Формирование самовоспроизводящихся лазерных пучков на основе применения дифракционных оптических элементов, согласованных с композицией мод

оглавление:
2
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ..................................................5
ВВЕДЕНИЕ...........................................................6
1. РАСЧЕТ ФАЗОВЫХ ДОЭ МЕТОДОМ КОМПОЗИТ\Ш..........................19
1.1. Многомодовые световые поля с различными свойствами самовоспроизведения.............................................19
1.1.1. Самовоспроизведение как инвариантность к действию различных операторов...........................................20
1.1.2. Периодическое самовоспроизведение и вращение при распространении в однородной среде.............................28
1.2. Метод композиции в расчете фазовых ДОЭ....................37
1.3. Итеративные алгоритмы расчета фазовых ДОЭ, модифицированные для метода композиций...................................44
1.3.1. Алгоритм уменьшения ошибки...........................45
1.3.2. Адаптивно-аддитивный алгоритм........................49
1.3.3. Адаптивно-регуляризационный алгоритм.................52
1.3.4. Градиентный алгоритм.................................55
Выводы............................................................57
2. ЭФФЕКТИВНЫЕ МЕТОДЫ КОДИРОВАНИЯ ФАЗОВЫХ ДОЭ 59
2.1. Метод знаковой функции с оптимизацией апертуры.............59
2.1.1. Расчет ДОЭ, формирующих моды ГЭ......................64
2.1.2. Расчет ДОЭ, формирующих обобщенные моды ГЛ...........82
2.1.3. Эксперимент..........................................86
2.2. Быстрый радиальный расчет ДОЭ, формирующих обобщенные моды ГЛ, методом введения дополнительной области.............91
2.3. Метод частичного кодирования...............................98
2.3.1. Кодирование амплитуды с помощью локального скачка фазы 99
3
2.3.2 Расчет кодированных фазовых бинарных и многоуровневых ДОЭ, формирующих моды ГЭ..................................102
2.3.3. Эксперимент........................................108
2.3.4. Кодирование без увеличения размера маски...........110
Выводы.........................................................112
3. РАСЧЕТ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДОЭ, ФОРМИРУЮЩИХ САМОВОСПРОИЗВОДЯЩИЕСЯ МНОГОМОДОВЫЕ ЛАЗЕРНЫЕ ПУЧКИ В НУЛЕВОМ ПОРЯДКЕ........................114
3.1. ДОЭ для формирования многомодовых бездифракционных пучков.........................................................114
3.1.1. Пучки Бесселя с продольной периодичностью..........115
3.1.2. Вращающиеся пучки Бесселя.........................125
3.1.3. Инвариантные к распространению пучки Бесселя.......132
3.1.4. Формирование бездифракционных изображений..........134
3.2. ДОЭ для формирования многомодовых гауссовых пучков.140
3.2.1. Вращающиеся многомодовые пучки ГЛ..................141
3.2.2. Самовоспроизведение многомодовых пучков ГЭ.........151
3.2.3. Формирование самовоспроизводящнхся изображений с помощью гауссовых мод.......................................158
3.3. Прохождение световых полей, согласованных со сфероидальными функциями, через оптические системы.........................171
3.3.1. Свойства ВСВФ, используемые в дифракционной оптике 172
3.3.2. Формирование устойчивых к диафрагмированию изображений.....................................................178
3.4. Краткий анализ условий самовоспроизведения многомодовых лазерных пучков...............................................184
Выводы..........................................................185
4. РАСЧЕТ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОКАНАЛЬНЫХ ДОЭ, СОГЛАСОВАННЫХ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ...................................................186
4
4.1. Одновременное формирование нескольких самовоспроизводя-щихся лазерных пучков в различных дифракционных порядках.....187
4.1.1. Одномодовые пучки в разных дифракционных порядках....189
4.1.2. Многомодовые пучки в разных дифракционных порядках...196
4.2. Разложение световых полей по базисам, инвариантным к повороту...........................................................200
4.2.1. Селекция модГЛ.......................................202
4.2.2. Обнаружение угловых гармоник и измерение орбитального углового момента............................................209
4.2.3. Анализ волнового фронта с помощью функций Цернике....225
4.3. Разложение световььч полей по другим базисам...............236
4.3.1. Оптимальный базис Карунена-Лоэва.....................237
4.3.2. Базис сфероидальных функций..........................244
4.3.3. Базис ГЭ.............................................250
4.3.4. Базис Адамара........................................253
4.4. Формирование изображений с помощью ДОЭ, согласованных с ортогональными функциями.....................................257
4.4.1. ДОЭ, фокусирующие в контур из отрезков...............260
4.4.2. ДОЭ для формирования нескольких изображений, состоящих из точек.........................................264
Выводы.............................................................265
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.........................................................267
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ..................................................270
ПРИЛОЖЕНИЕ I. Расчет ДОЭ, фокусирующих в объемные фигуры 299
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Расчет ДОЭ, фокусирующих в набор концентрических колец.........................................................310
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Расчет ДОЭ с квантованной фазой методом композиций................................................................313
5
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ
алгоритм ГС - алгоритм Гсрчберга-Сакстона
ВСВФ - вытянутые сфероидальные волновые функции
ДОЭ - дифракционный оптический элемент
МДО - метод диффузии ошибки
МНР - метод наименьших расстоянии
моды ГЛ - моды Гаусса-Лагерра
моды ГЭ - моды Гаусса-Эрмита
ПМС - пространственный модулятор света
ПСК - метод псевдослучайного кодирования
РКЛ - разложение Карунена-Лоэва
СФ - сфероидальные функции
ФКП - функция комплексного пропускания
6
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация гюсвяшена разработке методов расчета и экспериментальному исследованию дифракционных оптических элементов, формирующих многомодовые самовоспронзводящиеся лазерные пучки.
