Кинетические явления в остывающих нейтронных звездах

)главлсние
ведение 4
Кулоновские кристаллы 7
1.1 Введение .................................................................. 7
1.2 Дисперсионное уравнение.................................................... 8
1.3 Динамическая матрица кулоновского кристалла в термодинамическом пределе 13
1.4 Основные свойства спектра колебаний кристалла............................. 15
1.5 Термодинамические функции фононов и интегрирование по зоне Вриллюэна 17
1.6 Корреляционная функция и структурный фактор кристалла..................... 29
1.6.1 Определения........................................................ 29
1.6.2 Корреляционная функция............................................. 34
1.6.3 Кулоновская энергия кристалла ............................ 36
1.6.4 Структурный фактор................................................ 40
1.7 Общие свойства электрон-фоноииого рассеяния............................... 45
1.8 Электронные коэффициенты переноса в кулоновских кристаллах и жидкостях 47
1.8.1 Общий формализм.................................................... 47
1.8.2 Численный расчёт кинетических коэффициентов........................ 53
1.9 Заключение................................................................ 61
Кулоновский кристалл в магнитном поле 62
2.1 Введение ................................................................. 62
2.2 Уравнения колебаний кристалла в магнитном иоле........................... 64
2.3 Особенности спектра фоноиов в магнитном поле............................. 65
2.4 Диагонализация гамильтониана кристалла в магнитном поле.................. 68
2.5 Термодинамика фононного газа в магнитном поле ........................... 72
2.6 Смещение иона из положения равновесия, плавление кулоновского кристалла и фактор Дебая-Уоллера в магнитном поле............................... 75
2.7 Зависимость моментов спектра фононов от величины и направления магнитного поля............................................................. 78
2.8 Заключение................................................................ 79
2
давление 3
Прямой урка-процесс в сильных магнитных полях и остывание нейтронных звёзд 81
3.1 Введение ...................................................................... 81
3.2 Несохранение импульса при В Ф 0................................................ 83
3.3 Квантовый формализм........................................................... 8.3
3.4 Квазиклассический случай....................................................... 86
3.4.1 Общее рассмотрение и предел В —> 0....................................... 86
3.4.2 Эффект магнитного поля в запрещённой области (ррп > ррр + pfc) • • 88
3.4.3 Эффект магнитного поля в разрешённой области (ррп < ррр 4- рк£) . . 91
3.4.4 Обсуждение результатов................................................... 91
3.5 Остывание замагниченных нейтронных звёзд....................................... 92
3.6 Случай сверхсильиых магнитных полей ........................................... 97
3.7 Заключение..................................................................... 98
Астрофизические проявления локализации прогонов в ядрах нейтронных звёзд 100
4.1 Введение........................................................................ЮО
4.2 Вещество с локализованными протонами в ядре нейтронной звезды..................102
4.3 Кинетическое уравнение.........................................................106
4.4 Вероятности рассеяния..........................................................110
4.4.1 Электроны.................................................................ПО
4.4.2 Нейтроны.................................................................112
4.5 Расчётные формулы..............................................................114
4.6 Нейтринное излучение ..........................................................115
4.6.1 Электроны................................................................115
4.6.2 Нейтроны.................................................................116
4.7 Астрофизические следствия......................................................118
4.7.1 Теплопроводность.........................................................118
4.7.2 Электропроводность.......................................................120
4.7.3 Сдвиговая вязкость.......................................................121
4.7.4 Комментарий о кристаллическом упорядочивании локализованных
протонов.................................................................121
4.S Остывание нейтронных звёзд с локализованными протонами: зффскт увеличения нейтринных потерь......................................................122
4.9 Заключение.....................................................................126
аключение 128
итература
130
Введение
’езультаты, полученные в данной работе, в основном, относятся к внутреннему строению эволюции нейтронных звёзд. Поэтому естественно начать с описания основных ирод* тавленнй об этих астрофизических объектах (например, (91|). Важность исследований ейтронных звёзд сразу следует из опенки средней плотности их вещества р: при массе ипичной нейтронной звезды М ~ 1.4Mq и радиусе II ~ 10 км имеем р ~ 10 ’ г см“3. Эго римерно в 3 раза повышает плотность в атомных ядрах ро = 2.8-1014 г см 3. Свойства вещества при плотностях р > ро дают ключ к построению теории сильных взаимодействий, щё очень далёкому от завершения. Возможности изучения вещества в столь экстремаль-:ых условиях на Земле достаточно ограничены. Поэтому астрофизическая информация о [ейтронных звездах и, тем самым, о свойствах составляющего их сверхплотного вещества фактически незаменима. Основной проблемой становится интерпретация этой информации, которая подразумевает её сопоставление с щюдсказаннями теоретических моделей. 1екоторым аспектам этой обширной проблемы и посвящена настоящая диссертация.
