Энергетические модели подобия малоциклового разрушения и методы оценки прочности элементов конструкций

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
стр.
ВВЕДЕНИЕ 5
ГЛАВА 1. МОДЕЛИ ПОДОБИЯ МАЛОЦИКЛОВОГО
ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОБРАЗЦА И ЭЛЕМЕНТА КОНСТРУКЦИИ.......................................... 14
1.1. Анализ статистических подходов при оценке прочности материалов и элементов конструкций............. 14
1.2. Модели подобия малоциклового деформирования .... 31
1.3. Использование моделей подобия для разработки методов оценки масштабного эффекта................... 43
1.4. Применение моделей подобия для разработки обобщенного метода оценки поверхностного эффекта......... 63
1.5. Критерии подобия для оценки конструктивной
малоцикловой прочности............................... 73
Результаты и выводы по первой главе.................. 89
ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА ОБОРУДОВАНИЯ ДЛЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ МАЛОЦИКЛОВОМУ ДЕФОРМИРОВАНИЮ ...................................................... 92
2.1. Обзор средств для экспериментального изучения циклической пластичности и прочности материалов 92
2.2. Установка для малоцикловых испытаний
материалов........................................... 96
2.3. Установка для малоцикловых испытаний модельных элементов................................ 105
2.4. Разработка приборов для регистрации диаграмм
однократного и малоциклового деформирования......... 111
Результаты и выводы по второй главе............... 120
3
ГЛАВА 3. ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ МАЛОЦИКЛОВОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛОВ................................. 121
3.1. Обзор методов экспериментального изучения закономерностей малоциклового деформирования............. 121
3.2. Методы аналитического описания диаграмм малоциклового деформирования............................ 125
3.3. Методика и результаты изучения закономерностей малоциклового деформирования по данным испытаний
на плоский изгиб.................................... 132
3.4. Методика и результаты исследования закономерностей малоциклового деформирования по данным испытаний на изгиб с вращением................. 140
Результаты и выводы по третьей главе................ 149
ГЛАВА 4. МЕТОД ОЦЕНКИ МЕСТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ,
ДЕФОРМАЦИЙ И ЭНЕРГИЙ В ЗОНАХ КОНЦЕНТРАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ......................... 151
4.1. Анализ методов исследования напряженно-деформированного состояния в зонах концентрации элементов конструкцЙ........................................... 151
4.2. Энергетический метод оценки концентрации напряжений и упругопластических деформаций...... 157
4.3. Исследование кинетики напряжений, деформаций, энергий и их градиентов при однократном и малоцикловом нагружениях................................... 166
4.4. Конечноэлементный анализ напряжений и их градиентов в зонах концентрации деталей....... 177
4.5. Развитие энергетического метода для малоциклового нагружения деталей......................... 186
4.6. Использование энергетического метода для оценки
НДС элементов конструкций с трещинами................ 208
Результаты и выводы по четвертой главе............... 221
4
ГЛАВА 5. ИССЛЕДОВАНИЕ МАЛОЦИКЛОВОЙ ПРОЧНОСТИ
МАТЕРИАЛОВ......................................... 224
5.1. Обзор методов оценки работоспособности материалов при малоцикловом нагружении.................... 224
5.2. Экспериментальное обоснование энергетических критериев разрушения при малоцикловом нагружении ... 236
5.3. Статистическое обследование критериев малоциклового разрушения материалов......................... 246
5.4. Исследование критериев малоцикловой прочности в
условиях конструктивной концентрации............... 258
Результаты и выводы по пятой главе................. 268
ГЛАВА 6. ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ПОДОБИЯ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ДЕТАЛЕЙ............................. 271
6.1. Обзор методов моделирования процессов деформирования и разрушения элементов конструкций. 271
6.2. Факторный регрессионный анализ малоцикловой долговечности по трещинообразованию и разрушению элементов конструкций.............................. 276
6.3. Моделирование малоцикловой долговечности
деталей............................................ 288
6.4. Разработка и создание эффективной гидрооснастки
высокого давления.................................. 299
Результаты и выводы по шестой главе................ 306
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ....................... 311
ЛИТЕРАТУРА................................................... 315
ПРИЛОЖЕНИЕ................................................... 341
ВВЕДЕНИЕ
5
Многие ответственные элементы конструкций (детали гидравлических устройств различного назначения, сосуды давления, кузнечные штампы, корпуса энергетических установок и др.) работают в экстремальных условиях и испытывают за время эксплуатации малое число термомеханических нагружений. Стремление улучшить техникоэкономические характеристики такого рода конструкций путем увеличения рабочих параметров (давления, температуры, удельной и единичной мощностей и т. д.) побуждает использовать резервы несущей способности их элементов за счет местного упругопластического деформирования материала в зонах концентрации напряжений. В связи с этим в последнее время особую актуальность в научном и важность в практическом отношениях приобрели проблемы прочности и пластичности при циклических нагружениях. Большой вклад в решение этих проблем внесли С.В. Серенсен, А.П. Гусенков, Н.A. Махутов, Ю.Ф. Баландин, И.А. Биргер, ДА. Гохфельд, МА. Даунис, И.В. Кудрявцев, В.В. Ларионов, Н.И. Марин,
Н.С. Можаровский, В.В. Москвитин, В.В. Новожилов, Г.С. Писаренко, Ю.Н. Работнов, О.С. Садаков, ВА. Стрижало, В.Т. Трощенко, О.Ф. Чернявский, P.M. Шнейдерович, Л. Коффин, С. Мэнсон, Б. Лэнджер, А. Лоу, Ц. Будач, Я. Гинсшер, X. Пройс и др. Работы в указанном направлении более 35 лет проводятся также в ИжГТУ.