Актуальность темы.
Последнее время повышенное внимание исследователей привлекают многомодовые пучки. Такие поля могут проявлять особые, не присущие отдельным модам свойства самовоспроизведения. Например, периодическое повторение поперечного распределения интенсивности на определенных расстояниях вдоль оптической оси /94*, 102*, 122, 151, 201, 246*, 274, 316/, вращение картины поперечного сечения пучка при его распространении /7, 51*, 52% 58*, 94*, 115, 129, 194, 216*, 221% 246*, 276*, 280, 296, 315, 300/. Также многомодовые пучки могут обладать инвариантными свойствами одномодовых пучков, т.е. сохранять свою структуру при распространении в пространстве /4*, 5, 104*, 214*, 233*, 235*/. Кроме того, существенно многомодовый характер пучка можно использовать для формирования в его поперечном сечении изображения некоторой заданной формы, придавая участвующим в пучке модам определенные веса /51 *, 94*, 234*, 246*/.
Формирование одной или нескольких заданных мод методами традиционной оптики, как правило, вызывает значительные трудности. Так, генерация Бесселевого пучка нулевого порядка с помощью узкой круговой щели /164, 274/ или выделение из лазерного излучения нулевой гауссовой моды /82,266/ сопровождается значительными потерями мощности. Тот же недостаток имеют амплитудные голограммы /129, 280, 296/ и экраны с набором отверстий /151/, которые применялись для генерации самовоспроизводящнхся полей. Для формирования мод высоких порядков, а также многомодовых пучков с определенными свойствами, требуются сложные оптические приборы,
• здесь и далее з вел дом «ой отмечены работы автора
например, диафрагмы с газовыми ячейками, Повторяющими форму нулей амплитуды мод /134/, интерферометры Фабри-Перо /201, 315/, резонаторы и астигматическая оптика /115,133, 278, 300/.
Появление дифракционных оптических элементов (ДОЭ), синтезированных на компьютере, позволяет решать широкий класс ранее нерешенных оптических задач. В работах А.М. Прохорова, И.Н. Сисакяна, В.А. Сойфера, М.А. Голуба /25, 26, 71, 308/ было предложено синтезировать оптические элементы - "моданы", формирующие и селектирующие отдельные моды лазерного излучения. Похожая постановка задачи содержалась в работе АЖ ЬоНтапп, О.К.Огаи с соавторами /128/. Решаемая в диссертации задача формирования многомодовых лазерных пучков с заданными свойствами самовоспроизведения требует разработки соответствующих методов и алгоритмов расчета фазовых ДОЭ.
На данный момент хорошо изучены условия повторения косинусоидальных многомодовых полей /122, 289, 316, 326/ и получено условие вращения многомодовых пучков ГЛ /115/. Остается актуальной задача получения аналогичных условий для различных типов многомодовых световых нолей, с целью приобретения ими определенных свойств самовоспроизведения. При этом важно, чтобы условия эти имели простую зависимость (например, от номеров мод) и явно включали в себя такие характеристики, как величина периода повторения, скорость вращения. Это также является предметом исследований диссертации.
Таким образом, при генерации лазерных многомодовых пучков актуальными являются задачи:
- формирование в поперечном сечении пучка заданного амплитуднофазового распределения на основе произвольного варьирования модового состава и весового вклада каждой из мод (разработка методов расчета фазовых ДОЭ, согласованных с линейной комбинацией конечного числа мод с заданными весами);
8
- создание пучков с заданными свойствами самовоспроизведения при распространении вдоль оптической оси (получение условий, обеспечивающих наличие этих свойств).
С задачей генерации световых полей тесно связана задача их спектрального анализа - разложения по некоторому ортогональному базису. Если спектральное разложение Фурье можно выполнять с помощью сферической линзы, то для других базисов в классической оптике не существует соответствующих приборов. Создание ДОЭ, выполняющих разложение по заданным ортогональным функциям, является актуальной задачей. Так, при оптическом анализе световых полей часто используются базисы Уолша, Карунена-Лоэва, Церннкс, угловых гармоник, сфероидальных функций /7, 8, 10*, 15, 30, 92*, 105, 126, 132, 136-138, 152. 171, 203, 208*, 247*, 251, 252, 285, 292, 309*, 336/. В работах /25, 26, 71, 308/ обсуждается селекция лазерных мод с помощью многоканальных оптических элементов, в которых разделение каналов осуществляется с помощью добавления различных несущих просгранствсн-ных частот. Этот подход можно обобщить для решения задач одномоментного оптического вычисления нескольких коэффициентов разложения световых полей по выбранному базису.
Применение многоканальных фазовых ДОЭ является также перспективным в задачах фокусировки. В работе /155/ было предложено для маркировки деталей использовать фокусировку лазерного света в буквы с помощью фокусаторов, состоящих из нсиерссекающихся субапертур, каждая из которых фокусирует свет в отдельный элемент буквы. Такое разбиение на субапертуры приводит к уширению элементов букв и к уменьшению плотности световой энергии. Т.о. является актуальной задача расчета полноапертур-ных фазовых ДОЭ, фокусирующих в изображения, состоящие из непересе-кающихся, и следовательно, ортогональных, элементов.