В строении нейтронной звезды принято выделять 2 области: ядро (р > 0.5ро, радиус - 10 км) и кору (р < О.бро, толщина < 1 км). Кору нейтронной звезды, в свою очередь, юдразделяют на внутреннюю (О.бро > р > р</ « 4 • 1011 г см“3, толщина < 1 км) и внеш-(юю (р < ра, толщина $ 100 м). Во внутренней коре вещество состоит из атомных ядер, [ереобогащениых нейтронами, нейтронной жидкости вне ядер (возможно сверхтекучей) и тльно вырожденного, ультра релятивисте кого, почти идеального электронного газа.. При лотностях р ~ 10м г см”3, вблизи дна внутренней коры, атомные ядра возможно стано-ятся несферическими, образуют одно- или двумерные структуры [63] и. в конце КОНЦОВ, шваются в однородную материю ядра нейтронной звезды. При плотностях ниже илот-ости нейтронизации pd все нейтроны связаны в атомных ядрах. Состояние ионов в коре ейтронной звезды (внутренней и внешней) зависит от температуры Г. В основном ионы бразуют кристалл или сильно неидеальную жидкость. С понижением плотности умень-[ается энергия Ферми электронного газа. Состав ядер становится более симметричным, астёт поляризуемость электронного газа. При плотности 106 г см”3 электроны перестают ыть релятивистскими. При дальнейшем уменьшении плотности происходит 1>екомбина-ия электронов и ионов.
Здесь уместно отметить, что к теории внешней коры нейтронной звезды тесно примыка-г теория внутреннего строения ещё одного класса компактных астрофизических объектов белых карликов (например, [91)). Эти звёзды обладают массой М ~ 0.0Л/,, и радиусом ~ 5000 км; средняя плотность р ~ 10'1 — 10' г см”3. Многие утверждения, относящиеся
4
ведение
о
строению внешней коры нейтронной звезды, применимы и к внутреннему строению бе-ых карликов. Поэтому, в принципе, имеется возможность тестировать элементы теории нешних слоев нейтронной звезды непосредственно, сравнивая теоретические предсказана с наблюдательными данными о белых карликах, при моделировании которых знание шзики сильных взаимодействий не требуется.
В главах 1 и 2 основное внимание уделено свойствам ионов в коре нейтронной звезды ри температуре ниже температуры плавления (т.е. в кристаллическом состоянии). При гом сделано несколько упрощающих предположений. Считается, что система является исто кулоновской, т.е. нейтронная жидкость во внутренней коре нейтронной звезды не лияет на динамику ионов. Кроме того, предполагается, что все ионы полностью понизова-ы и при каждом значении Т и р имеется лишь один сорт атомных ядер. При рассмотрении вижения ионов электронный газ считается однородным (модель однокомпонентной плаз-(ы ионов). В главе 1 изучены термодинамические и корреляционные свойства системы онов ниже точки плавления (кулоновский кристалл), а в главе 2 рассмотрены термо-днамические свойства кулоновских кристаллов и вопросы, связанные с условиями их давления в сильных магнитных полях. Кроме того, в главе 1 рассчитаны кинетические оэффициенты (тепло- и электропроводность) сильно вырожденных электронов, обуслов-еиные их рассеянием на ионах в кулоновских кристаллах и жидкостях в коре нейтронной везды.
