Ударные и нелинейные волны в гравитирующих средах

СОДЕРЖАНИЕ
Введение.............................................. ..5
1. Стационарные ударные волны во внешнем гравитационном поле..................................................... 15
1.1. Стационарное течение с ударной волной в потенциальной яме . 15
1.1.1. Адиабатическое течение, адиабатическая ударпая волна... 20
1.1.2. Адиабатическое течение, изотермическая ударная волна .. 23
1.1.3. Изотермическое течение, изотермическая ударная волна.. 25
1.1.4. Квазистационарные течения с движущейся ударной волной26
1.2. Стационарное течение газа с ударной волной в потенциальной яме. Влияние тепловых процессов.................................33
2. Нелинейные и ударные волны в астрофизических газовых дисках....................................................42
2.1. Иерархический метод квазидвумерного описания тонких астрофизических газовых дисков....................................47
2.1.1. Основные уравнения иерархической квазидвумерной модели 47
2.1.2. Нулевое приближение иерархической квазидвумерной модели - традиционная квазидвумерная модель ........................52
2.2. Линейные волны в тонком диске........................... 54
2.2.1. Колебания симметричные относительно плоскости симметрии диска ..................................................... 56
2.2.2. Изгибные коле бания................................ 60
2.2.3. Колебания при а? > 0.................................61
2.2.4. Гироскопические и внутренние гравитационные волны в диске 66
2.3. Нелинейные и ударные волны в бесконечно протяженном газовом слое конечной толщины..................................... 70
2
2.3.1. Нелинейные волны конечной амплитуды в однородном газовом слое.................................................75
2.3.2. Ударные волны в однородном газовом слое..............79
2.3.3. Ударные волны в неоднородном газовом слое............83
3. Неустойчивость ударных волн в неоднородном потоке .94
3.1. Резонансный механизм неустойчивости ударных волн в неоднородном потоке............................................. 94
3.1.1. Классификация неустойчивостей..............'..........94
3.1.2. Коэффициент отражения и трансформации звука на ударном фронте в неоднородном потоке............................... 104
3.1.3. Коэффициент отражения звука для различных моделей ударных волн....................................................110
3.2. Устойчивость ударной волны в гравитационной потенциальной яме.......................................................115
3.3. Устойчивость галактической ударной волны: учет вращения галактического диска.......................................120
3.4. Устойчивость ударной волны в среде с быстрой тепловой релаксацией .................................................134
4. Неустойчивость сферической аккреции.......................143
4.1. Неустойчивость безударной сферической аккреции............146
4.1.1. Акустические моды (8р ф 0,8<р ф 0,6и> = 0,6s = 0)....150
4.1.2. Вихревые моды (6р ф 0,6<р ф 0, 6üj ф 0,6 s = 0)......161
4.1.3. • Энтропийная мода (6р ф 0,8ц> ф 0,6ш ф 0,6s ф 0)....166
4.2.. Неустойчивость сферической аккреции с ударной волной 175
5. Нестационарные ударные волны в межзвездной среде 184
5.1. Имплозия межзвездных облаков, индуцируемая тепловой волной 184
5.1.1. Модель с теплопроводностью, не зависящей от температуры 188
3
N
5.1.2. Модель с охлаждением и зависящей от времени теплопроводностью ...........'....................................... 194
5.2. Имплозия, индуцируемая прогревающим излучением 202.
6. Космологические ударные волны............................. 214
6.1. Гравитационная неустойчивость волнового пакета в расширяющейся вселенной......................................... 218
6.1.1. Линейный анализ.................................... 218
6.1.2. Размерностные оценки ................................230
6.2. Сферически симметричные возмущения в плоской вселенной. Нелинейная стадия...........................................232
6.2.1. Основные уравнения и оценки........................ 233
6.2.2. Мода (Е0 > 0), сильное возмущение, произвольное 7 ---241
6.2.3. Возмущение произвольной конечной амплитуды, 7 = 6/5 .248
6.2.4. Имплозивная мода (Ео < 0) ...........................251
6.2.5. Численные эксперименты............................. 254
6.3. Сферически симметричные возмущения в открытой вселенной 257
6.4. Сферические возмущения в модели вселенной с доминирующей скрытой массой........................................... 268
Заключение.................................................274
Литература.................................................276
Приложение I............................................. 295
Приложение II..............................................298
Приложение III............................................303
4
Введение
Ударные волны представляют собой один из важнейших динамических и структурообразующих элементов межзвездного и межгалактического газопылевого вещества, находящегося в сверхзвуковом движении и подверженного воздействию различного рода процессов с мощным энерговыделением.
Интенсивное развитие астрономии в различных диапазонах длин волн и, в том числе, развитие внеатмосферной астрономии в последние годы позволило накопить богатый материал наблюдательных данных о проявлениях и свойствах ударных волн в различных астрофизических системах.