Решать поставленные задачи формирования и анализа лазерных пучков предлагается на основе применения фазовых ДОЭ /66*, 308, 311/, представляющих собой пропускающие или отражающие пластинки, работающие на
9
основе дифракции света на тонком фазовом микрорельефе. Наиболее хорошо разработаны итеративные /53", 167, 178, 232*, 243/ методы расчета фазовых ДОЭ, фокусирующих падающее излучение в некоторую область в Фурье-или Фрснсль-плоскости, основанные на разложении но плоским волнам или параболическим волнам, соответственно. Однако, при генерации многомодовых пучков логично использовать представление фазовой функции ДОЭ в виде разложения не но базису плоских или параболических волн, а по базису возбуждаемых мод. Это является ключевой и обобщающей идеей диссертации.
При таком подходе возникает задача разработки модифицированных итерационных алгоритмов, сочетающих преимущества известных итерационных методов и нового представления фазовой функции в виде композиции ортогональных функций.
Итеративные методы, как правило, обеспечивают высокую дифракционную эффективность ДОЭ: 70-90%. Однако, из-за неудачного начального приближения и последующей стагнации, желаемая точность формирования заданного поля может быть не достигнута. Высокую точность можно получить, используя методы кодирования цифровой голографии. Однако, эффективность в этом случае будет существенно ниже: для амплитудных бинарных голограмм Ломана, Ли, Бэркхардта/142, 256, 268/ около 10%, для метода несущих /227/ - 30-40%. Эго делает актуальным разработку методов кодирования ДОЭ с повышенной дифракционной эффективностью, а также методов, позволяющих варьировать параметры ДОЭ (точность формирования и эффективность) в широких пределах.
Методы изготовления ДОЭ являются относительно новыми и дорогостоящими. В силу чего в большинстве работ вопрос экспериментальной апробации синтезированных ДОЭ остается открытым. Поэтому экспериментальное подтверждение теоретических результатов также является актуальной задачей.
10
Краткий аназиз методов расчета Фазовых ДОЭ.
Фазовые ДОЗ осуществляют требуемые преобразования волновых полей теоретически без потерн световой энергии (практическая дифракционная эффективность 60-95%). Действие фазового ДОЭ в приближении тонкой оптики сводится к определенному набегу фазы падающего излучения в каждой точке области ДОЭ. Затем, после прохождения некоторого расстояния, фазовые изменения проявляются в изменениях амплитуды падающего света.
Качество расчета и изготовления ДОЭ характеризуется степенью отличия сформированного распределения света от заданного и величиной световой энергии, идущей на формирование этого распределения. Для задач обработки информации, в которых требуется высокая точность формирования волновых фронтов или распределений интенсивности, основной характеристикой качества ДОЭ является ошибка отклонения. А для задач обработки материалов мощным лазерным излучением требуется высокая степень концентрации энергии в области заданного изображения. Для таких задач требуются фазовые ДОЭ, обладающие высокой энергетической эффективностью. Поэтому различаются и методы, с помощью которых рассчитываются соответствующие ДОЭ: для задач оптической обработки информации используются, как правило, методы кодирования цифровых голограмм /142, 146, 180, 227, 256, 258, 264, 268/, а для задач лазерной технологии используются итеративные методы расчета киноформов /53*, 84, 167, 168, 178, 232*, 330/ или геометрооптические методы расчета фокусаторов /23, 32-36, 153, 182,299/.
Геометрооптический метод основан на аналитическом решении дифференциального уравнения эйконала и построении хода лучей от точек поверхности ДОЭ к точкам -заданного изображения. В этом случае фазовая функция ДОЭ имеет регулярную зонную структуру. Однако аналитическое решение можно получить только для узкого круга задач.
На первых шагах развития цифровой голографии задача синтеза фазового ДОЭ решалась обращением линейного интегрального преобразования
11
Френеля или Фурье /141/ с дальнейшим приведением амплитудно-фазовой функции в только фазовую. Для осуществления последнего этапа использовались: метод кодирования бинарных амплитудных голограмм Ломана /140, 268/, метод Ли /257/, метод дополнительных элементов /147/ и т.д. Определенным обобщением методов кодирования является метод фазовой несущей Кирка-Джонса /227/, который позволяет по амплитудно-фазовой функции рассчитать фазовый ДОЭ с высокой точностью и эффективностью 30-40%.
Для повышения дифракционной эффективности (70-90%) кодирование осуществляется последовательно в ходе итеративного решения интегрального уравнения. Итеративные методы были предложены в работах Хирша, Джордана, Лезема /196/ и Герчбсрга, Сакстона /178/. Алгоритм Герчберга-Сакстона (ГС) дает базовое решение задачи синтеза фазовых ДОЭ и получил свое дальнейшее развитие в целом ряде последующих работ: приведено
і
доказательство сходимости /172, 265/, разработано параметрическое обобщение /146, 167, 170/, показана связь с градиентными методами /168/.
Наличие параметра (или шага) в итеративном алгоритме позволяет регулировать скорость сходимости и бороться с процессом стагнации, присущем алгоритму ГС. В работах Брингдала и Выровского для расчета ДОЭ развит итеративный алгоритм диффузии ошибки /324, 325, 331/ и предложена итеративная процедура квантования фазы ДОЭ /139,328/. В работах Сойфера и Котляра разработана адаптивная модернизация алгоритма ГС /242, 243, 311/, которая применена для расчета радиальных ДОЭ /55*, 156*, 215*, 219*/ и для итеративного расчета фазовых формирователей мод Бесселя /207*, 214*, 234*/, гауссовых мод/68*. 100*, 206, 244/. пространственных фильтров для оптического разложения но ортогональному базису /100*, 238*, 244, 247*/ и восстановлению волнового фронта /241 */.