Разнообразие конструктивных форм, размеров, технологий получения, режимов нагружения и температурных условий работы конструкций крайне затрудняет, а в ряде случаев делает практически невозможной, оценку их ресурса только по результатам испытаний лабораторных образцов. В связи с этим для учета характерных отличий элемента конструкции от лабораторного образца перспективным представляется развитие методов статистической механики материалов и деталей машин. Применительно к хрупкой статической прочности и
6
многоцикловой усталости статистические теории, использующие силовую трактовку процесса разрушения, получили развитие в научных школах
А.П. Александрова и С.Н. Журкова, В.В. Болотина, С Д. Волкова, ТА. Конторовой и Я.И. Френкеля, Н.В. Олейника, Г.С. Писаренко и В.Т. Трощенко, Д.Н. Решетова, С.В. Серенсена и В.П. Когаева, а также в работах В. Вейбулла, И. Фишера, И. Холломона, А. Фрейденталя, Е. Гумбеля и др. Применительно к малоцикловой области статистические методы практически не разработаны.
АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Малоцикловая усталость, для которой характерна работа материала в условиях циклических упругопластических деформаций, имеет принципиальные отличия от статической хрупкой прочности и многоцикловой усталости. Так, традиционно используемый в расчетах на прочность силовой подход плохо описывает малоцикловое разрушение. Деформационная трактовка [60, 61] удовлетворительно описывает малоцикловое разрушение, но ее реализация крайне громоздка, поскольку даже при малоцикловом стационарном нагружении элемента конструкции местные упругопластические деформации (и, следовательно, напряжения) изменяются по числу нагружений. При этом местные удельные энергии упругопластического деформирования остаются практически стабильными. Выполненные автором поисковые исследования показали, что наиболее предпочтительным физическим критерием малоцикловой прочности является удельная энергия за цикл упругопластического деформирования как интегральная характеристика напряженно-деформированного состояния (НДС). Эти и другие особенности не позволяют использовать для малоцикловой усталости известные статистические теории циклической прочности, предложенные для области неограниченной долговечности.
Базовые детали узлов (гидрогаек, домкратов, съемников, насосов высокого давления) технологической гидрооснастки, предназначенной для механизации монтажно-демонтажных работ в бумагоделательной и других
7
отраслях тяжелого машиностроения, испытывают за время эксплуатации малое число нагружений внутренним давлением. Статистика простоев бумагоделательных машин показывает, что до 50 % времени в общей трудоемкости ремонтных работ затрачивается на монтажно-демонтажные операции. При аварийных и внеплановых остановах оборудования ремонтные работы проводятся в стесненных условиях при повышенной температуре и влажности. При этом следует иметь в виду, что бумагоделательное оборудование характеризуется большими габаритами и массой узлов и отдельных деталей, наличием большого числа различных соединений с натягом. На многих бумагоделательных предприятиях такие соединения собираются и разбираются с помощью малопроизводительных винтовых съемников или ударного инструмента. После нескольких операций сборки-разборки указанными инструментами нормированные натяги существенно уменьшаются или практически исчезают из-за съема материала с поверхностей посадок, что приводит к нарушению работы прессовых соединений и узлов в целом.
Для повышения качества сборки, производительности труда и сокращения простоев бумагоделательного оборудования в Лаборатории проблем надежности бумагоделательного оборудования и на кафедре “Основы машиноведения и робототехника” ИжГТУ по заказам предприятий более 30 лет проводятся систематические работы по разработке и созданию эффективной монтажно-демонтажной гидрооснастки, выпущен каталог нормированных типоразмеров ее силовых органов. Вместе с тем проводимые в настоящее время расчеты указанных деталей на статическую прочность по номинальным напряжениям без учета местной напряженности не в полной мере отражают условия работы, не гарантируют обеспечение малоцикловой несущей способности, сдерживают разработку более эффективных конструкций гидрооснастки.
В связи с вышеизложенным целью данной работы является обоснование энергетических критериев разрушения, выявление закономерностей накопления повреждений, разработка моделей подобия эквивалентного по
8
повреждаемости малоциклового деформирования эталонного и натурного элементов конструкции, создание на этой основе методов обеспечения малоцикловой несущей способности деталей гидрооснастки.
НАПРАВЛЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ. Теоретические и экспериментальные исследования, направленные на поиск и обоснование перспективных энергетических критериев малоциклового разрушения, выявление на их основе закономерностей подобия малоциклового деформирования, разработку моделей подобия малоциклового деформирования эталонного и натурного элементов конструкции, носят фундаментальный характер.
Теоретические и экспериментальные исследования, касающиеся разработок методов обеспечения малоцикловой несущей способности с учетом влияния конструктивной концентрации, состояния поверхности, размеров, формы сечений и видов нагружения деталей гидрооснастки, имеют прикладное значение при совершенствовании конструкций гидравлических устройств широкого назначения.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе использованы комплексные методы исследования. При этом получили развитие статистические методы исследования малоцикловой усталости деталей машин при разработке моделей подобия, аналитические и экспериментальные методы теорий упругопластических деформаций для однократного и циклического нагружений при создании энергетического метода оценки НДС в зонах конструктивной концентрации, методы математического и экспериментального моделирования при оценке малоцикловой несущей способности деталей гидрооснастки. Широко применялись также методы численного (конечноэлементного) анализа НДС, математической статистики, многофакторного регрессионного анализа, планирования эксперимента и поиска оптимальных решений, переменных параметров упругости, теорий подобия и размерности.
ДОСТОВЕРНОСТЬ И ОБОСНОВАННОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ. Достоверность и обоснованность полученных в работе научных
9
результатов, выводов и рекомендаций подтверждается корректностью построения и использования предлагаемых математических моделей, соответствием полученных расчетных результатов с данными проведенных экспериментов и литературных источников, практическим использованием результатов диссертационной работы и промышленным внедрением опытных образцов гидрооснастки.
НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ:
- модели подобия эквивалентного по повреждаемости малоциклового деформирования эталонного образца и натурного элемента конструкции;
- методы оценки влияния конструктивной концентрации, шероховатости поверхности, размеров и формы сечений, вида нагружения детали на малоцикловую прочность;
- энергетический метод определения коэффициентов концентрации напряжений, упругопластических деформаций и энергий в зонах концентрации при однократном нагружении;
- результаты конечноэлементного (КЭ) анализа местных напряжений в деталях гидрооснастки;
- обобщение энергетического метода для получения полей местных напряжений, упругопластических деформаций, энергий и их относительных градиентов при малоцикловом нагружении деталей;
- методика малоцикловых испытаний материалов при энергетически стационарном деформировании в условиях плоского изгиба;
- методика количественного анализа кинетики НДС при малоцикловых испытаниях на изгиб с вращением образцов и модельных элементов;
- методика прогнозирования кривых малоцикловой усталости (МЦУ) материала в энергиях;
- методика прогнозирования параметра чувствительности материала к концентрации энергии;
- метод экспериментально-математического моделирования малоцикловой несущей способности деталей гидрооснастки.
