Развитие методов теории переноса излучения

Содержание
Общая характеристика работы.......................................... 5
Глава 1. Крупномасштабная асимптотическая теория переноса резонансного излучения в линейно расширяющихся средах в приближении полного перераспределения по частоте при рассеянии...................................................... 11
§1. Ядра интегральных уравнений и вероятности выхода фотонов. 12
1.1. Основные соотношения....................................12
1.2. Крупномасштабное представление монохроматической вероятности выхода.................................................... 14
1.3. Крупномасштабные представления ядерних функций..........15
§2. Решения для бесконечных и полубесконечпых сред..............21
2.1. Основные соотношения....................................22
2.2. Крупномасштабные представления основных соотношений 24
2.3. Крупномасштабные решения................................27
Глава 2. Обобщение приближения Соболева с учетом пространственных градиентов всех физических величин 37
§1. Формальное решение уравнения переноса.......................37
1.1. Система отсчета наблюдателя.............................38
1.2. Сопутствующая система...................................38
§2. Приближение Соболева (общий случай).........................41
2.1. Средняя интенсивность излучения и функция источников....41
2.2. Интенсивность выходящего излучения......................43
2.3. Нелокальное радиационное взаимодействие.................45
§3. Итерации по пространственным градиентам. Приближения первого и второго порядков........................................46
§4. Асимптотические разложения функций и(т,3) и Z(т, 0).........48
4.1. Определения.............................................48
4.2. Основные результаты для случая доплеровского профиля....49
4.3. Лоренцевские крылья фойгтовского профиля (ф(х) ~ а/лх2).56
4.4. Сшивка асимптотических разложений для доплеровского ядра и ло-ренцевских крыльев........................................ 57
Глава 3. Аналитические решения при ЧПЧ с функцией Яц в диффузионном (по частоте) приближении..........................59
2
§1. Статические среды: учет поглощения в континууме...............59
1.1 Основные уравнения и соотношения..........................60
1.2 Стационарные решения......................................61
1.3 Нестационарные решения....................................64
§2. Расширяющиеся среды: учет отдачи при рассеянии................67
2.1 Основные уравнения и соотношения..........................67
2.2 Решения уравнения диффузии................................69
2.3 Интегральные характеристики.............................. 75
§3. Рекомбинация водорода в расширяющейся Вселенной...............80
3.1 Основные уравнения и соотношения..........................81
3.2 Результаты расчетов степени ионизации и электронной температуры.............................................................86
3.3 Спектр рекомбинационного излучения в линии Ьуа............92
Глава 4. Асимптотическая теория переноса поляризованного излучения при резонансном рассеянии с полным перераспределением по частоте в доплеровском ядре .......................95
§1. Основные уравнения и соотношения..............................96
§2. Асимптотические разложения матрицы источников 5(т)............99
2.1. Консервативное рассеяние..................................99
2.2. Биконсервативный предел..................................105
2.3. Неконсервативное рассеяние...............................106
§3. Асимптотические разложения матрицы 1(г)......................107
3.1. Консервативное рассеяние............................... 108
3.2. Биконсервативный предел..................................111
3.3. Неконсервативное рассеяние...............................112
§4. Сравнение численных расчетов матриц 8(т) и 1(г) с их асимптотическими разложениями..........................................113
4.1.4Матрица $(т)......................................... 113
4.2. Матрица 1(г)........................................... 118
Глава 5. Общий метод численного решения задач о нестационарном переносе излучения........................................121
§1. Пространственно однородные задачи............................122
1.1. Многократное комптоновское рассеяние.....................122
1.2. Рассеяние в линии при ППЧ: линейное приближение..........134
3
1.3. Рассеяние в линии при ППЧ: нелинейная задача.........140
1.4. Рассеяние в линии при ЧПЧ с функцией перераспределения Яц ... 142
§2. Пространственно неоднородные задачи........... ...........148
2.1. Монохроматическое рассеяние в плоском слое конечной толщины1±&
Заключение........................................................152
