РАЗДЕЛ 2
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
2.1. Динамика и устойчивость движения тел с полостями, содержащими жидкость
В настоящее время количество работ по динамике тел с полостями, содержащими
жидкость, насчитывает нескольких тысяч наименований. В этом огромном количестве
работ, на основании классической книги Н.Н. Моисеева и В.В. Румянцева [307],
монографий и публикаций [68, 95-98, 103, 234, 267, 270, 275, 290, 294-295, 315,
342, 354-355, 362-365, 370, 404, 456], можно выделить три основных
направления.
Первое направление связано с исследованием линеаризованных уравнений движения,
применением методов теории малых колебаний, спектральной теории операторов,
асимптотическими методами теории сингулярных уравнений с малым параметром при
старших производных. Под устойчивостью в данном случае понимается
ограниченность амплитуд всех главных колебаний или ограниченность некоторых
операторов. Это понятие устойчивости, удобное при изучении линейных систем, не
всегда является эквивалентным понятию устойчивости в смысле Ляпунова. Из
устойчивости в смысле ограниченности главных колебаний может не следовать
устойчивость изучаемой нелинейной системы. Преимуществом метода исследования
линеаризованных уравнений является то обстоятельство, что при этом можно не
только исследовать необходимые условия устойчивости, но и провести исследование
частотного спектра.
Такой подход использован при исследовании устойчивости установившихся движений
в потенциальном силовом поле твердого тела с полостью, содержащей жидкость,
например, в работах С.Л. Соболева [404], Л.Н. Сретенского [410], Н.Н.Моисеева
[300-304], С.Г. Крейна и Н.Н. Моисеева [243], Г.С. Нариманова [313-314], Ж.В.
Майлса [582-583, 585-587], К Стюартсона [417, 623-625], Б.А.Костандяна
[239-240], Ф.Л. Черноусько [456], А.Ю. Ишлинским и М.Е.Темченко [142], М.Л.
Горбачука, Г.П. Слепцова и М.Е. Темченко [72], М.П.Дяченко [111-113], Р.В.
Рвалова и В.М. Рогового [351], Л.В. Докучаева и Р.В.Рвалова [106-107], В.П.
Куликова и В.А. Самсонова [251], Е.П. Смирновой [399] и мн. др.
Операторное рассмотрение задач [312, 325, 341, 410] было проведено
Н.Н.Моисеевым [300, 304], а затем С.Г. Крейном и Н.Н. Моисеевым [243]. В этой
совместной работе были использованы результаты Л.С. Понтрягина [339] о
самосопряженных операторах в пространствах с индефинитной метрикой.
Исследования С.Л. Соболева [404] (1943г.), с применением операторных методов,
привели к созданию нового научного направления, получившего в математической
литературе название краевых задач типа Соболева [8]. В работе [404] введена в
рассмотрение квадратичная форма, которая порождает гильбертово пространство,
если положительна величина
, (2.1)
где и – экваториальный и осевой моменты инерции механической системы; – масса
системы; - расстояние от неподвижной точки до центра масс системы; - угловая
скорость системы в невозмущенном движении.
В этом случае все собственные значения вещественны и движение устойчиво. Если ,
то квадратичная форма порождает пространство с индефинитной метрикой.
Соответствующий оператор является самосопряженным относительно индефинитной
формы. Здесь впервые в задаче математической физики возник линейный оператор,
самосопряженный в пространстве с индефинитной метрикой [234]. В связи с этой
задачей Л.С. Понтрягин, отвечая на вопрос С.Л. Соболева, создал теорию
самосопряженных операторов в пространстве с индефинитной метрикой [339]. Таким
образом, в случае движение может стать неустойчивым.
С.Л. Соболев показал, что имеется счетное число частот собственных колебаний,
всюду плотно заполняющих отрезок . Для случая эллипсоидальной полости
пространство полей скоростей жидкости разлагается в прямую сумму, из которых
одно трехмерно, и только движения из этого подпространства взаимодействует с
движением твердого тела [234]. Частоты колебаний волчка с эллипсоидальной
полость, наполненной идеальной жидкостью, находятся из алгебраического
уравнения третьей степени, а в случае свободного движения из – квадратного
уравнения. Волчок с цилиндрической полостью имеет бесконечное множество частот
и ведет себя довольно неустойчиво. По мере уменьшения угловой скорости он будет
бесконечно много раз терять устойчивость и вновь ее приобретать [404].
В работе [107] показано, что в случае конической полости, как и в случае
цилиндрической полости, существует бесконечный всюду плотный спектр собственных
значений и области устойчивости не имеют качественного отличия.
Вращающаяся идеальная жидкость. Функция состояния. При исследовании колебаний
идеальной однородной вращающейся жидкости оказывается полезным применение
функции состояния, которая была введена С.Л. Соболевым [403-405] и является
аналогом потенциала скорости. Она широко использовалась многими авторами для
изучения движения идеальной жидкости в полностью заполненном вращающемся сосуде
[103, 106-107, 351, 455-456]. Наиболее полно (до 1975г.) это отражено в
монографии Х. Гринспена [81]. Функции состояния с большим успехом была
применена к задачам о колебаниях тяжелой идеальной жидкости, частично
заполняющей полость. Без каких-либо упрощающих предположений, кроме обычных в
линейной теории, в работах М.П. Дяченко [111-113], с использованием этой
функции была исследована задача о вращении гироскопа с полостью, частично
заполненной идеальной однородной жидкостью, а в работе Р.В. Рвалова [350] –
собственные колебания идеальной вращающейся жидкости со свободной поверхностью.
Результаты Р.В. Рвалова были обобщены на случай многослойной идеальной жидкости
в [189, 207, 558]. Функции состояния была применена для исследования нормальных
колебаний как тяжел
- Київ+380960830922