Давно стало ясно, что роль ударных волн в динамике и структуре межзвездной среды (МЗС) является определяющей. Ударные волны от вспышек сверхновых разгоняют межзвездное вещество, сжимают его в плотные оболочки, и, очевидно, способствуют фрагментации этих оболочек и образованию межзвездных облаков [104,173]. Одновременно с этим ударные волны, проходя по невозмущенному межзвездному веществу, оставляют за собой горячий разреженный газ в кавернах. Наблюдения крупномасштабных областей горячего коронального газа с температурой Т ~ 106 К свидетельствуют о том, что горячий газ занимает, возможно, основную долю в общем объеме Галактики. Самосогласованная картина МЗС с доминирующей ролью ударных волн в ней построена МакКи и Острайкером [173].
Перекрывающиеся остатки сверхновых, в звездных ассоциациях могут создавать сверхоболочки размером в сотни и тысячи парсек. Такие крупномасштабные сверхоболочки Н1 и дыры в распределении межзвездного газа наблюдаются как в нашей Галактике [133], так и во многих других [110]. Коллективные синхронизованные вспышки сверхновых, сосредоточенных в одной ассоциации, могут вызывать выброс межзвездного вещества на большие высоты (в несколько килопарсек)
5
над плоскостью Галактики, формируя и поддерживая тем самым протяженное галактическое газовое гало [33,96,141,168,182,220,221]. Такое явление получило название галактического фонтана [206].
Взаимодействуя с облаками, ударные волны способствуют их сжатию, фрагментации и последующему звездообразованию [29,31]. Р1ме-ются многочисленные свидетельства стимулирования звездообразования ударными волнами в звездных комплексах [115].
Ударные волны не только разогревают вещество в целом, но и существенно усиливают в спектре распределения частиц по энергиям компоненту с надтепловым скоростями. Считается, что ударные волны являются основным источником космических лучей [112].
Формирование ударных волн происходит в процессах с мощным энерговыделением в ядрах активных галактик и в квазарах.
В межгалактической среде на масштабах порядка размера скопления галактик и больше также образуется система ударных волн со сложной структурой [175].
Основными факторами, определяющими динамику ударных волн в космической среде, служат неоднородность и нестационарность среды. Они же, в свою очередь, обусловливаются балансом сил, действующих на вещество. Разреженность межзвездного и межгалактического вещества и прозрачность к собственному излучению приводит его к быстрому остыванию, вследствие чего с уменьшением температуры падает и вклад сил давления газа в общий баланс сил. В результате движение газа оказывается существенно сверхзвуковым, характерные значения чисел Маха достигают больших величин вплоть до ~ 103. Таким образом, в общем балансе сил доминирующую роль начинает играть гравитационное поле, собственно и разгоняющее вещество до сверхзвуковых скоростей.
Проявления воздействия гравитационных сил на ударные волны в астрофизических системах весьма разнообразны. Гравитационное поле может выступать не только как фактор, управляющий динамикой
6
ударных волн, но и как истопник самых волн.
В дисковых газовых системах причиной появления протяженных ударных волн, простирающихся вдоль всего диска, служит аксиальная неоднородность гравитационного потенциала, в поле которого вращается диск. Ударные волны в галактиках инициируются полем спираль-пых рукавов, бара или приливным воздействием галактического спутника или пролетной галактики при тесном сближении [174, 192, 202]. Галактические ударные волны наблюдаются в радиодиапазоне через синхр о тронное излучение, исходящее из областей сильного сжатия магнитного поля, а также как пылевые прожилки. Обычно эти источники концентрируются в тех же областях спиральных рукавов, где расположены молодые звезды О и В-типа, яркие области НИ и молекулярные облака, отслеживаемые по линиям СО. Галактические ударные волны уверенно прослеживаются в галактиках с правильной симметричной спиральной структурой типа grand design, таких как М51. Интерпретация данных наблюдений, полученных с СОВЕ, указывает на то, что в нашей Галактике галактические ударные волны, возможно, инициируются баром [116].
Неустойчивости галактических ударных волн отводится организующая роль. Проявление мелкомасштабной неустойчивости связывается с формированием облачной компоненты за фронтом галактической ударной волны [3,49,56,87,212]. С неустойчивостью положения ударной волны в гравитационной потенциальной яме спирального рукава, возможно, связаны структурные особенности рукавов, такие как изломы, разделяющие рукава на отдельные плоские сегменты [101]. Такие изломы четко прослеживаются в большом количестве галактик (числом более 150), в том числе в М51, М81, М101. Сегменты видны и в гексагональной структуре колец в некоторых галактиках [97].
Аналогичные по своей природе крупномасштабные ударные волны могут возникать в аккреционных дисках вокруг компактных объектов. В аккреционных дисках в тесных двойных системах ударные волны
7
должны образовываться под влиянием гравитационного поля компа-пьона [201, 215]. Такие ударные волны могут выполнять роль эффективного механизма перераспределения углового момента, роль, которая ранее обычно отводилась турбулентной вязкости. Даже в случае малой собственной вязкости в газе (скажем, при наличии молекулярной и слабо развитой турбулентной) характерная эффективная вязкость при наличии ударной волны, измеряемая в терминах а-параметра [205], составляет порядка 0.1 [191,201]. Ударные волны в аккреционных дисках могут возникать и при падении вращающегося вещества на центр и отражении от центробежного барьера [196].