Резюмируя, подчеркнем, что процесс активной разработки и применения новых алгоритмов расчета ДОЭ продолжается в работах отечественных и зарубежных авторов. Представляется перспективным их использование в модифицированном виде для расчета ДОЭ, формирующих лазерные пучки с
12
различными свойствами самовоспроизведения, а также предназначенных для анализа световых полей и полноапертурной фокусировки в сложные геометрические фигуры. При этом фазовая функция ДОЭ может быть представлена в виде линейной композиции заданных ортогональных функций, даже без условия полноты набора этих функций. Такой подход будет обобщающим для широкого класса ДОЭ.
Целью работы является разработка методов и алгоритмов расчета фазовых функций пропускания, представленных в виде линейной композиции конечного числа ортогональных функций, и создание на их основе фазовых ДОЭ, предназначенных для формирования самовоспроизводящихся лазерных пучков, а также экспериментальное исследование ДОЭ и формируемых ими световых полей.
В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:
1. Разработка алгоритмов расчета фазовых ДОЭ, представленных в виде линейной композиции конечного числа ортогональных функций, с произвольно задаваемым составом и весовым вкладом каждой из функций.
2. Разработка методов кодирования ДОЭ, обеспечивающих повышенную дифракционную эффективность, а также позволяющих варьировать в широких пределах такие характеристики ДОЭ, как точность и эффективность формирования заданного поля.
3. Вывод условий самовоспроизведения различных многомодовых пучков лазерного излучения (в частности, для мод Бесссля, Гаусса-Лагсрра, Га-усса-Эрмита и сфероидальных функций). Расчет, теоретическое и экспериментальное исследование ДОЭ, формирующих самовоспроизводящиеся многомодовые пучки.
4. Расчет, теоретическое и экспериментальное исследование многоканальных фазовых ДОЭ, предназначенных для оптического разложения светового поля по различным ортогональным базисам, а также, формирующих
13
изображения, состоящие из неперссскающихсгя элементов, в одной и нескольких плоскостях.
Структура и краткое содержание диссертации.
Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения и трех Приложений.
В первой Главе рассматриваются типы самовоспроизводящихся многомодовых световых полей. Обсуждается инвариантность световых полей к операторам: а) распространения в свободном пространстве, б) прохождения через линзовые системы и в) поворота. Рассматривается периодическое самовоспроизведение (с точностью до масштаба и поворота) светового поля на некоторых расстояниях при распространении вдоль оптической оси. Для расчета фазовых ДОЭ, формирующих многомодовые световые поля предлагается метод композиций, основанный на конечной линейной суперпозиции ортогональных функций с комплексными коэффициентами, аргументы которых являются свободными параметрами задачи. Предлагаются итеративные алгоритмов расчета фазовых ДОЭ, модифицированные для метода композиций.
13о второй Главе предлагаются методы кодирования ДОЭ, обеспечивающих повышенную эффективность и особенно актуальных при формировании одномодовых световых пучков. Предлагается модифицированный метод Лезсма с оптимизацией апертурной функции, позволяющий формировать одномодовые пучки с высокой дифракционной эффективностью и приемлемой точностью. Также рассматривается модификация метода введения дополнительных областей, обеспечивающая высокую точность формирования световых полей за счет более низкой энергетической эффективности, к радиальным и обобщенным модам ГЛ. В качестве универсального метода кодирования, позволяющего варьировать конкурирующие параметры ДОЭ (точность-эффективность) в широких пределах, предлагается метод частичного кодирования. Проводится численное сравнение разработанных методов с несколькими наиболее часто используемыми последнее время. Теоретические выкладки подтверждаются экспериментально.
14
В третьей Главе выводятся аналитические условия самовоспроизведения различных многомодовых пучков лазерного излучения. Рассматривается расчет и численное исследование ДОЭ, формирующих самовоспроизводя-щисся многомодовые пучки, согласованные с модами Бесселя, Гаусса-Лагсрра, Гаусса-Эрмита, сфероидальными функциями. Предлагаются алгоритмы формирования определенных изображений с наперед заданными свойствами. Приводятся результаты натурных экспериментов.
В четвертой Главе метод композиций применяется к расчету многоканальных фазовых ДОЭ, согласованных с различными ортогональными базисами, часто используемыми на практике при оптическом анализе и распознавании световых полей. Проводится расчет и численное исследование многоканальных фазовых ДОЭ, согласованных с модами лазерного излучения, угловыми гармониками, функциями Цернике, и сфероидальными функциями. Рассмотрены оптимальный базис Карунсна-Лоэва и базис Адамара. Приводятся натурные эксперименты по селекции мод Гаусса-Лагерра и Гаусса-Эрмита, а также по вычислению углового орбитального момента вращающегося светового поля и восстановлению волнового фронта. Также приводится расчет методом композиций фазовых ДОЭ, формирующих заданные изображения, состоящие из непересекаюшихся примитивов (отрезков, точек), в одной или нескольких плоскостях.
В Приложении 1 рассматривается использование метода композиций при расчете фазовых ДОЭ, фокусирующих в объемные фигуры.
В Приложении 2 проведен расчет фазовых ДОЭ, фокусирующих в набор концентрических колец.
В Приложении 3 рассматривается использование метода композиций при расчете радиальных ДОЭ с квантованной фазой.