Библиография.................................................... 154
Приложения
A. Приведение преобразования Лапласа ядра для одномерной среды • к виду, удобному для получения асимптотического разложения при
малых градиентах скорости.....................................162
Б. Асимптотические разложения функций Ц(т, #) и Z(т,(3) при допле-ровском профиле...........................................164
B. Асимптотика преобразования Лапласа ядра для одномерной среды при профиле СО степенными крыльями (ф(х) ~ ф0|я|“*).......168
Г. Вычисление коэффициентов а^к и 6^, входящих в асимптотические разложения матрицы 8(г) (гл. 4, п. 2.1)...................169
4
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Теория переноса излучения в спектральных линиях в статических (неподвижных) средах в приближении полного перераспределения по частоте (ППЧ) в элементарном акте рассеяния в настоящее время является хорошо разработанным с физической и математической точек зрения разделом теоретической астрофизики. Приближение ППЧ было введено почти одновременно рядом астрофизиков и физиков (Дж.Хаутгаст, Л.М.Биберман, Т.Холстейн,
В.В.Соболев). Согласно этому предположению вероятность переизлучения фотона определенной частоты не зависит от того, какую частоту имел фотон До рассеяния. Изложению теории переноса в спектральных линиях при ППЧ посвящено несколько книг, прежде вбего В.В.Соболева [1956] и В.В.Иванова [1969], а также обзоров (см., например, Ivanov [1991], Нагирнер [1994]).
Примерно с середины 60-х годов стала активно развиваться теория рассеяния при законах, отличных от ППЧ, которое называется рассеянием при частичном перераспределении по частоте (ЧПЧ). Большой вклад в эту теорию внесли Хаммер с сотрудниками (Hummer [1962], Hummer и Kunasz [1980]), Harrington [1974], Баско [1978], Frisch [1980], Hubeny и Heinzei [1984], Чугай [1980], а также армянские астрофизики (Енгибарян и Никогосян [1973], Yengibarian и Nikoghosian [1973], Никогосян и Арутюнян [1976]). (Обзор работ по теории рассеяния при ЧПЧ см., например в работе Нагирнера [1987].) Во многих случаях результаты при ППЧ и ЧПЧ близки, но бывают и существенные отклонения. Они проявляются, когда в системе отсчета атома происходит рассеяние с лоренцевским профилем (естественное уширение линий), а скорости атомов распределены по максвелловскому закону. Тогда функция перераспределения Яц (в обозначениях Hummer [1962]) ведет себя так, что в ядре линии происходит перераспределение, близкое к полному, а в крыле рассеяние почти монохроматическое. Это порождает иные асимптотики решений.
Актуальность дальнейшего развития теории переноса излучения в спектральных линиях определяется потребностями как самой теории, так и современных наблюдений. В рамках приближения ППЧ это, во-первых, — учет крупномасштабных движений (расширения или сжатия) вещества и неоднородности распределения характеристик среды, а также усложнение геометрии среды и, во-вторых, - разработка матричной версии теории, позволяющей наряду с профилем линии в интенсивности строить и профиль поляризации в линии (последнее актуально в связи с интерпретацией- так называемого второго спектра Солнца). Что касается ЧПЧ, то в случае функции перераспределения Яц, о которой упоминалось выше, оказывается возможным получить новые аналитические решения пространственно однородных задач как для неподвижных, так и движущихся сред. Далее, что касается численных методов решения задач о переносе излучения, то, несмотря на их огромное разнообразие, до сих пор не было придумано универсального метода (не считая метода Монте Карло), позволяющего решить любую задачу, а в особенности нелинейную, т.е. такую, в
5
которой характеристики среды существенно зависят от поля излучения.
Целью работы является дальнейшее развитие указанных выше направлений теории переноса излучения. В первой главе разрабатывается (в приближении ППЧ) крупномасштабная асимптотическая теория переноса резонансного излучения в линейно расширяющихся средах, которая в частном случае нулевого градиента скорости расширения переходит в соответствующую теорию для неподвижных сред. Рассматриваются бесконечные и полубесконечные среды с плоской или сферической симметрией. Показано, что при малых безразмерных градиентах скорости функция источников и интенсивность излучения выражаются через функции на 1 меньшего числа аргументов, являющихся комбинациями прежних аргументов. Для нескольких основных задач эти функции найдены в явном виде для случаев доплеровского и степенного (в крыле) профилей коэффициента поглощения. Обнаружено, что расширение среды может приводить к образованию узких (с шириной, меньшей тепловой) интенсивных компонентов профилей спектральных линий.
