РОЗДІЛ 2
ВЛАСТИВОСТІ РІВНОМІРНИХ НЕПЕРЕРВНИХ
БАГАТОЗНАЧНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ
2.1. Звуження множини та його властивості
Нехай , .
Означення 2.1. Сукупність усіх точок таких, що називається -звуженням множини
.
Оскільки , то .
З введеного означення випливає, що . Таким способом, -звуження є найбільшою
множиною, -розширення якої міститься в . Отже, . При цьому не завжди . Дійсно,
якщо , то . Точка не належить , тому що (рис. 2.1). Але для рівність
справджується.
Рис. 2.1. Приклад побудови звуження множини.
Теорема 2.1. Припустимо, що множина є замкненою. Тоді
, .
Доведення. Виберемо довільну точку . За означенням 2.1 . Звідси , тобто . І
навпаки, якщо , то і . Отже, і . Теорему доведено.
Виявляється, що не обов’язково . Так, для з означення 2.1 випливає . З іншої
сторони і .
Рис. 2.2. Ілюстрація до прикладу 2.1.
Приклад 2.1. Розглянемо в сукупність , де – множина, обмежена трикутником , –
множина, обмежена трикутником , , , , , . Оскільки відстань від точки до
відрізка рівна , то , (рис.2.2). Точка належить за теоремою 2.1, але . Тому .
Лема 2.1. Якщо , , то .
Доведення. Якщо , то . За означенням 2.1 . Лему доведено.
Наслідок. За умови справедливі включення .
Теорема 2.2. Якщо , , то .
Доведення. Оскільки , то існує таке, що . Звідси випливає . Це означає, що для
будь-якої точки маємо . Тому і звідси . Отже, . І навпаки, якщо , то . Звідси і
тому . За означенням 2.1 . Теорему доведено.
Наслідок. Є справедливими співвідношення , , .
Розглянемо властивості звуження множини . Припустимо, що . Тоді якщо є
замкненою множиною, то – замкнена множина. Це випливає з того, що сукупність в
теоремі 2.1 є відкритою, як об'єднання відкритих множин. Тому – замкнена
множина. Якщо – обмежена, то існує куля . Звідси , що означає обмеженість .
Так, якщо , то .
Операція звуження може змінювати зв’язність множини.
Приклад 2.2. Розглянемо в однозв’язну множину , де , . За означенням 2.1 , .
Множина – двозв’язна.
Теорема 2.3. Нехай , , , . Якщо , то .
Доведення. Позначимо і виберемо довільне . Тоді . За означенням 2.1 . Отже, .
Звідси випливає, що . Але . Тому . Теорему доведено.
Лема 2.2. Якщо і , , , то .
Доведення. Нехай . За означенням 2.1 . Звідси випливає , . Отже, , і тому , . І
навпаки, якщо , , то , . Звідси випливає , . Лему доведено.
Лема 2.3. Якщо , і , то .
Доведення. Візьмемо довільну точку . Знайдеться таке, що . За означенням
звуження множини . Так як і , то . Отже, . Зафіксуємо тепер будь-яку точку .
Отримуємо і звідси . Лему доведено.
Лема 2.4. Нехай , і . Тоді .
Доведення. Для будь-якої точки існує таке, що . За означенням 2.1 . Тоді і
оскільки , то . Тому . Таким способом, . Візьмемо довільну точку . За
означенням звуження множини . Звідси і . Лему доведено.
Наслідок. Якщо , , то .
Лема 2.5. Якщо , , , то
, ,
, ,
, ,
, .
Доведення леми проведемо в 5 кроків.
Крок 1. Нехай . Тоді існує , . Звідси або і тому або . І навпаки, якщо , то або
. Тому існує таке, що або . Отже, і .
Крок 2. Якщо , то або . Звідси випливає, що або і тому . Отже .
Крок 3. Нехай , то існує таке, що . За означенням перетину множин і , тому .
Крок 4. Якщо , то . Тому і . Отже, . І навпаки, якщо , то і . Звідси і тому .
Крок 5. Формули
,
випливають з послідовного застосування доведених співвідношень , . Включення
,
є наслідком доведених на попередніх кроках формул , . Лему доведено.
Лема 2.6. Припустимо, що , . Тоді .
Доведення. Візьмемо довільне . За означенням 2.1 звуження множини . Знайдеться
таке, що , . Звідси і . Отже, . І навпаки, якщо , то можна вказати таке, що .
За означенням 2.1 звуження множини . Отже, і . Лему доведено.
Лема 2.7. Є наявними включення , , де , , .
Лема 2.8. Справедлива рівність , .
Доведення. Візьмемо довільне . Знайдеться таке, що . Якщо , то і тому . Нехай .
Тоді існує , , . Звідси , . Так як , , то . Отримуємо і . Якщо , то знайдеться
послідовність така, що , . Без обмеження загальності , де . Позначимо .
Побудуємо , щоб , . З того, що випливає , . Тоді . Отже, і . Звідси . Лему
доведено.
Лема 2.9. Нехай , , , . Тоді за умови . Якщо , то , .
Доведення. Зафіксуємо . Тоді . Звідси і . Отже, . Першу частину леми доведено.
Візьмемо довільне . Існує послідовність , , . За означенням 2.1 , . Так як , ,
то . Отримуємо і тому . Оскільки , то . Лему доведено.
Теорема 2.4. Нехай множина – опукла, . Тоді – опукла множина.
Доведення. Якщо складається з однієї точки, то справедливість теореми є
наслідком означення опуклої множини. Припустимо, що множина складається більше
ніж з однієї точки. Візьмемо будь-які два елементи , . Позначимо , . За
означенням 2.1 , і . У такий спосіб, , тому що – опукла множина. Використовуючи
властивість опуклого замикання -розширення, отримуємо [163, лема 9, стор. 50] .
Отже, і звідси . Теорему доведено.
Теорема 2.5. Якщо, , , то
, .
Доведення теореми випливає з формули для опорної функції від геометричної
різниці [169] і співвідношень , , .
Наслідок. Якщо , , то відображення є неперервним на деякому відрізку .
Доведення. Значення вибираємо з умови . За теоремою про неперервність опуклої
функції [9, теорема 1, стор. 59] є неперервною на відрізку для довільного .
Звідси випливає неперервність відображення на . Наслідок доведено.
Лема 2.10. Нехай , . Якщо , , то , .
Доведення. Якщо , то , . Звідси , . За теоремою 2.5 , . З властивостей опорної
функції [9, наслідок властивості 10, стор. 43] та з теореми 2.5 випливає
включення . Лему доведено.
Лема 2.11. Якщо , , , то , і , при .
Доведення. За теоремою 2.5 , . Тоді , . Отже, . З теореми 2.5 випливає . За
означенням обопуклення функції , , звідки випливає і далі . Якщо , то , . Тому
. При маємо , . Звідки . Лему доведено.
2.2. Рівномірні множини
Нехай – деяка непорожня множина.
Озн
- Київ+380960830922