10
НАУЧНАЯ НОВИЗНА:
- показано, что в качестве физического критерия малоциклового разрушения целесообразно использовать удельную энергию деформирования как интегральную характеристику НДС;
- разработаны модели подобия малоциклового деформирования, которые устанавливают соответствие между полями местных напряжений, деформаций и энергий равной повреждаемости эталонного и натурного элементов конструкций;
- предложены и экспериментально подтверждены методы учета влияния конструктивной концентрации, поверхностного и масштабного эффектов, их совокупного влияния на малоцикловую прочность;
- созданы научные основы обеспечения малоцикловой несущей способности деталей, работающих в наиболее общем случае номинального трехосного неоднородного напряженного состояния.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ И РЕАЛИЗАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. Испытательные установки и методики, созданные в результате выполненных исследований, рекомендованы дня использования журналом “Заводская лаборатория. Диагностика материалов”. В итоге проведенных исследований и опытно-конструкторских работ выполнены и переданы АО “Буммаш” г. Ижевска рабочие чертежи ручного и механизированного насосов, гидродомкрата высокого давления, Руководящий технический материал. Изготовлены опытные образцы указанных узлов гидрооснастки, которые прошли промышленные испытания и используются в АО “Буммаш” г. Ижевска.
Выполненные по тематике диссертации разработки соискателя используются аспирантами, а также в учебном процессе при организации НИРС, в курсовом и дипломном проектировании по специальностям: 2103 “Роботы и робототехнические системы”; 0718 “Мехатроника”.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях ИжГТУ (1989, 1990,
п
1992,1994, 1996, 1998 г г.), республиканских (УР) конференциях (1989, 1990 г г.), IX международной школе “Расчет и управление надежностью больших механических систем” (Геленджик, 1992 г.), международном симпозиуме по трибофатике (Гомель, 1993 г.), III всесоюзной конференции “Прочность материалов и конструкций” (Винница, 1991 г.), VIII международной конференции по механике разрушения (Киев, 1993 г.), международной конференции “Механика машиностроения” (Набережные Челны, 1995 г.), XIV конференции стран СНГ “Численные методы решения задач теории упругости и пластичности” (Волгоград, 1995 г.), международной конференции “Молодая наука - новому тысячелетию” (Набережные Челны, 1996 г.), II и III международных конференциях “Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности металлоконструкций и методы их решения” (Санкт-Петербург, 1997,1999 г г.).
Работа выполнялась при поддержке двух грантов (№ ГР 01930011057, № ГР 010900038397) и заказ-нарядов по госбюджетным темам за 1995 ... 1999 г г. Министерства общего и профессионального образования по фундаментальным проблемам механики машиностроения и АО “Буммаш” г. Ижевска (хоздоговорная тема № ГР 01880004668).
ПУБЛИКАЦИИ. Основное содержание диссертации отражено в 50 печатных работах, в том числе 18 статьях в журналах: “Проблемы прочности”, “Физико-химическая механика материалов”, “Проблемы машиностроения и надежности машин”, “Заводская лаборатория. Диагностика материалов”, “Известия ВУЗ. Машиностроение”, “Вестник машиностроения”, 11 публикациях в трудах международных конференций.
Теоретические и экспериментальные исследования, представленные в диссертационной работе, проведены в Отраслевой лаборатории проблем надежности бумагоделательного оборудования при кафедре “Основы машиноведения и робототехника” и Лаборатории малоцикловой термомеханической прочности ИжГТУ. Изучение опыта эксплуатации существую-
12
щих конструкций монтажно-демонтажной гидрооснастки проводилось на АО “БуммаиГ г. Ижевска во время производственной стажировки автора.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, 6 глав, основных результатов и выводов, списка литературы из 270 наименований. Объем работы 342 страницы машинописного текста, включая 84 рисунка и 34 таблицы.
В первой главе выполнен анализ статистических методов оценки прочности материалов и элементов конструкций, изложены модели подобия малоциклового деформирования эталонного и натурного элементов конструкции. Показано использование критериев и соотношений подобия для учета масштабного и поверхностного эффектов, конструктивной концентрации, совокупного влияния указанных факторов на малоцикловую несущую способность деталей машин.
Во второй главе описаны созданные оригинальные испытательные установки и методики для экспериментального изучения закономерностей малоциклового деформирования и разрушения материалов и модельных элементов.
В третьей главе изложены методы получения и аналитического описания диаграмм малоциклового упругопластического деформирования в интенсивностях напряжений и деформаций, результаты изучения закономерностей малоциклового деформирования материалов деталей гидрооснастки по данным испытаний на плоский изгиб и изгиб с вращением.
Четвертая глава посвящена разработке метода определения НДС в зонах концентрации. С этой целью предложен и экспериментально обоснован энергетический метод определения коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений и упругопластических деформаций в надрезах при однократном нагружении. Изложены результаты выполненных КЭ упругих решений для местных напряжений в зонах концентрации деталей нормированных типоразмеров гидрооснастки. Получены факторные интерполяционные модели для вычисления аналогичных величин в промежуточных
13
типоразмерах, использующихся при совершенствовании узлов гидрооснастки. Проведено развитие энергетического метода для определения местных трехмерных полей главных напряжений и упругопластических деформаций, энергий и их относительных градиентов при малоцикловом нагружении деталей гидрооснастки внутренним давлением.