С неустойчивостью ударных волн в аккреционных дисках связывается наличие квазипериодических пульсаций светимости в двойных системах, наблюдаемых в рентгеновском диапазоне [224].
Возможно, ударные волны развиваются и в полярных кольцах, вращающихся в асферическом гравитационном поле галактического звездного диска под некоторым углом к плоскости самого диска галактики [230].
Все перечисленное выше свидетельствует об актуальности исследования динамики ударных волн в неоднородных гравитирующих средах.
Получившие в 50-80-е годы широкое распространение приближенные аналитические методы анализа динамики ударных волн в нестационарных и неоднородных средах [38,39,67,89,145,160,184] в последнее десятилетие в связи с резко возросшими возможностями и общедоступностью вычислительпых средств стали уступать место численному эксперименту, позволяющему прослеживать эволюцию многомерных течений с высоким пространственным разрешением. Однако численное моделирование, по-видимому, никогда не сможет полностью заменить аналитические исследования, поскольку именно аналитические теории позволяют выявить самые общие закономерности физических процессов. В настоящей работе гидродинамические аспекты образования пространственно-временных структур в астрофизических системах в
8
гравитационных полях поучаются на примере нескольких точно решаемых моделей.
В разработке теории полезно использовать разумные простые базовые модели, учитывающие минимально необходимое количество факторов, определяющих в главном поведение физической системы; такие модели могут служить основой для дальнейшего развития и уточнения теории. •
. Примером такого рода базовой модели в астрофизике может служить модель стационарной сферически симметричной адиабатической аккреции на точечный гравитирующий объект, построенная Бонди в 1952 г. [91]. До настоящего времени это решение остается тем фундаментом, на котором строятся семейства решений в более сложных, рафинированных моделях аккреции, включающих, например, эффекты вращения [99,204], относительного движения аккрецирующего тела и среды [15,92,137], неадыабатичность [100], магнитные поля [70], эффекты общей теории относительности [4,80] и т.д.
Другой пример - точное автомодельное решение задачи о сильном взрыве в однородной среде, построенное Седовым в 1946 г. [63]. По выражению Острайкера и МакКи [184] решение Седова является теоретической парадигмой для задач динамики ударных волн, порождаемых взрывными процессами. Автомодельность в динамике ударных волн, генерируемых мощным энерговыделением в некоторой ограниченной области пространства, возникает вследствие того, что пространственные масштабы области, занимаемой ударной волной растут многократно (на несколько порядков), так что детали начальных распределений с течением времени забываются. В результате динамика ударной волны подчиняется некоторым глобальным управляющим параметрам течения, таким как энергия течения или характеристики среды, по которой распространяется волна, и в случае, когда число этих параметров минимально необходимое, движение становится с необходимостью автомодельным. Таким образом, автомодельность отражает некоторые
9
симметрийные свойства рассматриваемой физической системы. Однако в случае, когда число управляющих параметров превышает минимально необходимое, автомодельность исчезает. В этой ситуации для построения решений нелинейной системы следует применять более общий подход,' основанный на анализе и использовании симметрийных свойств системы более общего вида. В данной работе симметрийный анализ дифференциальных уравнений применяется для построения решений, описывающих ударные волны с динамикой отличной от автомодельной.
Основная цель диссертационной работы - исследование динамических и структурных особенностей ударных и нелинейных волн в средах, влияние на которых гравитациоиного поля является определяющим. Подчеркнем, что ударные волны, вообще говоря, являются частным случаем нелинейных волн, и разделяя в названии диссертации ударные и нелинейные волны, мы подразумеваем под последними волны с гладким профилем без сильных разрывов.
Материал диссертации организован следующим образом. В первых двух главах рассмотрены различные стационарные модели ударных волн в гравитирующем газе в случаях, когда собственная гравитация газа несущественна по сравнению с воздействием внешнего гравитационного поля. Примером такого рода могут служить галактические ударные волны или ударные волны в аккреционных дисках. Основополагающую роль во всей работе играет модель стационарного протекания газа с ударной волной через гравитационную потенциальную яму. Эта модель последовательно усложняется на предмет учета различных факторов, влияющих на структуру течения: взаимодействие газа с излучением, геометрия и реальная многомерность течения.
Эффекты конечной толщины газовых дисков на динамику ударных и нелинейных волн изучаются в главе 2. В этой главе изложен оригинальный метод квазицвумерного описания длинноволновых возмущений в тонких газовых дисках. Предложенный метод обобщает тради-
10
ционыые квазидвумерные модели тонких дисков. Основная его отличительная черта - возможность учета инерции вертикальных движений для тех мод колебаний, для которых характерное время установления вертикального гидростатического равновесия в диске сравнимо с периодом колебаний или превышает его. Кроме того, метод позволяет в принципе учесть многомодовые движения.