Приложение идеализированных представлений о кулоноиском кристалле к реальным .ристаллам в коре нейтронной звезды ограничивается, главным образом, неоднородно-тью реального электронного фона. В частности, поляризуемость фона приводит к модификации дисперсионной кривой оптической фоионной моды при больших длинах волн например, |80[). Аналогичных эффектов можно ожидать и при наличии магнитного по-1я. Однако, эти эффекты в данной работе не рассматриваются. Для описания кристаллов юнов и состоянии частичной ионизации с помощью модели кулоновского кристалла мож-ю применять метод эффективного заряда иона (что может быть особенно полезно при (спользоваиии результатов главы 2).
Перейдём к описанию теоретических представлений о ядре нейтронной звезды. Внешне области ядра состоят из нейтронов, протонов, электронов и мюонов. Состав внутренних областей (/>> 1015 гем"3) фактически неизвестен. Там возможно рождение гиперонов ли образование экзотических фаз вещества (кварковая плазма, каонный конденсат, про онная локализация и др.). Несмотря на высокую температуру Т ~ 10й - 10ш К (на не тишком поздних стадиях эволюции), вещество в ядро нейтронной звезды является силь-о вырожденным из-за очень высокой плотности: фермиевекие температуры нейтронов, тектроиов и протонов составляют ТРп>е > 1012 К, Грр ~ 1011 К. Нуклоны в ядре нейтрон-ой звезды могут быть сверхтекучими. Теоретические оценки критических температур *ерхтекучести нуклонов модсльно зависимы и лежат в интервале 10е - Ю10 К.
Касаясь эволюции нейтронных звёзд, отметим, что они рождаются горячими, с началь-эй температурой ~ 3 • 1011 К, но быстро охлаждаются до Т < 1 О * К. В течение ~ 105 — 106 гг основным механизмом потерь тепловой энергии являются реакции с излучением ней-
:ведение
6
рино, идущие в ядре звезды (при Т < 1010 К нейтронная звезда прозрачна по нейтрино). 1а более поздних стадиях остывание, в основном, определяется излучением фотонов с но-ерхности звезды. Для тепловой эволюции нейтронной звезды принципиальное значение мест вопрос о том, разрешён ли в ядре нейтронной звезды прямой урка-процесс:
п —> р + е + V , р + е —у п + I/ ,
лужащий очень мощным источником нейтрино. Если процесс разрешён, то звезда при ' < 109 К остывает быстро. В противном случае остывание идёт, в основном, за счёт го-•аздо менее эффективного модифицированного урка-процесса. Условием включения нря-юго урка-процесса для пре-вощества служит неравенство пр > пп/8, где пр и пп — кон-сн грации протонов и нейтронов (например, [56]). Для большинства модельных уравнений остояния вещества данное условие трудно выполнимо, поскольку вещество ядра нейтрон-ОЙ звезды нейтронноизбыточно (пп Пр). Любые эффекты, приводящие к облегчению того условия, немедленно сказываются на тепловой эволюции нейтронной звезды.
Моделирование остывания нейтронных звёзд и сравнение результатов с наблюдатель-1ыми данными об их тепловом излучении один из важнейших источников информации • внутреннем строении нейтронной звезды. Для такого моделирования нужно знать теи-юём кость, теплопроводность и скорость нейтринного энерговыделеиия в веществе нейронной звезды. Именно для этой цели в главах 1 и 2 исследованы термодинамические и лшетические свойства коры нейтронной звезды. В главах 3 и 4 основное внимание уде-icho реакциям с излучением нейтрино в ядре звезды. Так, в главе 3 исследована возмож-(ость облегчения условия включения прямот урка-процесса в сильных магнитных полях, ыцё одна возможность увеличения нейтринных потерь энергии рассмотрена в главе 4. $десь рассчитаны кинетические коэффициенты и нейтринное энерговыделение в гипотетической модели вещества ядра нейтронной звезды, в которой протоны локализованы ^однородностями плотности нейтронов. Возможность такой локализации при плотности ) > 10м г см-3 предсказана некоторыми теоретическими расчётами сверхплотного ве-щетва [51]. Нейтринное энерговы делен не в этой модели оказывается более слабым, чем ри наличии прямого урка-процесса, но более сильным, чем в случае модифицированного рка- процесса.
