Моделирование динамического деформирования и разрушения плоских и осесимметричных тел

2
Работа выполнена в лаборатории прикладной механики Института машиноведения Уральского отделения Российской академии наук
з
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
ВВЕДЕНИЕ 5
1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТВЕРДЫХ ГЕЛ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ 10
1.1. Моделирование процессов динамического деформирования
твердых тел 10
1.2. О моделях разрушения твердых тел 16
1.3. Исследование пластичности металлов при высоких давлениях и скоростях деформации 17
1.4. Постановка задачи исследования 19
2. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ. ОСНОВАННЫЙ НА
ВАРИАІ1И011НОЙ ІІОСТАИОВКЕ 21
2.1.1 [остановка краевой задачи теории пластического течения 21
2.2. Применение вариационных принципов для решения краевых задач механики 28
2.2.1. Вариационные принципы для статических задач механики 28
2.2.2. О вариационных принципах динамики 35
2.3. Решение краевых задач механики методом разделения переменных, основанным на вариационной постановке 36
2.4. Задача об ударе упругого стержня о жесткую преграду 39
2.4.1. Решение задачи с помощью разностного представления виртуальных функций 41
2.4.2. Решение с помошью представления виртуальных функций
в виде рядов Фурье 44
2.4.3. Расчет поврежденное™ стержня 49
2.5. Задача об ударе упругопластнческого и жесткопластичсского стержней о жесткую преграду 51
2.6. Выводы 62
4
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРОЦЕССОВ ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВА11ИЯ И РАЗРУШЕНИЯ 63
3.1. Пробивание крутовоП пластины жестким шариком 63
3.1.1. Математическая модель процесса пробивания пластины 64
3.1.2. Расчет напряженно-деформированног о состояния в пластине
с учетом поврежден ное т и разрушения 66
3.1.3 Двумерное решение задачи о пробивании пластины 70
3.2. Внедрение жесткой частицы в пластическую преграду 78
3.2.1. Математическая модель внедрения квадратной пластинки в пластическое полупространство 83
3.3. Высокоскоростной разрыв цилиндрического образца в условиях высокого гидростатического давления 99
3.3.1.1 Остановка задачи и математическая модель 101
3.3.2. Определение напряженно-деформированного состояния
в образце 107
3.3.3. Расчет напряженно-деформированного состояния в образце из материала с деформационным упрочнением. Методика расчета пластичности металла 110
3.4. Выводы 119
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 120
С!ВИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 122
приложение: 1зо
ВВЕДЕНИЕ
5
Процессы изготовления и эксплуатации машиностроительных конструкций часто происходят при интенсивных высокоскоростных нагрузках. Динамические нагрузки возникают также при соударении частей работающих машин. Поэтому исследование процессов динамического деформирования и разрушения твердых тел является актуальной задачей. При этом экспериментальные исследования обычно являются дорогостоящими и часто не дают необходимого результата. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент на современных ЭВМ могут быть более дешевым и эффективным, а зачастую и единственно возможным, способом изучения реакции твердых тел на динамические нагрузки.
Исследование высокоскоростного взаимодействия является предметом теоретических и экспериментальных исследований ученых в России и за рубежом. Созданы различные математические модели. описывающие процессы взаимодействия в различных диапазонах изменения параметров. При этом для достаточно полного описания процессов используется как аппарат механики сплошной среды, так и некоторые разделы физики твердого тела, поскольку необходимо знание о свойствах материалов в широком диапазоне изменения параметров натружения. Общих моделей, описывающих все явления, возникающие при ударном нагружении, такие как упругое деформирование и пластическое течение, плавление и затвердевание, фазовые переходы и накопление различных макродефекгов, в настоящее время не существует. Основным препятствием для создания таких моделей является сложность построения определяющих уравнений среды, работающих в широком диапазоне изменения давления, скорости деформации, температуры и других параметров. Получение динамических определяющих соотношений из эксперимента без предварительного теоретического анализа невозможно даже для простейших видов испытаний. Поэтому математическое моделирование необходимо уже на стадии постановки задачи. Таким образом, наряду с созданием достаточно общих моделей, большое значение имеет построение адекват ных моделей, описывающих процесс ударного
6
деформирования в рамках некоторого диапазона параметров процесса и принимаемых в рассмотрение явлений.