Главы 3 и 4 посвящены изучению устойчивости течений с ударными волнами, при этом исследуются стационарные модели, рассмотренные в предыдущих разделах. В главе 3 предложена теория резонансного происхождения неустойчивости ударных волн в неоднородных средах. В рамках резонансной теории более полно раскрывается механизм неустойчивости ударной волны в неоднородном потоке. Показано, что неоднородность потока способна создавать условия для спонтанного излучения фронтом неустойчивых колебаний. Анализ коэффициентов отражения звука на ударном фронте неоднородном потоке поволяет делать качественные оценки относительно устойчивости ударного фронта без решения дифференциальной задачи на собственные значения. Предсказываемая в рамках такого подхода неустойчивость ударной волны при сферической аккреции на компактный гравитирующий объект подтверждается детальным лилейным анализом, представленным в главе 4. Там же приведены результаты линейного анализа устойчивости безударной сферической аккреции Бонди. Показано, что стационарная сферическая аккреция неустойчива относительно внешних вынуждающих колебаний.
Нестационарные удариоволповые течения в приложении к задачам динамики межзвездных облаков рассмотрены в главе 5. Изучается кумулятивное сжатие облака ударной волной, индуцируемой эффектами теплопроводности или прогрева облака проникающим ультрафиолетовым излучением. Эта задача рассматривается в контексте развития теории фотоиндуцированного звездообразования. Показано, что тепловая волна или волна прогрева излучением генерируют в облаке фоку-
11
сирующуюся ударную волну, способную приводить к сильному сжатию вещества в центре облака.
Глава б посвящена изучению динамики космологических ударных волн, характерный размер которых превышает джинсовский масштаб. На постановках задачах главы 6 остановимся чуть подробнее.
Основной проблемой в космологии является проблема образования структуры. Деформация расширяющегося вещества во Вселенной, происходящая вследствие развития гравитационной неустойчивости, порождает различного типа структуры с широким спектром временных и пространственных масштабов. Основные типы структур имеют универсальные свойства и их можно классифицировать [63]. На ранних стадиях деформации до образования многопотоковости в движении вещества (или до образования ударных волн в гидродинамическом подходе) типичными являются плоские структуры - “блины” [69], их выдслсн-ность можно объяснить одной лишь кинематикой вещества, движущегося по инерции под действием начального поля скоростей [237]. Гравитация при образовании плоских структур ответственна в первую очередь за формирование начального поля скоростей. Гравитация является основной движущей силой при формировании сферических структур типа сжимающихся конденсаций - беодиссипативных гравитационных сингулярностей [16]. Такие конденсации развиваются под действием собственного гравитационного ноля из первичных возмущений с избыточной плотностью (или с отрицательной энергией). Характерной особенностью этих образований является их динамика, которая приводит к образованию сингулярности (обращение плотности в бесконечность) за конечный промежуток времени. Такой режим называется режимом с обострением [25]. Однако, имеются образования другого типа, также проявляющие универсальные свойства в своей динамике и структуре, но развивающиеся без обострения. Они формируются из возмущений с дефицитом массы (или с положительной энергией) и являются по своей природе расширяющимися структурами. В отсутствие внешних
12
возмущений их расширение должно продолжаться неограниченно. Эти структуры исследовались изначально как сферические космологические ударные волны в контексте взрывного сценария образования галактик [82,142,143,203,228,235]. Позднее выяснилось [90,123,153,195,226], что они представляют собой финальные состояния уединенных возмущений с произвольной начальной амплитудой. В настоящей диссертации предпринята попытка классифицировать такие структуры. Этому посвящена глава 6.
Показано, что стандартный критерий гравитационной неустойчивости для линейных плоских волн должен быть обобщен на случай уединенного возмущения - волнового пакета. Условия для развития гравитационной неустойчивости волнового пакета более мягкие, чем для плоской волпы. Соответствующий линейный анализ гравитационной устойчивости волновых пакетов приведен в и. 6.1. Дана классификация структур, получающихся в линейном режиме. В п. 6.2 приведен детальный анализ нелинейных сферических возмущений положительной энергии в плоской вселенной. В п. 6.3 изучена динамика сферических возмущений положительной энергии в открытой вселенной. Построено инвариантное решение для расширяющейся космологической ударной волны. Влияние темной материи на динамику ударной волны рассмотрено в п. 6.4.
В Заключении перечислены основные результаты и выводы диссертации. Вспомогательный математический материал вынесен в Приложения.
Перечисленные выше содержательные результаты составляют научную новизну диссертации. Развитый в работе иерархический метод квазидвумерной гидродинамики может использоваться для адекватного описания динамики плоских галактик и аккреционных дисков. Разработанный резонансный подход позволяет делать качественные оценки относительно устойчивости ударных волы в неодродной среде. Построенная в диссертации модель взаимодействия газа с гравитационной ямой
13
используется в различных научных центрах при интерпретации наблюдательных данных, в частности, для объяснения образования ударных волн в газовом галактическом гало, в полярных кольцах, а также для объяснения особенностей строения спирального узора плоских галактик. Результаты линейного анализа устойчивости сферической аккреции подтверждаются независимо проведенными численными исследованиями зарубежных ученых. Все это определяет научную и практиче-скую ценнность работы.
Автору принадлежат постановки всех задач, рассмотренных в диссертации (кроме п. 5.1, в котором постановка принадлежит Ю.А. Ще-кинову), определение методов решения, построение аналитических решений (всюду кроме главы 1, в которой анализ выполнен совместно с В.В. Леви), постановка и реализация численного гидродинамического моделирования, обсуждение полученных результатов. Численный анализ линеаризованных уравнений гидродинамики в главах 2-4 выполнен совместно с М.А. Ереминым и Д.В. Лукиным.