Во второй главе предлагается некоторый новый подход к получению широко известного (и часто используемого в астрофизике) приближения Соболева (ПС). В этом подходе ПС трактуется как нулевое приближение в разложении решения уравнения переноса в сопутствующей системе отсчета по пространственным градиентам всех физических величин, включая поле скорости, кинетическую температуру атомов и т.д. При этом ПС получается в самом общем виде и включает в себя все имеющиеся в литературе (и некоторые новые) обобщения. Найдены и поправки к ПС первого и второго порядков.
В третьей главе в рамках ЧПЧ с функцией Дц получены в диффузионном приближении новые более общие (по сравнению с имеющимися в литературе) аналитические решения задач о переносе излучения в линии в бесконечных (статических или расширяющихся) средах с равномерным распределением источников. В случае расширяющихся сред эти решения дают правильную асимптотику интенсивности излучения в крыле линии. Найдены профили спектральной линии, а также такие интегральные величины, как среднее число рассеяний фотонов и относительное число несбалансированных переходов из верхнего состояния атома в нижнее. Выражение для последней величины, имеющей также смысл вероятности выхода фотона из процесса рассеяний, отличается от получаемого в приближении Соболева (при ППЧ) множителем, который обращается в 1, если пренебречь отдачей при рассеянии.
В четвертой главе в рамках ППЧ построена асимптотическая теория переноса поляризованного излучения в линии в полз^бесконечных плоскопараллельных средах с равномерно распределенными частично поляризованными первичными источниками в линии. При этом предложен новый метод получения полного асимптотического разложения матрицы функции источников — непосредственно из интегрального матричного уравнения, которое получается из исходного уравнения типа Винера-Хопфа интегрированием по частям. Построены также численные решения задачи и проведено их сравнение с асимптотическими раз-
6
ложениями.
В пятой главе предложен новый метод численного решения нестационарных задач теории переноса излучения. Метод состоит в том, что если известно решение в некоторый момент времени, то из уравнения переноса можно найти по некоторым рекуррентным соотношениям и все производные этого решения в тот же момент и по ряду Тейлора вычислить решение в некоторый следующий момент и так далее. Метод позволяет рассматривать нестационарный перенос излучения как в стационарных средах, так и в средах, характеристики которых меняются со временем заданным образом. Более того, этим методом можно решать и нелинейные задачи, т.е. такие задачи, в которых поле излучения существенным образом влияет на характеристики среды. При этом не используются какие-либо итерации — все сводится к вычислениям по рекуррентным соотношениям. В качестве примеров получены решения нескольких задач. Для бесконечных однородных и изотропных сред рассмотрена временная эволюция начального спектра при многократном комптоновском рассеянии. При этом использовалось точное интегро-дифференциальное уравнение переноса на адаптивной частотно-временной сетке. Проведено сравнение с соответствующими решениями уравнения Компанейца, которое получается из исходного уравнения в диффузионном приближении. Рассмотрена также пространственно однородная задача о нестационарном переносе в спектральной линии. При этом учитывалось расширение пространства. Решения найдены как в линейном приближении, так и для исходной нелинейной задачи. В качестве примера пространственно неоднородных задач рассмотрен нестационарный перенос монохроматического, излучения в конечном плоском слое с переменными источниками.