ллава 1
Кулоновские кристаллы
.1 Введение
Модель кулоновского кристалла точечных зарядов на однородном нейтрализующем фоне арядов противоположного знака широко используется в различных отраслях физики. Лодель была предложена Вигнером [100), который показал, что электронный газ, иогру-кённый в однородный фон положительного заряда, кристаллизуется с образованием объ-мноцентрированной решётки при нулевой температуре и достаточно низкой концентрации. С тех пор модель использовалась в теории плазменных колебаний в твёрдых телах модель “желе”, например, Пайне [79]), для описания электронно-дырочной плазмы (на-(ример, Рахманов [89]), в физике плазмы для описания пылевой плазмы и ионной плазмы нескомпенеированным зарядом в пеннинговских ловушках (например, И га но и др. [41]. Цубин и О’Нил [27]). Наконец, кулоновские кристаллы ионов на почти однородном фоне врожденного газа электронов образуются в ядрах белых карликов и оболочках нейтронных звёзд. Соответственно, свойства кулоновских кристаллов важны для изучения струк-:уры и эволюции этих объектов (например, Шабрие и др. [21], Шабрие |22|).
I Будучи классическим примером сильно неидеальной системы, кулоновские кристал-ы подробно изучались различными численными методами, в частности, методом Монте-Сарло (например, Стрингфеллоу и др. [94], Слэттери и др. [93] и ссылки там), методом мо-екуляриой динамики (например, Фароуки и Хамагучи [28]), методом монте-карловского нтегрирования но траекториям (например, Огата. [71]). Однако, хотя результаты этих селедований впечатляют, они требуют больших вычислительных ресурсов.
Б этой главе кулоновские кристаллы изучаются с помощью простой аналитической одели гармонической решётки. Кулоновские кристаллы описываются этой моделью с ысокой точностью. Мы покажем, что модель оказывается очень полезной для изучения гатических и динамических свойств кулоновского кристалла, его термодинамики, а таксе для исследования кинетических свойств электронов, рассеивающихся на фононах в улоновских кристаллах. В некоторых случаях гармоническая модель позволит получить езультаты, едва ли достижимые с применением численных методов.
Данная глава построена следующим образом. В разделе 2 описана гармоническая мо-сль кулоновского кристалла и выведено дисперсионное уравнение для частот элементар-
7
'лава 1. Кулоновскне кристаллы
8
ых коллективных возбуждений кристалла. В разделе 3 получены аналитические выражения, позволяющие эффективным образом рассчитать динамическую матрицу кулоновско-о кристалла для произвольной решётки. В разделе 4 исследованы особенности спектра юнонов кулоновского кристалла с простой решёткой. В разделе 5 рассчитаны термо-.инамические функции для кубических объёмноцентрированной и гранецентрироианной •ешёток, а также для гексагональной плотно упакованной решётки. Обсуждаются эффективные схемы интегрирования но зоне Бриллюэна. В разделе 6 изучены основные войства парной корреляционной функции, кулоиовская энергия и динамический струк-■урный фактор кулоновского кристалла. Рассчитан фактор Дебая-Уоллера, для объём-юцентрированной и гранецентрированиой кубических решёток. Одно- и многофонопные (роцессы рассеяния электрона на кулоновском кристалле изучены в разделе 7. Наконец, . разделе 8 получены общие формулы для кинетических коэффициентов электронов, распивающихся на ионах в кулоновском кристалле или жидкости, с учётом многофононных |роцессов в кристаллической фазе и подавления квазиупругого рассеяния в жидкой фазе. 1о этим формулам произведён численный расчёт электро- и теплопроводности электро-юв в широком диапазоне физических параметров, характерных для ядер белых карли-:ов и оболочек нейтронных звёзд. Модификации кинетической теории, предложенные в >аботах, которые легли в основу данной диссертации, приводят к исчезновению скачков ранспортных коэффициентов в точке плавления. Приведены аппроксимационные форму-1ы для эффективных структурных факторов и кинетических коэффициентов, полезные фи практическом использовании полученных результатов.