Научная новизна работы заключается в том, что впервые получены следующие результаты:
15
1. Разработан универсальный метод композиций для расчета фазовых ДОЭ, основанный на представлении функции пропускания ДОЭ конечной линейной суперпозицией ортогональных функций с комплексными коэффициентами. амплитуда которых определяет весовой вклад соответствующей функции. Для поиска аргументов коэффициентов предложены обобщающие модификации известных итеративных алгоритмов. Метод композиций применен для расчета фазовых ДОЭ в широком спектре задач: для формирования многомодовых самовоспроизводящихся лазерных пучков в одном и нескольких дифракционных порядках, выполнения оптического разложения световых полей по различных ортогональным базисам, а также формирования заданных изображений, состоящих из неперссекающихся примитивов (точек, отрезков), в одной и нескольких плоскостях.
2. Разработан метод частичного кодирования, позволяющего варьировать конкурирующие параметры ДОЭ - точность формирования светового поля и дифракционную эффективность - в широких пределах и оптимизировать их соотношение. Метод представляет собой комбинацию двух алгоритмов кодирования, применяемых в зависимости от значения амплитуды кодируемой комплексной функции. Если она ниже некоторого задаваемого порога, то применяется метод локального фазового скачка, который пропорционален значению амплитуды. Если выше - применяется классический метод Лезема. Также предложена модификация метода для кодирования без увеличения размера маски.
3. Получены аналитические соотношения, позволяющие выбирать номера базисных функций Бесселя, Гаусса-Эрмита. Гаусса-Лагерра, сфероидальных. так, чтобы их линейная композиция обладала заданными свойствами самовоспроизведения: распространение в однородной среде с сохранением структуры, периодическим повторением или вращением, а также инвариантное прохождение через линзовые системы с ограниченной апертурой.
4. На основе разработанных алгоритмов и полученных соотношений рассчитаны, созданы и экспериментально исследованы:
16
- бинарные фазовые ДОЭ, формирующие'одно- и многомодовые инвариантные (с точностью до масштаба) к распространению пучки Бесселя, Га-усса-Лагсрра, Гаусса-Эрмита;
- бинарные фазовые ДОЭ, формирующие пару вращающихся пучков Бесселя и Гаусса-Лагерра;
- 16-уровневые фазовые ДОЭ, формирующие многомодовые периодические и вращающиеся пучки Бесселя и Г аусса-Лагерра;
- бинарные 8-канатьныс фазовые ДОЭ для обнаружения угловых гармоник, которые могут быть использованы для измерения углового орбитального момента вращающегося светового пучка;
- 16-ти и 64-уровневые 9-ти, 24-х и 25-канальные фазовые ДОЭ, согласованные с молами Г аусса-Лагерра и Гаусса-Эрмита, которые были использованы как для селекции указанных мод лазерного излучения, так и для одновременного формирования нескольких пучков, распространяющихся под различными углами к оптической оси, а также для измерения углового орбитального момента вращающегося световог о пучка;
- 16-уровневые 25-канальныс фазовые ДОЭ, согласованные с базисом полиномов Цсрнике и предназначенные для анализа волнового фронта.
На защиту' вносятся:
- метод композиций в расчете фазовых ДОЭ, формирующих многомодовые световые поля, основанный на представлении функции пропускания ДОЭ конечной линейной суперпозиции ортогональных функций с комплексными коэффициентами, аргументы которых являются свободными параметрами задачи; модификация итеративных алгоритмов расчета фазовых ДОЭ для метода композиций;
- методы кодирования фазовых ДОЭ, обеспечивающие высокую дифракционную эффективность формируемых световых полей: модификация метода Лезема с оптимизацией апертурной функции и быстрый алгоритм
17
расчета винтовых радиальных фазовых ДОЭ 'с введением дополнительной области;
- метод частичного кодирования, позволяющий варьировать конкурирующие параметры ДОЭ - точность и эффективность формирования светового поля - в широких пределах и его модификация для кодирования без увеличения размера маски;
- результаты расчета и численного исследования фазовых ДОЭ, формирующих многомодовые световые пучки и световые изображения с заданными свойствами самовоспроизведения;
- результаты расчета и численного исследования многоканальных фазовых ДОЭ, согласованных с ортогональными базисами, обладающими различными оптимальными свойствами: Гаусса-Лагерра, Гаусса-Эрмита, Бесселя, угловых гармоник, Цернике, сфероидальных функций нулевого порядка;
- результаты расчета и численного исследования композиционных фазовых ДОЭ, фокусирующих в изображения, состоящие из непересекающихся сегментов (отрезков, точек).
- результаты экспериментального исследования фазовых ДОЭ, формирующих одно- и многомодовые самовоспроизводящиеся пучки Бесселя, Гаусса-Лагерра, Гаусса-Эрмита, а также многоканальных фазовых ДОЭ для селекции мод лазерного излучения, анализа волнового фронта и обнаружения угловых гармоник.
Практическая ценность работы.
Практическая ценность проведенных в диссертационной работе исследований заключается в создании программных комплексов для расчета ДОЭ и моделирования работы оптических систем с ДОЭ, а также в создании и экспериментальном исследовании ряда ДОЭ: формирователей одно- и многомодовых лазерных пучков с задаваемыми свойствами самовоспроизведения (могут быть использованы в оптоволоконной связи, для оптического пробоя с заданной пространственной структурой внутри газовых и жидких
18
сред; для захвата и переноса микрочастиц п наноэлектронике и биомедицине; для бесконтактного измерения расстояний и скорости движения) и пространственных многоканальных фильтров для оптического анализа лазерных полей (были использованы для селекции различных мод лазерного излучения, обнаружения угловых гармоник, анализа волнового фронта и измерения углового орбитального момента лазерного пучка).