На защиту выносятся следующие основные положения и результаты:
1. Стационарная модель протекания газа через гравитационную яму.
2. Иерархический метод, позволяющий описывать квазидвумерным образом динамику тонких газовых дисков с учетом влияния эффектов реальной трехмерности дисков.
3. Резонансная теория неустойчивости ударных волн в неоднородных средах и методика расчета коэффициентов отражения и трансформации звука на ударном фронте в неоднородной среде.
4. Результаты линейного анализа устойчивости ударных волн в плоской и сферической моделях протекания газа через гравитационную потепци-альную яму, а также с учетом процессов быстрой тепловой релаксации вещества к тепловому равновесию.
5. Результаты линейного анализа устойчивости сферического аккреционного течения газа на точечный гравитирующий объект.
6. Результаты расчетов имплозии межзвездных облаков, подверженных нагреву внешним ультрафиолетовым излучением или теплопроводностью.
7. Критерий гравитационной неустойчивости волновых пакетов в расширяющейся вселенной.
8. Результаты исследования динамики уединенных возмущений в расширяющейся вселенной.
14
Глава 1. Стационарные ударные волны во внешнем гравитационном поле
В данной главе рассматриваются простейшие стационарные модели галактической ударной волны. Изложение материала следует работам [149,150].
1.1. Стационарное течение с ударной волной в потенциальной яме
Существование в газовых подсистемах спиральных галактик крупномасштабных ударных волн, индуцированных волнами плотности, было предсказано Фуджимото [125] и Пикельнером и подтверждено численными расчетами Робертса [192].
В соответствии с расчетами Робертса ударная волна возникает естественным образом, если возмущение гравитационного потенциала в волне плотности превышает некоторую критическую величину. Согласно тем же расчетам ударная волна располагается на передней стороне ямы по отношению к натекающему потоку газа. Последующие расчеты структуры стационарного течения газа [213] показали, что в некоторых случаях ударная волна может располагаться и на задней стороне ямы и, более того, возможны вторичные ударные волны. Процесс образования и установления ударной волны в потенциальной яме был исследован Бейкером и Баркером в работе [75]. В их расчетах возмущение в потоке генерировалось как отклик газа на внезапно появляющуюся преграду в виде гравитационной ямы. Как показали расчеты, возмущение плотности вначале возникает на задней стороне ямы, где газ тормозится, и затем либо перемещается вперед и устанавливается на передней стороне ямы в полном соответствии с результатами [192], либо уносится из ямы вместе с потоком.
Численные расчеты хотя и подтвердили в целом сам факт образования ударной волны в потенциальной яме, однако оставили без объ-
15
яснения вопрос об условиях и причинах образования ударной волны. В частности, остались невыясненными следующие вопросы: 1) каковы те параметры потока и потенциальной ямы, при которых образуется ударная волна, 2) почему ударная волна устанавливается, как правило, на передней стороне ямы, 3) возможно ли существование стационарного течения через потенциальную яму с несколькими ударными волнами? Понимание того, где должна располагаться галактическая ударная
<
волна в спиральных рукавах, важно для утверждения различных теорий образования спиральной структуры в галактиках при сопоставлении их с наблюдениями [71], а также для объяснения особенностей строения спиральных рукавов [101].
Оказывается, ответ на данные вопросы можно получить из рассмотрения простейшей одномерной модели стационарного протекания газа сквозь гравитационную потенциальную яму в плоской геометрии.
Рассмотрим одномерное течение совершенного политропного газа вдоль бесконечной прямой (ось х) в поле гравитационного потенциала ф(х). Будем считать потенциал ф(х) непрерывной функцией, отличной от нуля в некоторой области пространства размером ~ а, так что ф(—оо) = ф(+оо) = 0, и имеющей минимум в точке х = 0. Для конкретности в расчетах используем функцию
ф(х) = ф0 ехр(-ж2/а2),
хотя, как будет видно из дальнейшего, основные выводы не зависят от явного вида функции ф(х). В дальнейшем различаем случаи ямы (фо < 0) и барьера (ф0 > 0). Течение считаем адиабатическим.
Пусть при х = — оо натекающий поток однороден, плотность газа равна pjn, массовая скорость равна щп, число Маха есть М{п. Очевидно, что на выходе из ямы при х —> оо поток вновь становится однородным с теми же самыми параметрами, что и на входе, при условии, что течение гомэнтропно. При наличии ударной волны параметры потока на выходе из ямы в общем случае отличаются от параметров на вхо-
16
де: соответствующие величины при х = +оо в дальнейшем отмечаем индексом “out”: pout, uout, Mout. Переменным параметрам течения до ударного фронта присваиваем индекс “0”, после фронта “1”, состояния непосредственно перед фронтом отмечаем индексом м—”, сразу за фронтом -
При построении стационарного решения для гомэнтропного течения на интервале —оо<х< +оо воспользуемся тремя законами сохранения: сохранением потока массы, интегралом Бернулли и условием гомэнтропности газа. В о б соразмеренных переменных
X = х/а,
ад = *(*)/<&,
R(X) = p(x)/pin,
U(X) = u(x)/cin,
P{X) = p(x)/pinc2in,
где cin - скорость звука натекающего вещества, ар- давление, законы сохранения принимают следующий в перечисленном выше порядке вид:
RU = J, (1.1)
+ it/» + * . В, (1.2)
Р/В? = ai, г = 0,1. (1.3)
Здесь 7 - показатель адиабаты газа. Поток массы и интеграл Бернулли постоянны во всем потоке, тогда как константа с*; скачкообразно
возрастает при переходе через ударный фронт. В этой связи мы различаем значения а0 и ах до и соответственно после ударного перехода.