L.2 Дисперсионное уравнение
Система точечных зарядов величины Z\e\ (ионов), где е — заряд электрона, и однородного фона зарядов противоположного знака (электронов), обеспечивающего электропей-“ральность, называется однокомпонентной плазмой (ионов). Потенциальная энергия этой истомы (без учёта статистики ионов) даётся выражением
i-i Л' . г .
и™=^2'52ф(г'~гЛ~п'11 <*гФ(Г|--г) + п2 / / dr dr' Ф(г — г'), (1)
i=\ j=i »=iJv JvJv
де Ф(г) = Z2e2/r, a V, N и n — объем системы, полное число ионов и концентрация ионов;
радиус-вектор ?-го иона. Первый член представляет собой энергию взаимодействия онов друг с другом, второй — энергию взаимодействия ионов с фоном, плотность заряда оторого равна Zen, а третий — потенциальную энергию фона.
В такой форме уравнение (1) пригодно не только для кристалла, но и для ионной жид-ости, однако, в случае кристалла возникает важное упрощение. Ионы кристалла совер-[ают малые колебания относительно положений равновесия (узлов решётки) Х(, так что = Хг+и,-, и |u, < jX.-Xjl V? ф г. Ввиду малости величины смещений потенциальную яергию можно разлагать в ряд Тейлора. Линейный по смещениям член в этом раздоен и и отсутствует, поскольку конфигурация г, = Xj соответствует минимуму энергии.
лава 1. Кулоновские кристаллы
9
[риближеиие, в котором отбрасываются все члены разложения, старше квадратичного, азывается гармоническим, и широко используется в физике. Чем меньше отношение ве-ичины смещений к минимальному межузловому расстоянию, тем выше точность этого риближения. В гармоническом приближении имеем
ип *и = и0 + \£Iи?=0^ Р. + \ £ »?« + \£(2)
М— 1 * 3 I ^ *х7—1 *—1
И; =0
но повторяющимся греческим индексам подразумевается суммирование; мы не различаем декартовы ко- и контравариантные компоненты трёхмерных векторов; последнее равен-тво следует считать определением силовых матриц V и W). Величина V0, называемая нергией Маделунга, представляет собой электростатическую энергию конфигурации за->ядов, закрепленных в равновесных положениях X,,
Л' і-1 Л* р р у2 2
и0 = УіТФ(Хі -Ху)-н у; / <1гФ(Х, -г) + п2 / сігсіг'Ф(г-г') = NC— . (3)
ІҐііҐі i=,Jv Jv a
де С, постоянная Маделунга (по порядку величины С ~ —0.9. точные значения для іекоторьіх типов решёток приведены в разделе 5), а а = (3/4тгп)|/3 — радиус ионной форы.
Положения равновесия ионов X, могут быть заданы следующим образом. Фиксируя гачало отсчёта декартовой системы координат в одном из положений равновесия, мы мо-кем задать положения всех узлов кристалла выражением X, = R, ■+ хР- Здесь, г = (1р), = (пі.П2,Пз)? Щ?Щ,Щ njx)бегают всевозможные целые значения. Векторы R) = +
iqs-2 + пул$ называются векторами решётки, линейно независимые векторы ai,a2,ag на-;ываюгся векторами основных трансляций решётки, векторы хР, принадлежащие парал-іелепипеду, который образован векторами основных трансляций решётки (называемому іримитивной ячейкой решётки), называются базисом решётки, причёмр = 0,1,..., Агсс.ц- 1, С0 = 0, а ЛГсеи - число векторов, принадлежащих этому параллелепипеду, т.е. число век-оров в базисе решётки. Векторы aLl а2,а.} следует выбирать с таким расчётом, чтобы шнимизировать Лул)■ Решётки с Лт1Чц = 1 называются простыми. Примерами простых ешёток служат объёмно- и гранецеитрированиые кубические решётки (ОЦК и ГЦК. что квивалентно Ъсс и Гсс — body-centered cubic и face-centered cubic); гексагональная плотно пакованная решётка (ГПУ или hep hexagonal close-packed) характеризуется j'Vct.]| = 2. Іти три типа решёток будут рассматриваться в дальнейшем.