В пятой главе изложены результаты экспериментального исследования малоцикловой прочности материалов монтажно-демонтажной гидрооснасгки. Получены и статистически обработаны кривые МЦУ в интенсивностях напряжений и упругопластических деформаций, энергиях в зависимости от долговечностей до образования трещины и окончательного разрушения. Выполнено экспериментальное и статистическое обоснование энергетических критериев малоцикловой прочности для материалов, конструктивных и модельных элементов гидрооснастки.
Шестая глава посвящена практическому использованию предложенных моделей малоциклового деформирования для оценки долговечности деталей. Приведен обзор методов моделирования в механике твердого деформируемого тела, выполнен факторный регрессионный анализ долговечностей до образования трещины и разрушения исследуемых материалов и конструктивных элементов, изложен метод прогнозного моделирования малоцикловой несущей способности деталей гидрооснастки по результатам испытаний моделей. Описаны результаты разработки, создания и промышленного использования опытных образцов ручного и механизированного насосов, гидродомкрата высокого давления.
Таким образом, в диссертации разработаны теоретические положения, заключающиеся в обосновании энергетической концепции малоциклового разрушения, выявлении закономерностей подобия малоциклового деформирования модели и детали, создании на этой основе методов оценки прочности элементов конструкций при малоцикловом нагружении, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии перспективного направления динамики и прочности машин.
14
1. МОДЕЛИ ПОДОБИЯ МАЛОЦИКЛОВОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОБРАЗЦА И ЭЛЕМЕНТА КОНСТРУКЦИИ
При расчетах на малоцикловую усталость возникает необходимость по результатам испытаний лабораторных образцов оценивать сопротивление малоцикловому разрушению натурных конструкций. В связи с этим в данной работе предлагаются энергетические модели подобия малоциклового деформирования лабораторного образца (или модельного элемента) и натурного элемента конструкции, которые устанавливают для них соответствие между эквивалентными по повреждаемости полями удельных энергий и, следовательно, циклических упругопластических деформаций и напряжений, учитывают влияние размеров и качества поверхности, позволяют оценивать несущую способность и долговечность деталей по результатам малоцикловых испытаний образцов. При разработке соотношений и критериев подобия принимались во внимание общие принципы подобия и размерности в механике [180] и методы моделирования применительно к вопросам прочности [191], учитывалась также статистическая природа малоциклового разрушения.
1.1. Анализ статистических подходов при оценке прочности материалов и
элементов конструкций
Характерной особенностью конструкционных материалов является неоднородность химического состава и строения. Так, например, в металлических материалах содержание легирующих элементов и примесей, размеры кристаллов, блоков и их ориентация, количество и распределение дефектов структуры, механические свойства имеют определенное рассеивание, другими словами, имеют статистическую природу, обладают признаками случайных величин и могут быть исследованы статистическими
15
методами. На постановку и развитие статистических методов при оценке прочности существенную роль оказали исследования А.П. Александрова и С.Н. Журкова, H.H. Афанасьева, ТА. Конторовой и Я.И. Френкеля, С Д. Волкова, С.В. Серенсена и В.П. Когаева, В.В. Болотина, Г.С. Писаренко и В.Т. Трощенко, В. Вейбулла, И. Фишера и И. Холломона, А. Фрейденталя и Б. Гумбеля, других ученых. Одной из первых работ в этом направлении является теория статической хрупкой прочности, предложенная А.П. Александровым и С.Н. Журковым при изучении прочности кварцевых нитей [4]. В основу теории положено понятие структурной неоднородности материала, под которой подразумевались трещины А. Гриффитса и другие дефекты. Характерно, что чем ярче выражена неоднородность, тем сильнее снижается прочность материала. Уменьшение размеров (в частности, площади поверхности) образца снижает вероятность наличия более опасных неоднородностей и приводит к увеличению среднего значения прочности. Последнее обстоятельство подтверждено авторами экспериментально при исследовании прочности кварцевых нитей в зависимости от их размеров. Для определения среднего значения предела прочности öB в зависимости от радиуса г сечения образца А.П. Александров и С.Н. Журков предложили эмпирическую зависимость [4]
ffB = c + —, (1.1)
г + с
где <7, Ъ, с - постоянные материала. Из формулы следует, что при увеличении размеров сечения образца среднее значение предела прочности материала снижается. Этот вывод теории подтверждается экспериментальными данными для широкого круга материалов. А.П. .Александров и С.Н. Журков первые высказали идею о статистической природе хрупкой прочности. Для инженерных приложений обсуждаемая теория [12] не используется.
16
ТА. Конторова и Я.И. Френкель предложили статистическую теорию хрупкой статической прочности реальных кристаллов [125]. В основу теории положены следующие предпосылки:
- прочность образца определяется самой опасной из содержащихся в нем неоднорностей;
- степень опасности конкретной неоднородности количественно характеризуется величиной хрупкой прочности öB, которой обладал бы образец, если бы источником его разрушения явилась данная неоднородность;
- плотность распределения величины хрупкой прочности имеет нормальный закон
Р(*в)=£еХр[-ф-ёв)>1 (1.2)
со средним значением ов и дисперсией 1/2а. В соответствии с этой теорией наиболее вероятное (50 %) значение хрупкой прочности образца объемом V равно
< = (1.3)
где В= а-1 lg(m/27i); Ш - среднее число неоднородностей (дефектов) в
единице объема материала. Необходимо отметить, что формула (1.3) по своей структуре имеет следующие недостатки. Для образца большого
объема V прогнозируемое значение хрупкой прочности <ув может быть равно нулю и даже отрицательным. Кроме этого, при очень маленьких значениях V эта формула предсказывает комплексное значение ов, содержащее мнимую величину. Указанные следствия теории ТА. Конторовой и Я.И. Френкеля противоречат физическому смыслу. Следует отметить, что эта теория имела существенное методологическое значение.
В. Вейбулл на основе феноменологического подхода разработал статистическую теорию прочности хрупких материалов [270, 32]. В основу теории положено предположение о том, что вероятность неразрушения
17
образца объемом V при напряжении а связана с вероятностью неразрушения Р0(а) отдельного элемента ("звена цепи", структурно-единичного объема) соотношением
1-Р(а)=[1-Р0(<т)]у. (1.4)
Из последнего соотношения можно получить
Р(сг)=1-ехр(-В), (1.5)
ще В = 1п[1-Р0(<т)] - риск разрушения (по терминологии В. Вейбулла).