Представляемая диссертация посвящена моделированию высокоскоростного нагружения пластически деформируемых тел на основе решения краевой задачи, описывающей процесс пластического течения. Расчет напряженно-деформпроданного состояния производится с помощью метода разделения переменных, основанного на вариационной постановке. Этот метод предполагает интегрирование по пространа венным переменным с помощью вариационного принципа. Решение квазистатичсской вариационной задачи прямым методом, например, методом Рнгца, сводит решение исходной динамической задачи к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно параметров, зависящих от времени. Использование метода позволяет описывать широкий класс процессов деформирования на конечном промежутке времени с учетом накопления в материале поврежденности и разрушения деформируемых тел. Метод был предложен В.Л.Колмогоровым в 1995 году. Его тестирование, обоснование применимости и реализация для решения ряда важных задач производилась при непосредственном участии автора диссертации. Работа, посвященная моделированию с помощью предложенного метода некоторых процессов динамического деформирования и разрушения плоских и осесимметричных тел, послужила основой представляемой диссертации.
Работа состоит из введения, грех глав, заключения и приложения.
В главе 1 сделан литературный обзор по вопросам моделирования высокоскоростного деформирования и разрушения твердых тел. а также исследования пластичности металлов при высоких давлениях и скоростях деформации. Сформулирована задача исследования.
В главе 2 дана формулировка краевой задачи теории пластического течения и кратко изложена теория разрушения как составляющая краевой задачи. Описан метод разделения переменных, основанный на вариационной постановке. Приведено обоснование применимости метода для решения динамических задач механики. Представлено решение задачи об ударе стержня о жесткую преграду.
7
Глава 3 посвящена построению математических моделей конкретных процессов динамического деформирования и разрушения на основе решения краевых задач методом разделения переменных. Приведено два варианта решения задачи О пробивании тонкой пластины жестким шариком. Исследовано влияние сопротивления среды, на которую опирается пластина, на параметры разрушения пластины. Построена модель внедрения летящей жесткой частицы в пластическое полупространство. Произведен расчет глубины проникания частицы для различных параметров процесса. Построена математическая модель высокоскоростного растяжения цилиндрического образца в условиях высокого давления. Разработаны алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния в образце до момента разрыва. На основе построенной модели предложена новая методика расчета пластичности металлов. Получены зависимости пластичности чистого железа от скорости деформации при различных значениях гидростатического давления.
В заключении сделаны общие выводы по результатам работы.
Приложение включает в себя:
- акт использования в Институте физики металлов УрО РАН методики расчета пластичности металлов на основе экспериментов по высокоскоростному деформированию цилиндрических образцов при высоких давлениях на установке для испытания материалов при сложном нагружении;
- акт использования решений задач, приведенных в диссертации, в учебном процессе в составе второго издания учебника [25] на металлургическом факультете Уральского государственного технического университета - УПИ.
На защизу выносится:
- обоснование применимости метода разделения переменных, основанного на вариационной постановке, для решения динамических задач механики деформируемого твердого тела, принципы построения математических моделей и алгоритмов расчета на основе этого метола;
- математическая модель деформирования и разрушения круговой пластины, опирающейся на плотную среду, под воздействием летящего шарика, алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния и поврежденное! и материала пластины, оценка влияния свойств среды на параметры разрушения:
8
- математическая модель внедрения плоской квадратной частицы в пластическое полупространство и алгоритм расчета глубины проникновения частицы и силы ее воздействия на материал мишени с учетом возможного разрушения материала мишени;
- математическая модель высокоскоростного испытания цилиндрического образца на разрыв в камере высокого давления, алгоритм расчета напряженио-деформированного состояния и повреждаемости в образце в процессе испытания ло момента разрыва;
- методика расчега пластичности металла на основе испытаний цилиндрических образцов па разрыв в камере высокого давления.
Материалы диссертации докладывались на всероссийских и международных научно-технических конференциях.
Работа выполнена в рамках планов фундаментальных исследований Института машиноведения УрО РАН по госбюджетным темам:
- “Системное моделирование кинетики развития поврежленности материалов в процессе обработки деталей и эксплуатации машин с целью управления долговечностью и живучестью изделий машиностроения” (гос. per. № 01.9.10037664);
- “Создать метод расчетов в механике деформирования и разрушения при неизотермическом динамическом воздействии, алгоритмы параллельных вычислений и осуществить их реализацию на больших ЭВМ” (гос. per. № 01.9.60.011832).
