Оптимальное проектирование слоистых оболочек из вязкоупругих материалов

2
I. ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы диссертации определяется, прежде всего, общими тенденциями развития механики деформируемого твердого тела. В
50-е годы в этой области исследований появилось новое направление исследований, которое позднее получило название "теория вязкоупругости". Это направление интенсивно развилось и в нашей стране, и за рубежом, особенно в США, что вначале было вызвано чисто утилитарными потребностями использования новых полимерных материалов в различных технических устройствах. При последующем углублении в проблему начала развиваться теория вязкоупругости и вычислительные методы решения соответствующих задач. Однако лишь в последние годы в этой области механики появились работы, из которых следовали возможности улучшения служебных характеристик конструкций из таких материалов за счет использования их различных сочетаний. Наибольшие перспективы виделись для тех конструкций, которые работают в условиях динамических нагрузок. Очевидная практическая значимость этой проблемы, наряду с возникающими задачами теоретического характера, делает весьма актуальными эти задачи. В тоже время имеющиеся к настоящему времени соответствующие результаты относятся только к упругим материалам. В основном они сводятся к тому, что методы оптимального проектирования, основанные на принципе Понтрягина, можно использовать для разработки алгоритмов решения соответствующих задач из дискретного набора материалов. Тем не менее, эти результаты не снимают как проблемы адекватной математической постановки задач оптимального проектирования конструкций из вязкоупругих материалов, так и необходимости создания новых и развития известных методов их решения. Все это
3
в конечном итоге определяет актуальность темы диссертации и позволяет сформулировать
цель работы: исследовать возможность и дать количественную оценку повышения демпфирующих характеристик многослойных оболочек из дискретного набора вязкоупругих материалов при различных ограничениях на их конструктивные параметры.
Используемые методы исследования. Для описания динамического поведения конструкций в диссертации использовались математические модели линейной теории вязкоупругости Больцмана - Вольтерра с ядром релаксации Ржаницына - Колтунова которое весьма удовлетворительно отражает квазнстатическое и динамическое поведение материалов.
Для решения задач синтеза слоистых оболочек использовались методы теории оптимального управления, основанные на принципе максимума Пон-трягнна, преимуществом которого по сравнению с классическим вариационным исчислением является отсутствие требования непрерывности и гладкости управления.
Научная новизна. До настоящего времени задачи оптимального проектирования слоистых конструкций решались в рамках математических моделей теории упругости. Наличие демпфирующих свойств у композитных и полимерных материалов, которые можно отнести к вязкоупругим, послужило стимулом к постановке и решению задач синтеза слоистых конструкций именно из этих материалов. В работе рассмот рены вопросы улучшения служебных характеристик вязкоупругих конструкций за счет эффектов отражения и преломления волн при их прохождении через границы раздела материалов с различными свойствами. Даны количественные оценки повышения демпфирующих характеристик многослойных оболочек из дискретного набора материалов при различных ограничениях на их конструктивные параметры.
4
Практическая значимость: Разработанная математическая модель оптимального проектирования слоистых конструкций из конечного набора вязкоупругих материалов и реализующие ее алгоритмы позволяют решать следующие практические проблемы: 1) для любого набора материалов с известными демпфирующими свойствами можно заранее отобрать только те из них, которые необходимы для реализации проектных требований; 2) аналогично решается обратная задача подбора материалов; 3) обеспечить реализацию проектов при ограничениях на общую массу конструкции, на ее стоимость или габариты.
Основное содержание диссерт ации. Диссертация состоит из трех глав, заключения и списка литературы. В первой вводной главе дается общая характеристика диссертации.
Во второй главе рассматриваются методы описания динамического поведения вязкоупругих материалов и приводится краткий обзор работ, посвященных методам решения прямых задач в области динамики вязкоупругих деформируемых систем, состоящих из разнородных (в реологическом смысле) материалов. Особо выделены исследования, в которых речь идет о демпфировании колебаний конструкций в зависимости от различных факторов и рассмотрены вопросы оптимизации необходимых параметров па стадии проектирования. В этой связи сделан обзор работ, посвященных методам решения задач оптимального проектирования из конечного набора материалов и подчеркнута особенность таких задач.