Из начальных условий на х = — оо находим
J — Min, B=-~+1-Mfn, «0 = 1/7- (1-4)
17
ф
о
Рис. 1.1 Характерное поведение функции Ф(М) для дозвукового (левая ветвь) и сверхзвукового (правая ветвь) потоков.
Комбинируя (1.1)-(1.3) и исключая переменные давление и скорость, перепишем интеграл Бернулли как уравнение на число Маха
Это уравнение определяет текущее значение М(Х) при заданном значении Ф(Х), а уравнения (1.1)-(1.3) позволяют восстановить функции 1/(Х) и Р(X). Здесь учтено, что интеграл Бернулли справедлив по обе стороны от фронта с точностью до замены а0 на а*. Нетрудно^ видеть, что все параметры течения управляются единственной независимой переменной - значением потенциала Ф в каждой конкретной точке X.
Функция Ф(М) в уравнении (1.5) имеет смысл разности текущего и начального (X = — оо) потока внутренней и кинетической энергии. Характерная форма зависимости Ф(М) приведена на рис. 1.1. Эта кривая имеет минимум в точке
Поведение решения легко понять из рис. 1.1. Пересечение кривой Ф(М) с уровнем — Ф(Х) определяет текущее значение М(Х). Если
Фі(М) = (уац77“1)
(1.5)
(1.6)
18
1
Рис. 1.2 Типичные профили ПЛОТНОСТИ (R = р/Ро)5 скорости (JJ = и/сіп) и давления (Р = Р/рос1п) Длл безударного сверхзвукового (кривая 1) и дозвукового (кривая 2) течения. Типичное течение с ударной волной показано жирной линией. Для конкретности выбраны параметры 7 = 5/3, Min — 1-6 для сверхзвукового и Min = 0.5 для дозвукового течения.
Min > 1, то кривая Ф(М) пересекает ось абсцисс своей правой ветвью и решение для течения в потенциальной яме описывается траекторией А — В — А. Если же Min < 1, то решение задается траекторией С — D — С. Соответствующие профили течения показаны на рис. 1.2 тонкими линиями.
Непрерывное безударное решение существует для ямы любой глубины, тогда как соответствующее решение для потенциального барьера существует только при условии
Фо < |Ф(1)| = \уМ^-1)/(^+1) + ^ + -i-j, (1.7)
Заметим, что при Mxn = 1 кривая Ф(М) только касается оси абсцисс, что означает, что в данном случае не существует стационарного
19
безударного решения для потенциального барьера любой конечной амплитуды. Дозвуковой поток способен преодолеть барьер ограниченной высоты, в частности, в предельном случае покоящегося газа максимально допустимая высота барьера равна Фо = 1/(7 “ 1)- Напротив, сверхзвуковой поток преодолевает сколь угодно высокий барьер.
Анализ рис. 1.1 позволяет сделать вывод, что гомэнтропное течение не проходит через звуковую точку за исключением той ситуации, когда точка максимума потенциального барьера совпадает с минимумом кривой Ф(М) и неравенство (1.7) превращается в равенство.
1.1.1. Адиабатическое течение, адиабатическая ударная волна
Кроме непрерывных решений существуют разрывные решения для ударных волн. Рассмотрим стационарное решение с разрывом, покоящимся относительно ямы.
Перед и за фронтом ударной волны течение гомэнтропно и может быть описано теми лее законами сохранения (1.1)-(1.3) или уравнением (1.6), но теперь константа од определяется из условий на ударном скачке:
В случае адиабатической ударной волны поток массы и интеграл Бернулли непрерывны на ударном скачке, тогда как энтропия возрастает:
(1.8)
р_ + = р+ + л+иХ,
(1.9)
(1.10)
а, > а0 = 1/7.
(1.11)
В силу громоздкости явное выражение ДЛЯ «1, которое может быть получено из уравнений (1.8)-(1.10), не приводим.
Рис. 1.3 Типичное поведение кривых Ф (М) для дофронтового (Фо) и зафронтового (Фі) течений. Штриховая линия ВС соответствует скачку на ударном фронте.
Минимум кривой Фі(М), как теперь нетрудно найти из (1.5), (1.11), достигается в той же точке
Міт = 1, (1.12)
При этом минимум кривой Фі(М) всегда лежит не ниже минимума кривой Фо(М).