Разработанные по материалам диссертации программные продукты включены в состав программного обеспечения по дифракционной оптике. Выполнен ряд заказов отечественных и зарубежных фирм (Исследовательский центр РІАТ, Орбассано, Италия; Пекинский политехнический институт, Китай) на поставку разработанного программного обеспечения, формирователей световых пучков и пространственных фильтров.
19
Глава 1. РАСЧЕТ ФАЗОВЫХ ДОЭ МЕТОДОМ КОМПОЗИЦИЙ.
1.1. Многомодовые световые ноля с различными свойствами самовоспроизведения.
В теории волноводов существует понятие мод, которые обладают рядом замечательных свойств /329/:
1) инвариантность к оператору распространения в своей среде,
2) сохранение ортогональности при распространении,
3) меньшие потери энергии для мод с меньшими индексами,
4) наилучшая среднеквадратичная аппроксимация полей, распространяющихся в данной среде.
Благодаря этим свойствам поведение различных световых полей в волноводах и свободном пространстве рассматривается через модовое представление (световые поля представляются в виде бесконечной или конечной линейной композиции мод). Модовый состав полей определяет их продольные свойства, т.е. поведение при распространении вдоль оптической оси.
Самовоспроизводяшиеся при распространении световые пучки привлекают повышенный интерес многих исследователей /5, 58*, 66*, 115, 145, 162, 308, 233*, 246*, 274, 286, 316, 320/, т.к. благодаря своим свойствам такие пучки имеют широкий спектр применений /50*, 120, 125, 194, 197, 282, 308, 318/.
Свойство самовоспроизведения тесно связано со свойством инвариантности - сохранения, неизменяемости, - которое является относительным и определяется по отношению к некоторому воздействию. В данной работе рассматривается инвариантность световых пучков (с точностью до масштаба) к оператору распространения в свободном пространстве, прохождению через линзовые системы, усечению диафрагмой и повороту.
Также рассматривается свойство периодического самовоспроизведения (повторения с точностью до масштаба) светового поля на определенных расстояниях при распространении в однородной среде. К полям с продольно-
20
периодическими свойствами также относятся "спиральные" световые пучки, которые объединяют в себе свойства инвариантности к распространению (структура поперечного сечения сохраняется с точностью до поворота) и периодичности (повторение происходит через расстояние, за которое совершится полный оборот).
1.1.1. Самовоспроизведение как инвариантность к действию различных операторов
Инвариантность к оператору распространения в однородного среде.
Для параксиального уравнения распространения
где Л - длина волны света, г - продольная координата, комплексная алгебра операторов симметрии (алгебра Ли) имеет базис из 9-ти операторов /67/:
Операторы симметрии Ь из (1.2) и любые линейные комбинации из них переводят одно решение уравнения (1.1) в другое решение и удовлетворяют уравнению:
(1.1)
(1.2)
В„=--------—
2кдх 2 у 2к ду 2
г д ВТ _ 2 д іу
(1.3)
- оператор Шредингера, /?(дг) - функция, которая
может зависеть и от Ь
Уравнение (1.1) можно записать в виде
<\п д
4я / дЕ(х,у,г) _ *
, ~ ~ Е(Х,у,2),
/. ог
, а его решение формально имеет вид
21
(1.4)
где К_2 = — — = Л —- + —
Я дг [дх2 ду
Е{х,у,г) = ехр^К_2 ^£0(х,у).
(1.5)
( Яг
Из уравнения (1.5) видно, что ехр|^—К_2^ єсть оператор распространения вдоль оси г. Операторы симметрии (1.2), коммутирующие с оператором К_2, будут также коммутировать с оператором (1.5):
,П
схрШ
- і £
п=-сО
4л) п\
(1.6)
то есть будут инвариантами распространения.
Оператор распространения порождает преобразование Френеля /61*/:
І*2 V;
6(х-£,у-1])(1£(1ч =
= £( 7^1 («!)"’ ]|^(«»М*2 + Д2)" ехр(- /(ха + >•/?)]<!а (1 Д =
я-0'4;г'
= | |£(а,Д)ехр|"~/^~-(а2 + Д2) схр[-/(ха + уД)]с1а<1 Д =
-СО I-
= ^ .[ |/(<5>V)схр|/^ [(х - £)2 + (у - /7)2 ]| с! £ <1 //,
где д(х,у) - дельта-функция Дирака, /-(а.//) - Фурьс-образ функции_Д£//).
Всего операторов-инвариантов пять. Операторы Р4 и Ру описывают ин-фннитоземальные (бесконечно малые) сдвиги поля по осям х и у (операторы сноса пучка /63/); К.2 описывает ипфннитоземальное растяжение (сжатие) по осям х и у (оператор дифракционной расходимости пучка); М - малые повороты вокруг оси г (оператор углового момента /117/); Е=/ - тождественное
22
преобразование и сохранение энергии световод поля при распространении вдоль оси 2. Из этих пяти операторов-инвариантов с помощью линейных комбинаций можно образовать и другие инвариантные операторы.
Из (1.2) видно, что оператор К2 описывает малое распространение вдоль оси г второго момента комплексной амплитуды поля Щх,у,г) и, значит, описывает изменение радиуса пучка.