Научная ценность работы определяется тем, что в ней разработаны некоторые направления в асимптотической теории переноса излучения в спектральных линиях при ППЧ (движущиеся среды (гл. 1), поляризация в линии (гл. 4)), предложены новые методы получения асимптотических и численных решений (гл. 4 и 5) и предсказаны некоторые новые физические эффекты (сужение линий в расширяющихся средах (гл. 1)). С практической точки зрения найденные новые аналитические решения могут использоваться для тестирования прикладных пакетов программ. Кроме того, полезным с методической (рассчет-ной) точки зрения может быть использование при численном решении не самого исходного интегрального уравнения переноса (как это делается, например, в гл. 4 при нахождении асимптотичского разложения матрицы функции источников), а альтернативной его формы, позволяющей исключить потери точности, связанные с учетом большого числа рассеяний (см. гл. 5, §1, п. 1.4). Для практического решения нестационарных нелинейных задач (в том числе и мно-гоуровенных) представляется весьма перспективным новый численный метод, предложенный нами в гл. 5. Более того, этот метод может использоваться (в стационарном пределе) и для.получения решений нелинейных стационарных задач.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докла-
7
давались на:
- семинарах лаборатории теоретической астрофизики Астрономического института и кафедры астрофизики С.-Петербургского гос. университета
- Всесоюзном симпозиуме, приуроченном к 40-летию введения принципа инвариантности в теорию переноса излучения, Бюракан, 26-30 октября 1981 г.
- Всесоюзном совещании ’’Звездные атмосферы”, Рига, май 1981 г.
- Всесоюзной конференции ’’Образование эмиссионных линий в спектрах звезд и галактик”, Эльва, 25-28 мая 1982 г.
- Всесоюзном симпозиуме, посвященном 100-летию интегрального уравнения переноса излучения, Ленинград, октябрь 1990 г.
~ Международной рабочей группе ’’Solar polarization”, ГАО РАН, С.-Петербург, май 1995 г.
- Международном симпозиуме стран СНГ по атмосферной радиации (МСАР-99), С.-Петербургский университет, С.-Петербург, 12-15 июля 1999 г.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях:
1. С.И.Грачев (1982). О профилях спектральных линий, возникающих в од- • номерной расширяющейся среде. I. Прямоугольный и доплеровский коэффициенты поглощения. Вестник Ленингр. ун-та. N 1. С. 77-86.
2. С.И.Грачев (1982). О профилях спектральных линий, возникающих в одномерной расширяющейся среде. П. Степенной коэффициент поглощения. Вестник Ленингр. ун-та. N 7. С. 85-92.
3. С.И.Грачев (1985а). Асимптотическое подобие в задачах о переносе резонансного излучения в линейно расширяющихся средах. I. Ядра интегральных уравнений, вероятности выхода фотонов. Астрофизика. Т. 23. С. 323-336.
4. С.И.Грачев (19856). Асимптотическое подобие в задачах о переносе резонансного излучения в линейно расширяющихся средах. II. Решения для бесконечных и полубесконсчных сред. Астрофизика. Т. 23. С. 551-568.
5. С.И.Грачев (1988). О диффузии резонансного излучения в бесконечной среде при наличии поглощения в континууме. Астрофизика. Т. 28. С. 205-215.
6. С.И.Грачев (1989). Диффузия резонансного излучения в бесконечной однородно расширяющейся среде. Астрофизика. Т. 30. С. 347-361.
8
7. С.И.Грачев (1989). Перенос излучения в движущихся средах. В трудах симпозиума ”Принцип инвариантности и его приложения”. Изд-во АН АрмССР. Ереван. С. 210-222.
8. С.И.Грачев, В.К.Дубрович (1991). Рекомбинация водорода в расширяющейся Вселенной. Астрофизика. Т. 34. С. 249-264.
9. С.И.Грачев, (1994). О нестационарном переносе излучения в спектральной линии в звездных атмосферах. Астрофизика. Т. 37. С. 447-453.
10. С.И.Грачев (1994). Перенос излучения в движущихся астрофизических средах. Труды Астрон. обсерв. С-Петерб. гос. ун-та. Т. 44. С. 203-235.
11. V.V.Ivanov, S.I.Grachev, V.M.Loskutov (1997). Polarized line formation by résonance scattering. I. Basic formalism. Astron. Astrophys. Vol. 318. P. 315-326.
12. V.V.Ivanov, S.I.Grachev, V.M.Loskutov (1997). Polarized line formation by résonance scattering. II. Conservative case. Astron. Astrophys. Vol. 321. P. 968-984.
13. Д.И.Нагирнер, В.М.Лоскутов, С.И.Грачев (1997). Точные и численные решения уравнения Компанейца: эволюция спектра и средних частот. Астрофизика. Т. 40. С. 349-364.