Далее автор принимает, что риск разрушения зависит от характера распределения напряжений в рассматриваемом объеме
В=|п(а)<1У, (1.6)
ще п(ст) = (аг/сг0 )т - феноменологически выбираемая функция; т, ст0 -
параметры функции, другими словами, параметры распределения В. Вейбулла. В том случае, когда значения хрупкой прочности не могут бьггь меньше некоторой величины (У], В. Вейбулл принимает функцию п(а) в виде
Л
т
П(<т) =
а-ст ^ <у0
(1.7)
С учетом этого вероятность разрушения образца равна
Р(о) = 1-ехр
сг -а
У'' <*0 '
ау
при <т > (л , Р(с) = 0 при а < а . (1.8)
Для простого растяжения из последней формулы следует
Р(а)= 1-ехр
-V
а-су
т
(1.9)
а среднее значение хрупкой прочности зависит от объема и при Р (а) = 0,5 равно
18
( 1пО^>
I V )
;\ 1/Ш
О =(71 +
(1.10)
Аналогичным образом получаются значения хрупкой прочности для других условий нагружения. При соответствующим образом подобранных параметрах распределения т, <т0 и полученные В. Вейбуллом соотношения удовлетворительно описывают экспериментальные значения хрупкой прочности и соответствующие кривые частот для ряда хрупких материалов. Статистическая теория В. Вейбулла не потеряла своего значения до настоящего времени.
В работах Г.С. Писаренко и В.Т. Трощенко [165] предложена статистическая теория прочности пористых материалов. Основные предпосылки теории следующие:
- число пор (под которыми подразумеваются собственно поры, микротрещины, места разрыхления и другие несовершенства структуры) изменяется случайным образом от сечения к сечению;
- разрушение происходит по сечению, максимально ослабленному порами;
- в процессе нагружения пористость увеличивается.
Вероятность того, что в произвольном сечении образца, состоящем из п ячеек, будет находиться ш пор, авторы принимают в виде биноминального распределения
Практическая ценность обсуждаемой статистической теории [165] заключается в том, что авторы получили зависимости хрупкой прочности материалов от геометрии и количества пор, диаметра и длины образца. В отличие от установившегося в литературе мнения о том, что прочность структурно неоднородных материалов всегда снижается при увеличении площади сечения образца, авторы впервые показали существование обратной закономерности. В тех случаях, когда процесс разрушения связан с ослаблением сечения образца в результате возникновения и развития пор,
Р(т) = —^—г Рт(1 - РГт.
ало
19
прочность материала может повышаться с увеличением площади сечения. В работе [165] впервые сделан методологически важный вывод: зависимость прочности образца от его объема в общем случае имеет максимум при размерах, соизмеримых с размерами его структурных составляющих.
В теории И. Фишера и И. Холломона оценивается хрупкая прочность материала с трещинами в условиях сложного напряженного состояния [322]. Предполагается, что предельное состояние образца наступает тогда, когда напряжения в трещине длиной Ь достигают предельного значения. При этом критическое напряжение авторы определяют по формуле А. Гриффитса. Распределение трещин в материале описывается зависимостью
Р(Ь/Ь) = е'ь/к, (1.12)
где И - постоянная материала. Закон распределения вероятностей относительных критических напряжений ас принимается в виде
Р(а0) = 2а;3ехр(-ст;2). (1.13)
Здесь относительное критическое напряжение представляет собой отношение критических напряжений для трещин размерами Ь и Ь. На основе ряда аналитических выкладок авторы определяют для элемента материала, на который действуют главные напряжения с]9 о2 = сг3 = (ха1
(при а £ I) наиболее вероятные значения относительной прочности Рр (по
отношению к бездефектному материалу) для трех видов напряженного состояния (линейного растяжения - а = 0; всестороннего равномерного растяжения - а = 1; сочетания растяжения со сжатием в двух других направлениях - а = -1) в зависимости от количества трещин V (табл. 1.1). На основе этого И. Фишер и И. Холломон делают практически важный вывод о том, что относительная прочность материала существенно зависит от вида напряженного состояния лишь при сравнительно малом числе дефектов.
Упомянутые выше статистические теории предложены для оценки в первую очередь статической прочности материалов. Проанализируем
20
Таблица 1.1
Зависимость относительной хрупкой прочности материала от количества трещин и вида напряженного состояния
V ßp ßP(a= О/ Рр(а = 0) Рр(а = -1)/ Рр(а = 0)
а = 0 а = 1 а = - 1
1Q20 — 0,1473 — —
1016 0,1767 0,1647 0,1787 0,932 1,011
10“ 0,1905 0,1761 0,1928 0,924 1,012
1012 0,2080 0,1962 0,2109 0,914 1,014
101° 0,2312 0,2081 0,2352 0,900 1,017
108 0,2637 0,2325 0,2697 0,882 1,023
106 0,3140 0,2679 0,3243 0,853 1,033
104 0,4055 0,3265 — 0,895 —
102 0,6363 0,4490 — 0,706 —
10 1,000 0,5852 — 0,590 —
1 — 0,8165 — — —
статистические теории усталостного разрушения металлов. Наиболее известной из них является теория H.H. Афанасьева [14]. Усталостное разрушение в этой теории рассматривается как результат образования, развития и последующего объединения микротрещин в наиболее напряженных поликристаллах (зернах). Отличительной особенностью теории H.H. Афанасьева является то, что структурная неоднородность материала учитывается не формальным использованием того или иного вероятностного закона ее распределения или проявления, как это делается в большинстве других статистических подходов, а по диаграмме упругопластического деформирования, физически обоснованно характеризующей степень неоднородности материала. Автор разработал
21
метод, позволяющий получать частотные кривые распределения деформаций по зернам поликристалла. При этом постулировалось, что все зерна в направлении действия силы имеют одинаковые пределы текучести, но различно напряжены. Неоднородность НДС зерен H.H. Афанасьев задавал в виде функции распределения
y=f(<rx), (1.14)
где ох = Еех - приведенное напряжение в предположении упругого деформирования; Е - модуль упругости; ех - относительная деформация зерна в направлении действия силы. Принималось, что при ах = О y=f(0)=0, а при ах ->оо значение y = f(co)-»oo. С учетом этого средние значения приведенного напряжения и деформации образца записываются
СО 00
ö = J(7xf(«rx)dax, ё = Jexf(ex)dex , (1.15)
О о
где f(ex) = ax/E. Среднее значение действительного напряжения,
соответствующего средней деформации ё , для материала без упрочнения равно
<ыб>
и
где от - предел текучести. Последнее соотношение представляет собой
уравнение диаграммы растяжения образца в некотором масштабе по оси деформаций, поскольку ох = Бех. Дифференцируя дважды зависимость
(1.16), после преобразований можно получить
__Ее3 j2
V (У /
Отсюда видно, что плотность вероятности распределения деформаций по зернам определяется второй производной от кривой растяжения.