Оператор углового момента М описывает малый поворот вокруг оси г {х=гсоьф,у=гъ\ъф)\
... д дх д ду д . , д . д д д ., ....
М = — =--------+ —— = —г вш ф ——Г Г СОБ ф— = А'------V— = М . (1.7)
дф дф дх дф ду дх ду ду дх
Собственными функциями оператора М' являются угловые гармоники
-;му,=-і^=дЛ, (1.8)
которые при Л„=п образуют нормированный на единицу ортогональный базис:
(1.9)
Собственные функции оператора углового момента в декартовых координатах имеют вид /67/:
ХІу~УІхР‘ЛХ’У) = ’ (1 ■10)
где
ч/я(*ООв |ехр^у(А-соз^ + ;^іп^^„(^)с1^. (1.11)
Функции (1.11) описывают пучки инвариантные к повороту при распространении. Интересно отметить, что уравнение аналогичное ур. (1.11) было получено для бездифракционных лучков /162/ и самовоспроизводящих-ся пучков /51. Например, в /5/ показано, что комплексная амплитуда поля, сохраняющего свой модуль при распространении вдоль оси 2, имеет вид:
и( х, = єхр( ~"у~] 1 єхр[' г?о со^ ~ д Ф » (1 *12)
23
л
где И(ф) - произвольная функция полярного угла ф, «т1 + р\ =1.
В полярных координатах ур. (1.11) приводит к базису мод Бесселя:
(Г’Ф) = /*('у г ^схр(т^). (1.13)
Так как оператор углового момента М' коммутирует с инфнпитозе-мальным оператором распространения, то величина углового момента (1.7) сохраняется при распространении пучка вдоль оси г.
Поворот поля на угол & осуществляется с помощью оператора ехр(^0М):
ехр^мтг,*)^^^] /М) =
п=о \дф)
= ЁЁ Л,(г)ехр(/т^) = £ £ ^-/т(гЮтУ ехр(ітф) =
п=От=-о) \ / я=0 ж*--«»
00
<С
(ііф0т)‘
<о
* -
/1=0
сб
= Х/^г)ехрОт^)ехрО>и<0(|) =
Ж—00
Е/и.(г)ехР(/ш^+^о)=Лг’Ф+&)•
/ЯГ-«'
Величина углового момента поля £(г,$ вычисляется по правилу вычисления матричного элемента оператора углового момента М:
//= | |£*(г,^)М'£(г,^)гс1г<і^ = о о
= Ё І /£>)£>,ГеХр(-1Щ^)|.(ехр(-ш^))<,^= (1.14)
ж--'00 Л=—»5 о о ^
«■
-2т
*із-а>
где /,я = |£т(г)| гсіг - парциальная энергия т-ой угловой составляющей
I В.1Г)“
О
светового поля Е{г,ф). Нормированный угловой момент можно определить по формуле
24
аз
* Ет/*
СО
^ ~ «о?*—-—
I ||Ь'(г,^г(1гсЗ^ £/„
(1.15)
о о
Пі--со
Так как оператор углового момента М' коммутирует с инфинитозе-мальным оператором распространения:
4тг д
К_2 =
Лиг
[гЗгі, дг) г2 дф2
[к_2,м*]=о,
то величина углового момента (1.14), (1.15) сохраняется при распространении пучка вдоль оси г:
/,(*) = ]/£• (ґ,ф, 2)М'Е(г, ф,2)гігйф =
О о
= *\\Е\г,ф)ы^-^К^Гсх^^К_^Е{гуф)г6г<Ьф = (1.16)
= ]\Е\г,ф) М' Е{г, ф)гЛг*ф = т-о о
Заметим, что действие оператора углового момента (1.7) на функцию комплексной амплитуды Е(х,у) можно интерпретировать как проекцию на ось г ротора от вектора ) с координатами (Еу)=(хЕ(х.у), уЩх,у)):
] = 7Е{х,у)у
так как
. дЕу дЕт ( 8 д'
£(хуу) = -М£(хуу),
(1.17)
или в цилиндрических координатах
(гыД =і
'№*) ЭЕ, дг дф У
(1.18)
где Е,=Ехсоъф*-Еуъ\1\ф^гЕ(гуф) и Е^ Е^упф+Е^оъф -0. Из (1.18) следует, что
25
- 1 дЕ дЕ ' .. ..
(ГОГ ))г я — «-£• = - = -М’ Е(г, ф) .
Г оф оф
(1.19)
Оператор К_2 = /
Ґ Є2 д2
—2 + —2 І “ опсРат°р-ннвариант, описывающий ма-
^дх ду
лую расходимость пучка при распространении вдоль оси г. Действительно, определим расходимость пучка в виде
2 У
£(дг,у)с!д:с1^ =
(1-20)
-эС*
■сідгсіу =
. г п. дЕ\ г еос. ос . г _♦ ос. . , г сое ос, .
чЕ ^ ^ *х-Ч}-£:т:*х*у-
\Х -«о
■дЕ дЕ
«о
.дЕ
дх дх- ^ ду ду ду
у00
оо
-<0 ^ 'дт=-а>
Так как по теореме о градиенте
£дх6у=\пх>у)ду, ^&х&у = -\/(хуу)дх, (1.21)
5 ах г 5 оу г
где 5 - область интегрирования, Г - контур, охватывающий область 5, и т.к. при стремлении контура Г на бесконечность функция поля Е(х.у) должна удовлетворять условию излучения Зоммсрфельда
Е(х,у)«0
если х2 + у2 -» 00 ,
то интегралы в (1.20) равны нулю:
-00
х-ъ>
% . дЕ Г . ос
^=0’ 1£а;
* .дЕ %
-со
)’-СО
а х = о.
