РАЗДЕЛ 2
ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОГЕРЕНТНОГО И ДИФФУЗНОГО РАССЕЯНИЯ В КРИСТАЛЛАХ С
МИКРОДЕФЕКТАМИ
2.1. Введение
Классическая теория динамического рассеяния рентгеновских лучей и электронов
совершенными кристаллами основана на работах Эвальда [61, 210-212], Бете [62] и
Лауэ [1]. Квантовомеханическое обоснование этой теории с учетом поглощения
из-за неупругих процессов рассеяния было дано в работах Мольер [213-215].
Распространение подхода Эвальда-Бете-Лауэ на случай несовершенных кристаллов с
хаотически распределенными дефектами осуществляется путем разделения
поляризуемости на среднюю и флуктуационную составляющие, использования метода
флуктуационных волн Кривоглаза [2] и применения модифицированной теории
возмущений при решении волнового уравнения в импульсном пространстве [60].
Обобщенная динамическая теория, в которой учтены эффекты взаимодействия
когерентной и диффузной компонент канала упругого рассеяния, позволяет дать
единообразное и самосогласованное описание когерентного и диффузного рассеяния
рентгеновских лучей несовершенными монокристаллами при произвольной, в том
числе и асимметричной, геометрии дифракции как по Лауэ, так и по Брэггу
[216-223].
В настоящем разделе из основных уравнений динамической теории в импульсном
пространстве (подразд. 2.2) получены и решены системы взаимосвязанных уравнений
для амплитуд брэгговских (подразд. 2.3) и диффузно рассеянных (подразд.2.5)
волн. При решении уравнений получены общие выражения для дисперсионных поправок
к волновым векторам брэгговских и диффузно рассеянных волн через флуктуационные
фурье-компоненты поляризуемости кристалла (подразд. 2.3). После наложения
граничных условий в общем случае асимметричной геометрии дифракции по Брэггу
получены явные аналитические выражения для когерентной (подразд. 2.4) и
диффузной (подразд. 2.6) компонент интегрального по углу выхода коэффициента
отражения несовершенного кристалла. Полученные формулы позволяют проводить
количественный анализ полных кривых отражения, регистрируемых на ДКД с широким
окном детектора, в случае монокристаллов, содержащих случайно распределенные
микродефекты в том числе и с большими размерами. В предельных случаях тонкого и
толстого кристаллов для геометрий дифракции по Брэггу и по Лауэ получены
аналитические выражения для интегральной интенсивности дифракции
(подразд. 2.7), которые связывают ПИОС кристалла с характеристиками дефектов.
Основные уравнения
Волновое поле электрической индукции D(r), возбуждаемое в кристалле падающей из
вакуума гармонической плоской волной электрической напряженности
E(r) = E0exp(-iKr + itw/c) (r - пространственная координата, t – время, w и c –
соответственно частота и скорость света, K = 2p/l, l – длина волны), может быть
описано волновым уравнением [2]:
D?D + K2D + rot rot(c?D) = 0, (2.1)
которое следует из уравнений Максвелла при ЅЅcЅЅ << 1, где c(r) –
поляризуемость кристалла, умноженная на 4p.
В отличие от совершенного кристалла, где поляризуемость c(r) может
рассматриваться как периодическая функция и разлагается в ряд Фурье по векторам
обратной решетки, в несовершенном кристалле ее следует представлять в виде
интеграла Фурье [60]:
, (2.2)
где интегрирование проводится во всем импульсном пространстве и q в сумме
пробегает N дискретных значений в первой зоне Бриллюэна (N – количество узлов
решетки, vc – объем элементарной ячейки и G – вектор обратной решетки,
умноженный на 2p). Представляя также поле электрической индукции в кристалле
как интеграл Фурье
(2.3)
и подставляя выражения (2.2) и (2.3) в уравнение (2.1), получим систему
основных уравнений для несовершенного кристалла:
=0, (2.4)
где G пробегает все значения вектора обратной решетки. Формально, при N ®Ґ,
система уравнений (2.4) содержит бесконечное число линейных алгебраических
уравнений для бесконечного числа неизвестных амплитуд когерентно и диффузно
рассеянных плоских волн в кристалле. Для решения бесконечной системы уравнений
(2.4) используем теорию возмущений по поляризуемости кристалла, разделенной на
среднюю и флуктуационную части, которые используются в качестве малых
параметров на различных этапах рассмотрения.
Следует подчеркнуть, что вторые равенства в выражениях (2.2) и (2.3), а также
система основных уравнений (2.4) справедливы для однородного случайного
распределения ограниченных дефектов. Такое распределение обеспечивает
трансляционную инвариантность усредненной по ансамблю дефектов поляризуемости:
(2.5)
где – векторы средней решетки, G – соответствующие векторы обратной решетки,
умноженные на 2p, и s пробегает по N узлам решетки. Здесь важно отметить, что в
отличие от других подходов, в данной теории, аналогично [60], никакие
усреднения уравнений, как и никакие усреднения коэффициентов в них, не вводятся
искусственно. Вместо этого, только для величин, которые сводятся к суммам по
узлам решетки, т.е., являются самоусредняющимися, такое усреднение по узлам
решетки заменяется усреднением по ансамблю дефектов. В случае, когда можно
пренебречь изменением структурного фактора элементарной ячейки из-за
статических искажений (см. [2]), фурье-компонента поляризуемости в (2.5) равна
. Здесь – фурье-компонента поляризуемости идеального кристалла, а статический
фактор Дебая-Валлера определен как
, (2.6)
где поле статических смещений атомов кристалла при малых концентрациях с << 1
случайно распределенных дефектов может быть описано суперпозицией статических
смещений матричных атомов U(r), которые вызваны отдельным дефектом [2]
(2.7)
В выражении (2.7) случайные числа заполнения ct принимают значение равное 1,
- Київ+380960830922