H.H. Афанасьев принимает в качестве критерия разрушения нарушение сплошности в п рядом лежащих зернах. Если в объеме V имеется
-К^г- О-17)
<7Z dez
L зерен, то количество блоков по п зерен будет равно L/n. Количество зерен, имеющих относительные напряжения выше сопротивления отрыву SOT = SOT/ô , автор представляет в таком виде
Количество агрегатов по п зерен, напряженных таким образом, будет равно т/п. Вероятность нахождения рядом п зерен из числа ш определяется по формуле
Условие разрушения для волокнистых (прокатанных) металлов, когда переход от одного сечения к другому не приводит к новой комбинации дефектов, записывается в виде
где - предел усталости при симметричном цикле растяжения - сжатия; F -площадь поперечного сечения; D, а - постоянные.
В соответствии с теорией H.H. Афанасьева отношение пределов усталости образца прямоугольного сечения при изгибе и растяжении -сжатии равно
При изгибе с вращением образца круглого сечения аналогичное отношение равно
Две последние формулы, следующие из теории H.H. Афанасьева, качественно соответствуют экспериментальным данным. Вместе с тем, вытекающий из условия прочности (1.20) вывод о том, что при увеличении
(1.18)
(1.19)
(1.20)
(1.21)
^а = °^1+0,5ап<^
(1.22)
23
площади сечения образца предел усталости при растяжении - сжатии должен уменьшаться, в ряде случаев не подтверждается экспериментально. Одной из причин этого является то обстоятельство, что в условиях растяжения -сжатия критический объем материала, где масштабный фактор принимает максимальное значение, существенно меньше объема образца стандартных размеров. Другими словами, обычно используемые стандартный и заданных размеров образцы находятся далеко на ниспадающей ветви кривой масштабного фактора. В условиях неоднородного напряженного состояния (изгиб, растяжение - сжатие при наличии концентрации) при тех же размерах стандартного образца его опасно напрягаемый объем существенно меньше, поэтому масштабный эффект проявляется в этих экспериментах более контрастно. Несмотря на отмеченные недостатки, статистическая теория H.H. Афанасьева сыграла значительную роль в понимании природы усталостного разрушения металлов и сохраняет свое значение до настоящего времени.
В работе И. Полака и М. Клеснила [26IJ развивается теория H.H. Афанасьева и дается статистическая интерпретация петли упругопласгического гистерезиса для структурно неоднородной среды. Авторы сопоставили прогнозируемые на основе статистической теории и экспериментально наблюдаемые петли гистерезиса. При регистрации петли гистерезиса в полуцикле использовалось около 2000 пар значений напряжений и упругопластических деформаций. Эта информация вводилась в ЭВМ и вычислялись вторые производные, характеризующие функцию плотности вероятности распределения напряжений элементарных объемов для различных амплитуд пластических деформаций. Показано, что статистическая интерпретация петли гистерезиса позволяет экспериментально определить параметры функций распределения статистической теории.
С Д. Волков развил статистический подход для определения предельных поверхностей пластичности, хрупкого и усталостного
24
разрушений и оценки масштабного эффекта в указанных случаях [35]. Автор исходит из следующих предпосылок:
- макрообъем № содержит бесконечно большое число элементов V;
- среда макрооднородна в масштабе объема
- компоненты тензора микронапряжений распределены по нормальному закону;
- разрушение некоторого достаточно малого количества элементов V объема W не изменяет плотности распределения микронапряжений.
Автор [35] считает материал макропластически деформированным (или разрушенным), когда вероятность пластического деформирования (или разрушения) микроэлементов V в объеме № достигнет критического
значения
где 8р - разрушающее напряжение элемента V в объеме W; Ь, к, А -
постоянные. Статистическое условие пластичности для вероятностей Р = 0,5 С Д. Волков получает в виде
где х8" некоторая постоянная; сгт - предел текучести; <х1э <т2, сг3 - главные напряжения. Соотношение (1.25) в частных случаях превращается в третью и четвертую гипотезы прочности и обладает широкими возможностями. Так, например, полагая х8 = 3,14 и р = 0,3, из условия пластичности (1.25) следует отношение предела текучести при чистом сдвиге хт и растяжении <ут равным 0,577, что совпадает с аналогичным результатом по четвертой гипотезе прочности. При Хв = 1 и р = 0,3 из (1.25) вытекает известное из
третьей гипотезы прочности отношение хт/от = 0,5. Для материалов
(1.23)
и определяется верхним пределом интегрирования
(1.24)
25
(закаленные и стареющие алюминиевые сплавы и др.) экспериментальное значение отношения хт/ат = 0,4. Этот же результат получается из условия
пластичности (1.25) при х8 = ^>5 и р, = 0,3.
Для вероятности Р = 0,5 уравнение предельной поверхности хрупкого разрушения С Д. Волков получает в таком виде
= (|.26)
где Яр - разрушающее напряжение; с{ - интенсивность напряжений; о -
среднее напряжение; О, К - модуль сдвига и объемный модуль упругости; %-постоянная. Статистическое условие хрупкого разрушения (1.26) содержит два параметра (II, %) и лучше описывает экспериментальные результаты, чем первая и вторая теории прочности.