Характерное поведение ударного решения иллюстрирует на рис. 1.3 траектория А — В — С — В-Е. Участок А — В соответствует отрезку сверхзвукового течения перед ударным фронтом, В - С есть ударный переход на дозвуковую ветвь кривой Фі(М), С — О отвечает участку заударного дозвукового течения вплоть до достижения им минимума потенциальной ямы Фт (здесь изображен случай, когда ударный фронт расположен на передней стороне ямы) и, наконец. Б — Е описывает течение на задней стороне ямы.
При достаточно больших значениях (или другими словами большой амплитуде |Ф| в точке расположения фронта при прочих равных условиях) кривая Фі(М) поднимается над осью абсцисс, так что возврат в состояние Ф = 0 на выходе из ямы невозможен. Это означает, что стационарного решения с ударной волной при данных параметрах течения не существует. Таким образом, в тех местах ямы, где ее глубина превышает некоторую критическую величипу |ФСГ.| (скажем, в
21
интервале Xcri < X < Xcr2), возникает запрещенная область, в которой ударный фронт не может находиться в стационарном положении. Границы запрещенной области находятся из условия Ф(АСГ) = Фсг, а сама величина Фсг, определяется следующим образом. Из условия $i(l;<*icr) — 0 находится граничное значение o:icr, при котором стаци-онарпая ударная волна еще существует
- (i±Äp2))h+i№. (u3)'
уМ?п 1 V 7 + 1 J
Затем равенство
Р+(М-сг)
aur - Rl(M-cr) (1Л4)
дает значение М_сг, подставляя которое в (1.5), находим Фсг- Семейство кривых —Фсг как функций числа Маха входного потока для различных значений 7 показано на рис. 1.4а.
Из уравнений (1.13)-(1.14), (1.5) нетрудно найти асимптотику — Фсг. при Min > !•'
7 -f-1 /7-I
2/(7+1)
- öl угт (V) " 1 ' ML (1Л5)
Анализ рис. 1.4а показывает, что асимптотическое решение (1.15) дает достаточно высокую точность уже при М{п > 3 для 7 > 1.2.
Появление запрещенной зоны связано с тем, что течение за ударным фронтом, стартующее из точки Х0, фактически должно преодолеть потенциальный барьер высоты -Ф(А’о) Для того, чтобы выбраться из ямы, но как указывалось ранее, дозвуковое течение может преодолеть барьер только некоторой конечной высоты.
Небезынтересно отметить немонотонную зависимость —Фсг ОТ 7. В двух предельных случаях 7 —> 1 и 7 —* оо асимптотика — Фсг/М?п —> О при больших Minу в интервале же между этими значениями 7 величина —Фсг/М^ имеет максимум, равный 0.098... при 7 = 1.68... .
22
-у
сг
м
111
Рис. 1.4а Критический гравитационный потенциал в зависимости от числа Маха натекающего потока для адиабатической ударной волны. Числа над кривыми указывают соответствующее значение показателя адиабаты.
1.1.2. Адиабатическое течение> изотермическая ударная волна
Решение для изотермического скачка можно получить тем лее способом, что и в предыдущем случае. Отличие изотермического скачка от адиабатического состоит в том, что поток энергии на. скачке более не сохраняется, а остается непрерывной и постоянной температура, так что условие (1.10) следует заменить на
Р_/Я_ = Р+/Д+. 23
(1.16)
При этом имеем
Вх = + Iй*+ щхо) ф Б°’ (1Л7)
Q1 = 7?г - а°* ■ ’ (1*18)
4-
Это приводит к тому, что о’1СГ, возникающее теперь из условия Фх(1; aicr; Б1сг) = 0, принимает вид
7Щп V 7+1 )
Подставляя сюда <*1СГ(М_СГ) и J5icr(M_cr) из уравнений (1.16)-(1.18), неявно находим значение М_сг, которое далее определяет Фсг с помощью уравнения (1.5). Семейство кривых —Фсг показано на рис. 1.46. Легко видеть, что — Фсг стремится к конечному значению 1/(7 - 1) в пределе Min > 1 •
Случай изотермического скачка принципиально отличается от предыдущего случая адиабатической ударной волны: при Min = 1 критический потенциал — Фсг не обращается в ноль. Это есть следствие того факта, что изотермический скачок существует и при М{п < 1 вплоть до значения Мт = (Мт = ст/сву ст - изотермическая ско-
рость звука). В интервале Мт < Mtn < 1, в котором входное течение дозвуковое, критическое значение Ф определяется следующим образом. Приравнивание М_ к его граничному значению Мт
Мт = U_ (-^-) ' = MinRZh+1)/2 = гг"1/2 (1.20)
дает критическое значение М_сг, нодставляя которое в уравнение (1.5), находим
-фср = ~-х [(7м?п)(7-1)/(,+1) -1] + ^ [(тМ?,Г2^+1) -1].
(1.21)
24
о
2
4
6
Min
Рис. 1.46 То же, что и на рис. 1.4а, но для изотермической ударной -
Это решение представлено на рис. 1.46 семейством кривых слева от ТОЧКИ Min = 1.
1.1.3. Изотермическое течение, из отер одическая ударная волна
Переходя к пределу М{п —* получим случай полностью изотермического течения. Уравнение (1.5) тогда может быть переписано в виде
волны.