а также инициативных научных проектов Российского фонда фундаментальных исследований;
- проект № 94-01-01404-а “Приближенные методы механики разрушения при ударном взаимодействии”, 1994-1995 гг.;
- проект № 96-01-01309 “Приближенные методы расчетов в механике деформирования и разрушения при ударном взаимодействии, алгоритмы параллельных вычислений и их реализация на больших ЭВМ”, 1996 1997 п.;
- проект № 98-01-00018 “Развитие приближенного метода расчета ударных процессов деформирования и разрушения твердых тел с цслыо разработки
9
основ управления процессом разрушения и описания деформирования со сверхвысокими скоростями”, 1998-2000 гг.;
- проект № 01-01-00581 ‘Применение метода разделения переменных, основанного на вариационной постановке, к решению задач неизотермического деформирования и других практически важных задач. Разработка алгоритмов и создание программ для решения некоторых важных задач”. 2001-2003 гг. Основные результаты диссертации изложены в работах [73-83]. Отдельные результаты использованы во втором издании книги В Л.Колмогорова “Механика обработ ки металлов давлением" [25].
10
I. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ
НАГРУЗКАХ
1.1. Моделирование процессов динамического деформирования твердых тел
Математическое моделирование процессов, происходящих в твердых телах при динамическом нагружении, предполагает анализ напряженно-деформированного состояния в процессе деформирования. Характер протекания процесса сильно зависит от скорости деформации, уровня давлении и температур [1. 2]. В работе [I] предложена классификация взаимодействий твердых тел по скоростям соударения. Классификация учитывает изменение давления и температуры, связанные формулой Бриджмена 13]
У0. Р0- начальные объем и давление;
АУ - изменение объема, вызванное гидростатическим давлением Р\
А % В - коэффициенты, зависящие от температуры, в общем случае
Согласно принятой в [I] классификации, по характеру явлений, сопровождающих взаимодействие тел, скорости соударения разделяются качественно на три интервала:
деформация происходит в пределах упругости. Здесь у(| - скорость соударения, с0 - скорость звука в материале;
— = -АР+ВГ\
уо
(1-1)
Л/В- 1(Г5 -ио-*.
2) "средние” скорости, М0 < 0,75, А ~ ВР~; связь между тензором
напряжений и тензором деформаций нелинейная.
где о9 -
компоненты тензора напряжений. гі} - компоненты тензора деформаций;
И
3) “высокие” скорости, Л/0 >0,75, АР «В/*2, Р», где 5^ -
сдвиговые компоненты тензора напряжений. Здесь существенно отклонение от линейного закона сжимаемости и начинается область фазовых переходов с частичной или полной потерей атомами своих индивидуальных свойств.
В данной работе рассматриваются задачи ударного взаимодействия, относящиеся ко второму диапазону скорое гей. При этом предполагается такой порядок скоростей и давлений, что достаточно принять в рассмотрение упругое деформирование и пластическое течение с накоплением поврсждснности материала, пренебрегая болсс сложными физическими процессами и явлениями.
Рассматриваемые задачи описываются в рамках механики деформируемою твердого тела (4—61- Поведение материалов описывается моделью упругопластического течения типа Прандтля- Рейсса [7—10]. Различные теории, описывающие упругопластнчсскос поведение гвердых тел можно условно разделить на три основных подхода:
1) Теория упругопластического течения, основанная на гипотезе существования динамической диаграммы = /(е^), устанавливающей связь
между тензорами напряжений и деформаций, которая в общем случае не совпадает со статической диаграммой деформирования, а зависит от скорости удара. Такой подход подробно описан в работе (11].
2) Теория пластического течения. Подход основан на том. «по если в пространстве напряжений существует поверхность текучести ^'(ст;/)=0, то на
основании принципа максимума скорости диссипации механической энергии
скорость пластической деформации определяется ассоциированным законом
течения и условием несжимаемости:
5г=я.^.5,?=о. 0.2)
а упругая часть деформации Е* определяется законом Гука. Здесь X - некоторый множитель, по повторяющемуся индексу в (1.2) производится суммирование.