14. С.И.Грачев (1999). Образование линий в движущихся средах: асимптотические разложения некоторых специальных функций. Астрофизика. Т. 42.
С. 501-518.
15. С.И.Грачев (1999). Общий метод численного решения задач о нестационарном переносе излучения. Тезисы доклада на Международном симпозиуме стран СНГ ”Атмосферная радиация” (МСАР-99). С.-Петербург. Июль 1999г.
Примечания к списку основных работ:
• в работе [8] автору принадлежат текст, формулы и численные расчеты, а соавтору — постановка задачи
• в работе [11] автору принадлежит расчет коэффициентов асимптотических разложений ядерных матриц Ki(r) и Кг(т) (табл. 2)
• в работе [12] автору принадлежат численный расчет матрицы функции источников S(r) (табл. 1), асимптотические разложения вторых столбцов матриц S(r) и 1(т) (формулы ( 110)—( 117) ), расчет коэффициентов асимптотических разложений матриц S(r) и 1(т) (табл. 4 и 5). Разложения первых столбцов матриц S(r) и 1(т) (формулы (67), (68) и (96), (97)) получены автором одновременно (и независимо) с В.В.Ивановым разными способами
• в работе [13] автору принадлежит численное решение уравнения Компанейца (стр. 355-362)
9
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Она изложена на 170 страницах (153 страницы основного текста, 9 страниц приложений и 8 страниц списка литературы), включает 22 таблицы и 37 рисунков. Список литературы содержит 113 наименований.
10
Глава 1. Крупномасштабная асимптотическая теория переноса резонансного излучения в линейно расширяющихся средах в приближении полного перераспределении по частоте при рассеянии (ППЧ)
Крупномасштабные движения вещества, существенно влияющие на формирование линейчатых спектров, обнаружены в настоящее время у астрофизических объектов самой равной природы. Этим объясняется повышенный интерес к теории переноса резонансного излучения в движущихся средах. Изложение ее результатов и их астрофизических приложений можно найти в учебнике Соболева [1967], в монографии Михаласа [1982], а также в обзоре Гринина [1984]. Аналитическая теория разрабатывается для простейших моделей движущихся сред. Одна из таких моделей была рассмотрена Соболевым [1957] (см. также в учебнике Соболева [1967]). Это - плоскопараллельная среда (плоский слой), расширяющаяся по нормали к слоям с постоянным по глубине безразмерным градиентом скорости 7 = (1 /u)dv/dr. Здесь v - скорость расширения, и - средняя скорость теплового движения атомов, т - оптическое расстояние в центре линии, измеряемое вдоль нормали к слоям без учета расширения среды. В работе Соболева [1957] рассматривалась также и геометрически одномерная среда, расширяющаяся с постоянным 7.
Как показано Соболевым [1957], в предположении о полном перераспределении по частоте в сопутствующей системе координат задача о переносе резонансного излучения в упомянутых моделях движущихся сред сводится к решению интегрального уравнения с симметричным разностным ядром, зависящим от параметра 7. К уравнению такого же типа сведена в работе Грачева [1978) и задача о переносе излучения в однородном изотропно расширяющемся шаре. Ядра этих уравнений не являются суперпозициями экспонент, что сильно усложняет задачу, не позволяя непосредственно использовать методы, детально развитые для неподвижной среды. При малых градиентах скорости 7 асимптотики ядер основных интегральных уравнений были найдены в работах Витя-зева [1973] (одномерная среда) и Грачева ([1976] - одномерная среда, [1978а] - изотропное расширение, [1977) - плоскопараллельное расширение (см. также Hummer и Rybicki [1982))), а асимптотики некоторых решений — в работах Грачева ([19786] - изотропное расширение, [1978в] - плоскопараллельное расширение). Случай малого 7 наиболее важен как для объяснения наблюдений (см., например, Соболев [1967], гл. V, §27), так и для развития теории.
