в качестве добавки, нарушающей симметрию, самосогласованный гамильтониан. В этом случае система может иметь только ту симметрию, которую допускает межчастичное взаимодействие. Иными словами, поля, нарушающие симметрию, предлагается не вводить произвольно, а находить в рамках модели СП. В этом случае, возможные состояния системы с нарушенными симметриями определяются только видом, величиной и симметрией межчастичного взаимодействия. Именно такое определение квазисредних будет использовано в дальнейшем при построении квантово-полевой теории возмущений.
Хотя симметрия гамильтонианов (1.11) и (1.12), зависящих от состояния системы, по отдельности может быть ниже симметрии исходного гамильтониана, но симметрия (1.7), естественно, не зависит от способа его разбиения и остаётся неизменной. Поэтому, для описания систем с нарушенными симметриями введём гамильтониан
, (2.1)
зависящий от положительного веществен
- Київ+380960830922