Для определённости будем считать что векторы решётки R| определяются числами тї.ш, робегаюншми значения *-[Лт„,/2],.... О,..., Nm - [Nm/2] - 1, m = 1,2,3, так что N\ N->Лд — f/N<t\\. Соответствующее множество индексов 1 обозначим через EjV. Зависимость рас-матриваемых в дальнейшем величин от конкретного выбора формы кристалла является есущественной, т.к. во всех формулах мы будем переходить к термодинамическому пре-апу /V, V —> оо при постоянной концентрации п. Множество Ндг при этом превращается множество всевозможных троек целых чисел Е.
’лава 1. Кулояовские кристаллы
10
Решение задачи о поведении системы в потенциале (2) достигается переходом к фурье-бра зам, а на физическом языке — введением коллективных координат А:
«Гр = (4)
ЛГр = \/т^е',кКЧ. (5)
ІбНл-
•де М масса иона. Область значений к определяется из следующих соображений. Прежде всего, любую функцию точки кристалла можно формально считать периодичной с пе-шодами Лгіаь Лг2а2, А’за3, т.е. Ук должно выполняться
ка,„ = , (6)
А т
'ДО утк — произвольное целое число, т = 1,2,3. Таким образом, векторы к принимают гначения на бесконечном дискретном множестве точек вида (б). Если бы функции коорди-іат были заданы во всех точках вида 4- і^аг 4- г3а3, где — [А7т/2] < ит < ЛГт - [Лгт/2], о все <1>урье- гармоник и были бы существенны. Однако, поскольку все функции заданы галько в узлах решётки, г.е. при целых и, то к и к' такие, что делится на
\Гт Чт = 1,2,3, являются эквивалентными. Таким образом, область определения векто->ов к может быть ограничена множеством (6) при .утк = 0.1....,.Ут - 1. Это множество лы назовём Пд-.
При подстановке (5) в (4) получаем
•« - яхж Е Е "*'"-"'4
кЄПл і'ЄЕіу
3 АГт—1
■ ыжк Е П Е
1 1 л И€£дг т=1 >т=0
' 2щт(п,п - п'т)
А-
т
«?р = »Гр > (7)
1то доказывает факт взаимной обратности преобразований (4) и (5).
Но поводу области определения векторов к нужно заметить следующее. Согласно <|юр-луле (б) эти величины имеют размерность волнового вектора и могут быть записаны в иде +j2g2/N2+jз&/Nг, где = 2тг613. Векторы вида + тад2 + <>бра-
уюг так называемую обратную решётку относительно решётки, состоящей из векторов 1ь и будут обозначаться как От, где т = (пцПг, из) — тройки целых чисел. В силу экви-алснтности векторов к, отличающихся вектором обратной решётки, в качестве области пределения фурье-компонент можно рассматривать как параллелепипед П^г, определимый условиями 0 < ф < А^ — 1 (фактически, примитивную ячейку обратной решётки), ак и более симметричный многогранник в обратном пространстве, содержащий О и огра-нчениый плоскостями, проходящими через середины векторов обратной решётки пер-енднкулярно последним. ’Этот многогранник называется 1-ой зоной Бриллюэна. Будем бозначать его Вр
13 термодинамическом пределе размер кристалла увеличивается, но расстоянии между гдельными ионами остаются неизменными. Векторы к полностью заполняют 1-ую зону