В §1 будет показано, что для упомянутых выше моделей движущихся сред ядерные функции и интегральные вероятности выхода, зависящие от двух аргументов г и 7, в пределе малых 7 выражаются через функции одного аргумента t = г/тс(7), где тс(7) - некоторое характерное оптическое расстояние, т.е. имеет место асимптотическое по 7 подобие ядерных функций. При этом при t <С 1 получаются известные асимптотики для неподвижной среды (они имеются в книге Иванова [1969]). Аналогичное уменьшение числа переменных, которое можно
11
назвать автомодельностью, имеет место и для монохроматической вероятности выхода, а также для преобразований Лапласа ядерных функций. Использование подобия основных функций позволяет получить крупномасштабные решения основных задач, что будет сделано в §2.
§1. Ядра интегральных уравнений и вероятности выхода фотонов
1.1. Основные соотношения
Основное интегральное уравнение для функции источников 5(т) имеет вид
где А - альбедо однократного рассеяния, а — —ос и 0 соответственно для бесконечных и полубесконечных сред. Это уравнение описывает перенос резонансного излучения в одномерной расширяющейся среде (Соболев [1957]), а также в трехмерных средах, расширяющихся по нормали к слоям (плоскопараллельно) (Соболев [1957]) или изотропно (Грачев [1978а]), при ”плоском” распределении первичных источников 5о(т) (г - оптическое расстояние от некоторой начальной плоскости, измеряемое без учета расширения среды). Ядерная функция /((г, 7) имеет следующую нормировку:
О)
(2)
Лля одномерной среды
' Г+00 Г 1 Г*+Чт . Л
А'(т,7) = К (т,7) = у ф(х)ф{х -f 7т) exp у Ф(х )^х ^х> (3)
/?(7) = ^1(7) = 7(1-е'1Ч
(4)
а для трехмерных сред
(5)
(6)
где
1, изотропное расширение,
/х2, плоскопараллельное расширение.
(?)
Здесь ф(х) - профиль коэффициента поглощения ф(х)(1х = lj , X = (и — Vq)!&Vq - безх.)азмерная частота, величина 7x0*) ~ градиент скорости в направлении, составляющем угол arccos/х с осью т.
Помимо ядерной важную роль в теории играют функции
12
где
P(x'h xh 7Х(д)) = ф(*'і) exp[-/(xj, XI, 7Х(д)))> (9)
Kxh *i> 7X00) = Z~(ÿj Jx 1 ФІУІЇУ (10)
- оптическое расстояние (с учетом расширения среды), на частоте х между точками т1 и т вдоль луча, образующего угол arccosд с осью т, причем
х\ = * - 7Х00т'/м> XI = х - 7х(д)т/д (11)
- локальные частоты, т.е. частоты, измеренные в сопутствующей системе координат, х - частота фотона в системе, связанной с начальным уровнем г = 0, который считается неподвижным.
Функции (8) и (9) (вторая, деленная на |д|) суть интегральная и монохроматическая вероятности выхода фотона с глубины г' на глубину т. Для интенсивности излучения имеем
I{ß,T,x) = f 8(т')Р(х'„хі,іхМ)<Іт' /Р> (12)
Ja±
где при д < 0 берется а~ = +оо, а при д>0-а+ = аи для одномерной среды, очевидно, д = ±1, х(д) = 1.
Введем, далее, вероятность ухода фотона на бесконечность в одномерной среде и ее двустороннее преобразование Лапласа:
P{y>~t) = <?ЫехР / <ß{z)di
[ 7 J-oo
, W(p,~f) = Р(р, 7) = Р(р,7) + Р(-р, 7)- (13)
Через Р(у, 7) выражается интенсивность излучения на бесконечности. Поскольку в дальнейшем мы считаем 7 < 1, то целесообразно переписать И^(р,7) в виде
W(p,7)=jf е™ф(у)ехр
dy + О
(14)
Важную роль в теории играет также преобразование Лапласа К(р,'у) ядра. Введем следующие обозначения:
У(Р>1) = £р^(р>7) + Я'(-Р>7)Ь ^(2/,7) = ^(^,7). (15)
Если пометить верхним индексом 1 функции для одномерной среды, то согласно (5) для трехмерных сред имеем
ЖРл7)=/ Ю{рр,7хМ)<1р, (1б)
J0
Цлт)= ( ь\т1р,1х[р)№- (17)
./о
13
Эти соотношения свидетельствуют о фундаментальной роли одномерной среды при изучении основных функций, характеризующих перенос излучения.