Применительно к циклическому однородному нагружению С Д. Волков рекомендует условие прочности в таком виде
ВОч*< 1, (1.27)
где О - объем образца; В, п - постоянные материала. Связывая вероятность разрушения q с характеристикой усталостной прочности линейной
зависимостью
Я = Сок, (1.28)
автор получает условие усталостного разрушения
ВО (Ссгя)п = 1, (1.29)
где - предел усталости материала, С - константа. Из последней формулы
видно, что с увеличением объема образца его усталостная прочность снижается. Следует отметить, что статистическая теория С Д. Волкова имеет большое методологическое значение, однако, применительно к усталостной прочности не получила должной детализации и в инженерных расчетах используется сравнительно редко.
26
В статистической теории А. Фрейденталя и Е. Гумбеля [234] неоднородность механических свойств материала предлагается учитывать выбором соответствующего закона распределения прочности отдельных элементов. Предполагается, что в результате изменения структуры материала напряжение ап, действующее на элемент, изменяется по числу
нагружений п. Разрушение элемента наступает тоща, когда напряжение сгп превысит характеристику прочности ств. На основе указанных
предположений авторы [234] представляют вероятность разрушения следующим образом
(1-зо)
О
где ^](^п) - закон распределения напряжений по элементам; Г2(<тв) - закон
распределения прочности элементов.
В качестве условия прочности образца А. Фрейденталь и Е. Гумбель принимают некоторый "допуск" на разрушение V его элементов (связей). С учетом этого вероятность разрушения образца после п циклов представляется в таком виде
Р(ап)=1-[1-Р(ап)]УП. (1.31)
Из последнего соотношения следует методологически важный вывод о том, что вероятность разрушения при фиксированном значении напряжений увеличивается с ростом числа нагружений п. По структуре формула (1.31) совпадает с аналогичными соотношениями ряда статистических теорий прочности (Т.А. Конторовой и Я.И. Френкеля, В. Вейбулла и других ученых). Теория А. Фрейденталя и Е. Гумбеля не используется в инженерных расчетах вследствие того, что она чрезмерно схематична и не учитывает ряда существенных сторон усталостного разрушения.
В.Т. Трощенко и Л А. Сосновским предложена статистическая теория усталостной прочности для объемного напряженного состояния [195]. Авторы постулируют, что причиной усталостного разрушения является
27
наличие в сечении образца, перпендикулярном одному из главных напряжений, трещины критических размеров. Возникновения трещин в главных плоскостях предполагаютя независимыми событиями. Вероятность разрушения Р123 при трехосном напряженном состоянии оценивается через вероятность разрушения Р,, Р2, Р3 при раздельном действии главных напряжений <т2, °з следующим образом
Рш = Р, + Р2 + Р3 - Р,Р2 - Р2Р3- Р3Р, + Р,Р2Р3. (1.32)
При этом кривые распределения вероятностей разрушения по плоскостям
действия главных напряжений для анизотропного материала могут быть различными. За критерий усталостного разрушения при объемном напряженном состоянии принимается вероятность разрушения Р123. В соответствии с этим два напряженных состояния принимаются
равноопасными (эквивалентными), если их вероятности разрушения равны. Если обозначить вероятности разрушения Р1 = х, Р2 = Р3 = у и Р123 = г, то
уравнение предельной поверхности разрушения авторы получают в таком виде
г= х+ 2у-2ху-у2 -ху2 приу<х, (1.33)
где 0 < х, у, ъ < 1. Из этой теории следует, что в условиях сложного напряженного состояния вероятность разрушения увеличивается по сравнению с линейным напряженным состоянием. Особенно существенно возрастает вероятность разрушения при переходе от линейного к плоскому напряженному состоянию. Авторы показали соответствие статистической теории экспериментальным данным, полученным при усталостных испытаниях гладких образцов [195].
В работах В.В. Болотина [26, 24] впервые было предложено рассматривать усталостное разрушение как случайный марковский процесс. При таком подходе вероятностные характеристики механической системы (поликристаллического материала, детали, конструкции) к концу п - го цикла нагружения выражаются через аналогичные характеристики (п - 1) -
28
го цикла и характеристики нагрузки п - го цикла. Поликристаллический материал рассматривается состоящим из множества элементов, механические характеристики которых предполагаются случайными величинами. При циклической нагрузке определенной величины в ряде элементов может происходить упрочнение. Если при этом локальные напряжения достигнут сопротивления отрыву, то произойдет разрушение элемента. При более низком значении циклической нагрузки процесс упрочнения элементов протекает менее интенсивно, наступает упругопластическая приспособляемость и поликристаллический материал не разрушается при бесконечно большом числе нагружений.
В.В. Болотин [26] принимает, что механическое состояние каждого элемента характеризуется случайными величинами , ц2 ... Состояние
поликристаллического материала в целом после п циклов нагружения будет определено, если к этому моменту времени будет известна совместная плотность вероятности РП(Я1, q1 ... чт) параметров состояния. Плотности вероятности для (п + 1) - го и п - го нагружений связываются между собой соотношением
где Р(Ч1,Ч2—'Ят/г1>г2 —Тт>°п+\) “ ЯДР° ФУНКЦИИ СОСТОЯНИЯ,
характеризующееся распределением вероятностей перехода от (п - 1) - го к п - му циклу и величиной напряжений (п + 1) - го цикла оп+1. Уравнение
кинетического типа (1.34) имеет широкие потенциальные возможности для описания процессов накопления усталостных повреждений. Конкретная реализация этого уравнения зависит от структуры ядра функции состояния. Например, для оценки усталостного повреждения можно записать
^п+1(Я.1»Я2*"Ят)— ^(Я1*Я2"*Ят/*1**2 >^п+1 )*
(1.34)
0=|Р(0;о)с1п.
(135)
П
29
Сопротивление разрушению при неоднородном напряженном состоянии
В.В. Болотин предлагает определять по формуле [26]
распределения; V - объем материала; х, у, z - координаты. Статистическая теория прочности В.В. Болотина отличается широтой охвата процессов разрушения, обладает большими потенциальными возможностями и используется в расчетах на прочность, в первую очередь, конструкций из структурно неоднородных материалов.