В третьей главе диссертации на примере сферы рассматриваются вопросы синтеза вязкоупругих слоистых тел.
В первом параграфе приведена общая постановка задачи о свободных колебаниях вязкоупругой сферы. Выписаны соотношения вязкоупругих характеристик материала, полученные на основании линейной теории вязкоупругости Больцмана - Вольтсрра. Дана формулировка задачи оптимального проектирования конструкций из конечного набора материалов.
5
Во втором парафафе для краевой задачи о свободных колебаниях однородной вязкоупругой сферы получено точное решение, которое затем обобщается на случай свободных колебаний многослойной сферы. Частотное характеристическое уравнение сферы, имеющей п слоев из различных материалов, решается численно. Демпфирование свободных колебаний сферы оценивалось по мнимой составляющей комплексной частоты (со = (О, + /<у,). Рассмотрено влияние реологических свойств материалов и
толщины слоев на демпфирование и показано, что в зависимости от их сочетания демпфирующие свойства многослойной конструкции можно либо улучшить, либо ухудшить.
В третьем парафафе решена задача оптимального проектирования слоистой вязкоупругой сферы фиксированной толщины с максимальным декрементом затухания собственных колебаний. Вычислительный алгоритм строился на основании метода оптимального управления с использованием принципа максимума Л.С.Понтрягина, когда область изменения управления является офаниченны.м замкнутым множеством соответствующего функционального просфанства в отличие от задач классического вариационного исчисления. В данной задаче в качестве управления выступают вязкоупругие характеристики материалов. В силу дискретности области значений данных характеристик при выводе необходимых условий оптимальности использовались игольчатые вариации управления. Необходимые условия оптимальности получены в виде гамильтониана, который объединяет в себе вариации целевого функционала, а также вариации фазовых переменных. Покапано, что оптимальная конструкция будет обязательно состоять из конечного числа слоев. Их количество, размеры, порядок чередования в конструкции, а также материалы, из которых они состоят, находятся в процессе решения. С помошыо построенного алгоритма найдено несколько вязкоуп-
6
ругих слоистых сфер с различными реологическими параметрами слоев, которые максимально гасят собственные колебания.
В четвертом параграфе решена задача синтеза оптимальной слоистой оболочки с максимальным декрементом затухания собственных колебаний и с ограничением по общей массе. В силу такой постановки один радиус сферы фиксирован, а другой находится в процессе решения задачи. В качестве управления выбираются не только физические характеристики вязкоупругих материалов, но и толщина оболочки. При этом оптимальное управление находится из необходимого условия оптимальности, которое также строится с использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина в нелокальной формулировке. Создан вычислительный алгоритм, с помощью которого получено решение поставленной задачи и выполнен анализ полученных результатов.
В заключении изложены основные результаты и выводы, полученные в диссертации .
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были обсуждены на 1-ой Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1994), на конференции по вычислительным технологиям (Новосибирск, 1995), на 2-ой Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1997), на Международной конференции по конечно-разностным методам (теория и приложения) (Минск, 1998), на 15-ой Международной школе-семинаре «Информационные технологии в задачах математического моделирования» (Новосибирск, 1998), на 5-ой научной конференции по современным методам математического моделирования природных и антропогенных катастроф (Красноярск, 1999), на конференции «Современные проблемы механики», посвященной 40-летию Института механики МГУ (Москва, 1999).
Основные материалы диссертации изложены в десяти публикациях, список которых приводится в конце автореферата.
7
Считаю своим приятным долгом выразить большую благодарность сотрудникам Института физико-технических проблем Севера СО РАН, оказы-вамших мне помощь на разных этапах выполнения работы, и в первую очередь - Э. А. Бондареву и М. А. Каниболотскому, а также Б. Д. Аннину (Институт гидродинамики СО РАН) и Ю. С. Уржумцеву, чьи ценные советы во многом стимулировали мою работу.