Ниже мы получим крупномасштабные асимптотические представления введенных выше основных функций при профилях коэффициента поглощения двух видов: доплеровском (ф(х) = тг“1^“*2) и степенном (ф(х) ~ 0оМ“к), обозначаемых в дальнейшем буквами Д и С. Эти представления (обозначаемые знаком =) являются пределами при 7 —► 0 и фиксированных крупномасштабных переменных
* = т/тс(7), г = [х± х0(7)1М:(7), Я = РТЛ7), (18)
соответствующих оптической глубине г, частоте х и параметру преобразования Лапласа р. Здесь
™ с (,5)
Характерный масштаб тс(7) представляет собой (по порядку величины) среднее расстояние между уровнями рождения и выбывания фотона из процесса рассеяний вследствие доплеровского смещения локальной частоты в расширяющейся
среде. Согласно (18) и (19) при доплеровском коэффициенте поглощения круп-
номасштабная частота г вводится двумя способами (знаки ± в (18)), что дает различные представления для крупномасштабной вероятности выхода (см. ниже формулы (23) и (24)), описывающие реальную вероятность выхода в окрестностях точек х « ^£0(7)-
1.2. Крупномасштабное представление монохроматической вероятности вы* хода
Достаточно, очевидно, изучить монохроматическую вероятность Р(х\>Х1>7) для одномерной среды (р — ±1, х{Л) = О- Переход в (9) — (11) к крупномасштабным переменным (18) дает
*М,*.7) = Р(*/»*/)/ге( 7)» ' (20)
/(®;,®ь 7) = /(«#,«#), (21)
-1
где
причем
и
*1 = 2- *{ = 2- Ь/р, (22)
д
с
(23)
±[е±у# — е±у], Д
МйН у!уГ-у¥|Ч О Э [уУ>у]> с (24)
оо,‘ 0 е [у'>у], с.
14
Знаки ± в (23) и (21) соответствуют двум различным возможным определени-
ям крупномасштабной частоты г согласно (18) при доплеровском профиле коэффициента поглощения. Заметим, что в (23) и (21), а также в последующих формулах с двумя знаками, берутся либо все верхние, либо все нижние знаки.
Для функции Щрл)» введенной согласно (13), мы используем выражение (14), пренебрегая последним слагаемым. В результате подстановка в это выражение крупномасштабных переменных дает для \У(р}у) следующее крупномасштабное представление:
здесь Г(<?) - гамма-функция. Формула (27) содержит, вообще говоря, неопределенность вида ( — I)5. В дальнейшем, однако, эта формула используется лить при целых 5, когда неопределенность исчезает. Функция ]) при степенном коэффициенте поглощения имеет в правой полуплоскости линию ветвления (0,+оо). Это вытекает из следующего ее представления:
ся при переходе от обычного параметра преобразования р к крупномасштабному Я = Ртс(т)- При этом сначала рассматривается случай одномерной среды, а затем для случая трехмерных сред проводится интегрирование одномерного представления согласно формуле (16). Детальный вывод полного крупномасштабного разложения К1(р,ч) дается в приложениях А, Б и В. Для случая доп-леровского коэффициента поглощения мы используем ниже лишь главные члены этого разложения.
И^±р/7,±7) = 7^:р('/)ехр(±2^(7)), где д и £0(7) определены согласно (18) и (19)
(25)
Д
11е <7 < О, С
(26)
Д
С
(27)
которое получается применением преобразования Меллина к правой части (26) с последующим его обращением. На берегах разреза
ю(у ± г0)= -с(у) ± id(y)J у > 0.
(29)
В случае лоренцевских крыльев (к = 2) входящие сюда функции выражаются через цилиндрические функции:
™('Я) = 2\/?А"1(2%/д), с(у) = тГу/уМх^у/я),
%) = *>/уМ2у/у)-
(30)
1.3. Крупномасштабные представления ядерных функции
Крупномасштабные представления преобразования Лапласа ядер получают-
15