С.В. Серенсен и В.П. Когаев [183, 119] в развитие изложенных выше подходов В. Вейбулла и H.H. Афанасьева предложили статистическую теорию подобия усталостного разрушения, которая устанавливает соответствие между пределами усталости стандартного образца и элемента конструкции и функциями их распределения. В основу теории подобия положена гипотеза “наиболее слабого звена". Как и в других статистических теориях предполагается, что разрушения единичных объемов V0 и
отдельных зерен объемом AVj (AVj » VQ) являются независимыми
событиями. Вероятность разрушения единичного объема V0, нагруженного
напряжением а* и входящего в объем AVj, предполагается распределенной
по закону В. Вейбулла
о
(1.36)
Здесь S0, Sc, а - параметры
\ m
при ai £ u, Рп (a j ) = 0 при cji < u, (1.37)
где и, а0, т - характеристики распределения. Аналогичным образом
представляется вероятность разрушения детали при неоднородном напряженном состоянии
30
P(<W) = 1"exP - J
„ V
f amœf(x,y,z)-иГ dV
при <7ma[f(x,y,z) > u,
Vo
= 0 "PH tfmaxf(X,y,z) < U.
(1.38)
Здесь атах - максимальное напряжение; <утахГ(х,у,г) - напряжение в
текущей точке с координатами х, у, г; Уи - часть объема детали, в которой
атах((Хуууг) £ и. Поскольку разрушение локализуется в опасном сечении
детали, то в дальнейшем авторы интегрируют не по объему, а по площади опасного сечения и представляют интеграл соотношения (1.38) в виде
где Р0 - площадь сечения единичного объема; Ри - часть площади опасного
сечения, где <ттахГ(х,у) > и. Соотношение (1.39) представляет в общем виде
функцию распределения предела выносливости детали. При циклическом растяжении - сжатии бруса прямоугольного сечения с двумя боковыми V -образными надрезами это соотношение конкретизируется в таком виде
где Ç=tfma3C/u; L - длина наиболее напряженных участков в вершинах
надреза; G - относительный градиент напряжений в вершине надреза. Площадь единичного объема F0 принимается равной 1 мм2. Множитель
L/G соотношения (1.40) авторы [183, 119] называют критерием подобия усталостного разрушения. Суть подобия заключается в том, что если образец и реальная деталь имеют различные относительные размеры, но одинаковые значения L/G в опасном сечении, то функции распределения пределов выносливости, выраженные в местных напряжениях, совпадают. Статистическая теория С.В. Серенсена и В.П. Когаева учитывает влияние концентрации напряжений и размеров на предел выносливости детали. Она
(1.39)
(1.40)
31
получила широкое распространение в инженерной практике, явилась предпосылкой для создания обоснованных методов расчета деталей машин на усталость [119]. На ее основе разработан ГОСТ 25.504-82 по методам определения характеристик прочности материалов при многоцикловой усталости. Вместе с тем, обсуждаемая теория подобия имеет то ограничение, что в качестве эталонного напряженного состояния при определении циклической прочности материала используется только изгиб с вращением. В условиях циклического растяжения-сжатия гладкого образца относительный градиент напряжения U =0, плоского изгиба образца круглого сечения L = 0, поэтому используемый в этой теории критерий подобия L/G теряет определенность.
Перспективными представляются статистические подходы при оценке прочности материалов и несущей способности элементов конструкций при малоцикловой усталости. Однако, систематических исследований в этом направлении крайне недостаточно. В связи с этим представляются актуальными в научном и важными в практическом отношениях работы, направленные на исследование закономерностей подобия малоциклового разрушения с целью разработки методов оценки несущей способности элементов конструкций по соответствующим характеристикам материала.
1.2. Модели подобия малоциклового деформирования
К настоящему времени сложилась широко распространенная точка зрения, что при оценке малоциклового усталостного повреждения предпочтительным является деформационный подход [60, 182], когда в качестве физического критерия разрушения используется величина пластической или полной деформации. Вместе с тем установлено [183, 188], что малоцикловое квазистатическое повреждение лучше описывается с силовых позиций, когда в качестве определяющего критерия используется напряжение. В работах [3 - 7, 62 - 100] в качестве критерия разрушения обосновывается
32
удельная энергия упругопластического деформирования. Это обусловлено следующими обстоятельствами. Удельная упругопластическая энергия является интегральной характеристикой НДС и, следовательно, может с единых позиций описывать накопление как усталостных, так и квазистатических повреждений. Далее, малоцикловое разрушение высокопрочных материалов может происходить и при упругих деформациях. Оценка в таких случаях малоциклового повреждения по величине пластической деформации становится невозможной. В отличие от этого энергия упругопластической деформации однозначно характеризует повреждение и разрушение материала во всем возможном диапазоне долговечностей - от однократного нагружения до области неограниченной долговечности. Это крайне важно при оценке повреждаемости элементов конструкций от эксплуатационного спектра нагрузок. Следует иметь в виду, что для малоциклового нагружения характерна кинетика напряжений, упругопластических деформаций и их градиентов по числу нагружений [86]. В связи с этим даже стационарное внешним образом (по нагрузкам или перемещениям) малоцикловое нагружение является нестационарным внутренним образом (по напряжениям или деформациям). Это существенно осложняет оценку накопления повреждений. Вместе с этим, установлено [7, 86], что в отличие от местных напряжений и упругопластических деформаций распределение местных энергий и их градиентов в зонах концентрации элементов конструкций остается практически неизменным как при переходе от упругого к пластическому деформированию, так и по мере накопления числа циклов. Эго особенно важно учитывать при решении соответствующих краевых задач, а также при оценке повреждаемости элементов конструкций. При энергетическом подходе малоцикловое нагружение, стационарное или нестационарное внешним образом, является в такой же мере стационарным или нестационарным внутренним образом по предлагаемому физическому критерию прочности. Предлагаемый энергетический подход обладает более широкими