Фi(M) = oii\r\R+ ^2 - Bi = -Ф(Х), г = 0,1
(1.22)
где
Во = MfJ 2, а0 = 1
(1.23)
25
Вх =1пЛ++ М,?П/2Д2(. + ЩХо)фВ0, а! = а0 = 1. (1.24)
Повторяя те же манипуляции, что и в случае адиабатической ударной волны, находим ~ФСГ(М*П). Данная зависимость показана на рис. 1.46, кривая 7 = 1. Асимптотика Мзп 1 дает
,-Ф^ «ЬМ^та. (1.25)
1.1.4. Квазистациопарпые течения с движущейся ударной волной
Коль скоро стационарные состояния с ударной волной внутри запрещенной зоны отсутствуют, должны существовать решения с движущимся ударным фронтом. Будем искать решения для ударной волны, перемещающейся со скоростью ЛХо/сН (или в терминах скорости звука В = (1Хо/с*пси), и предположим, что течение как перед, так и позади ударного фронта стационарно. Ясно, что это предположение отвечает некоторому приближению, поскольку при движении в неоднородном потоке течение за фронтом ударной волны не может быть, вообще говоря, в точности стационарным. Однако, такое приближение может быть оправданным в случае ямы малой глубины (Ф/{72 < 1) или медленного движения волны (В/II < 1), так как, очевидно, в обоих предельных случаях Ф = О, ^ 0 и Ф ^ 0, £> = 0 предположение о
стационарности зафронтового течения становится справедливым.
Таким образом, предполагая, что ударный фронт движется со скоростью Д мы вводим дополнительный параметр, который наряду с Х0 полностью определяет параметры ударной волны. Условия на скачке тогда переписываются следующим образом:
Я_((7- - О) = Я+([/+ - £), (1.26)
Р_ + Я_(Р_ - В)2 = Р+ + Л+(1/+ - В)2, (1.27)
26
Константы Bi и аi определяются из уравнений (1.8)-(1.10) и, поскольку теперь D ф 0, не только а, но и величины J и В терпят разрыв на ударном скачке. Каждая из величин Ji, В i, ot\ зависит от Xq и D и, следовательно, поведение кривой Фг(М) теперь также определяется параметрами Х0 и D. Если Xq и D таковы, что Ф].(1) > 0, тогда ква-зистационарного решения с бегущей ударной волной не существует и наоборот. Для каждого данного Х0 существует определенный интервал допустимых значений D, в котором Фх(1) < 0. Этот интервал молено найти, применяя подобный использованному выше анализ к уравнениям (1.2б)-(1.28), (1.8)-(1.10).
Вначале рассмотрим случай без ямы, когда Ф = 0. В этом случае область допустимых значений D(X0) состоит из двух полуплоскостей. Одна из них ограничена сверху линией D = М{п — 1 и описывает состояния с ударной волной, бегущей вверх по потоку (рис. 1.5а), а вторая ограничена снизу прямой D = M*n + 1 и отвечает ударным волнам, движущимся вниз по потоку.
Верхняя граница D = Min- 1 нижней полуплоскости соответствует ударным волнам бесконечно малой интенсивности, движущимся вверх по течению со скоростью звука с1П относительно вещества. Но поскольку С{п < щп, ударная волна в целом сносится потоком (при наличии ямы это означает, что ударный фронт перемещается к задней границе ямы). Зафронтовое течение в данном случае имеет число Маха М+ = М,-п. Перемещаясь на фазовой плоскости 1){Хо) (рис. 1.5а) вниз от уровня D = М{п — мы попадаем в область состояний с ударными волнами все большей интенсивности. В этой области имеются два выделенных уровня М+ = ±1. Участок между этими двумя уровнями отвечает ударным волнам, движущимся с дозвуковой скоростью относительно лабораторной системы отсчета, вне этого участка движение ударных волн относительно лабораторной системы отсчета оказывается сверх-
4-,
D 2“ 0-
—2-І
-4-
-6Л
-8-
-10
M+=+l
М+= — 1
Г-------1---1----!----ї----1------1----ґ----1 І
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Хо
Рис. 1.5а Области разрешенных скоростей D и положений X ударного фронта для движущейся адиабатической ударной волны (заштрихованные зоны) для Фо = 0, Min = 2. Нижняя заштрихованная полуплоскость отвечает ударным волнам, движущимся вверх по потоку, верхняя - вниз по потоку. Пунктирные линии отвечают состояниям с зафронтовым числом Маха М+ = ±1.
звуковым. Значения Г), отвечающие М+ = ±1, могут быть найдены из уравнения
. ' М% = Я+и1 /7Р+ = 1, (1.29)
где Я+, С/+ и Р+ связаны с И уравнениями (1.26)*'{1.28). Анализ правой части (1.29) показывает, что корень О для М+ = Д существует всегда, а второй корень для М+ = -1 - только при 7 < 2. При 7 = 2 Г)(М+ = -1) = -ос, а при 7 > 2 корень исчезает.
Теперь включим в рассмотрение потенциал Ф(Х) < 0. Как уже
28