(1.22)
у~—от»
С учетом (1.22) для расходимости пучка (1.20) будем иметь:
і дЕ дЕ дЕ' сЕ ..
Лх“^г+—— і«*«**.
(1-23)
-сс
дх дх ду ду
Заметим, что ур. (1.23) эквивалентно уравнению, полученному в /63/. Так как оператор К 2 - инвариант, то расходимость у также будет инвариантной величиной при распространении:
26
/ \\Е'К_гЕАх<\у
|К<іх<1у
(1.24)
Операторы В* и В, описывают малые смешения (''снос" с оптической оси) вдоль осей х и у при распространении вдоль оси г соответствующих моментов первого порядка интенсивности. Это смещение линейно зависит от г.
интенсивности. Если определить эффективный квадрат радиуса пучка Л(г) равным нормированному второму моменту' интенсивности, то зависимость К2 от г показывает, что радиус светового поля растет квадратично с ростом г.
Действительно, можно показать с помощью преобразования Френеля, что имеет место выражение:
где ЕгтЕ^х.у) - световое поле при г~0,1т - мнимая часть комплексного числа.
Инвариантность к оператору распространения, или, преобразованию Френеля, демонстрируют световые моды в своих средах: Бесселевы моды - в свободном пространстве, моды Гаусса-Лагерра и Гаусса-Эрмита - в оптической среде с параболическим показателем преломления. Г ауссовы моды также можно считать модами свободного пространства с точностью до масштаба. Однако, свойством инвариантности к оператору распространения обладают каждая мода в отдельности. Произвольная композиция световых мод,
27
в общем случае, таким свойством не обладает. В Главе 3 выводятся условия, позволяющие формировать композицию световых мод с инвариантными свойствами.
Инвариантность к прохождению через линзовые системы.
Прохождение световых полей через линзовые системы моделируется с помощью преобразования Фурье и усечением поперечных комплексных распределений в соответствии с размерами апертуры.
Известен ряд функций, инвариантных к преобразованию Фурье в бесконечных пределах:
где / - фокусным расстояние сферической линзы, Ак„ - собственные числа преобразования.
Например, в /267/ рассматривается способ синтеза объектов, инвариантных к преобразованию Фурье, путем композиции исходной функций и ее Фурье-образа. Однако, при введении диафрагмы свойство Фурье-инвариантности таких объектов нарушается. Более удобными для диафрагмирования являются функции Гаусса-Эрмита (ГЭ) и Гаусса-Лагсрра (ГЛ), энергия которых как в объектной, так и частотной плоскостях сконцентрирована на ограниченном отрезке. Хотя, строго говоря, эти функции инвариантны к преобразованию Фурье в бесконечных пределах.
Известно /3/, что в оптическом волокне распространяются без потерь моды ГЛ и ГЭ. Для того чтобы эффективно (а точнее говоря, оптимально но некоторому критерию) передать по световому волокну некоторое изображение, требуется представить это изображение как суперпозицию мод. Ввод изображения в волокно с помощью Фурье-каскада ставит задачу формирования таких изображений с учетом влияния собственных чисел преобразования Фурье.
(1-25)
28
Вытянутые сфероидальные волновые функции известны в оптике прежде всего как моды оптических систем с охраниченной апертурой и проходящие через такие оптические системы без искажений /46, 105, 137, 285/. Суперпозиция ВСВФ, аппроксимирующая некоторое световое распределение, будет обладать модовым характером при прохождении через оптические линзовые системы с ограниченной апертурой. Т. е., изображение будет устойчиво к дифракционным эффектам, связанным с ограниченными размерами апертуры оптической системы. В этом случае также надо учитывать влияние собственных чисел преобразования Фурье.
Инвариантность к повороту
Свойством инвариантности к повороту обладают вес радиапыю-симмстричныс световые поля. Среди модовых функций к этому типу относятся Бесселевы функции нулевого порядка и необобщенные функции Гаус-са-Лагерра, а также любые их линейные комбинации.
Световые поля, согласованные с функциями Бесселя высоких порядков и обобщенными функциями Гаусса-Лагсрра с ненулевой винтовой составляющей ехр(нм<р), не обладают осевой симметрией. Однако, распределение интенсивности таких одномодовых пучков в любой плоскости на оптической оси является радиально-симметричным и инвариантным к повороту.
В Главе 4 данной работы рассматривается инвариантное к повороту разложение световых полей по базисам Бесселя, Г'аусса-Лагерра, Цсрнике, угловым гармоникам.
1.1.2. Периодическое самовоспроизведение и вращение при распространении в однородной среде.
Периодическое самовоспроизведение изображений известно в оптике с 1836 года, когда Х.Ф. Тальбот рассматривал световые пучки, формируемые планарными масками, имеющими поперечно-периодическую функцию пропускания (линейные и скрещенные решетки) /316/. С тех пор явление само-
воспроизведения когерентного светового полк, имеющего поперечную периодичность на определенных расстояниях при распространении (продольная периодичность) называется эффектом Тальбота. Для некогерентного случая это явление называется эффектом Лау /254/.
Затем в 1881 году Релей показал, что для наблюдения хорошего самовоспроизведения решеток, они должны освещаться монохроматическим коллимированным пучком и вывел формулу для расстояния (получившего в последствии название период Тальбота), на котором решетка повторится первый раз /289/:
где а - период решетки, X - длина волны освещающего пучка. Последующие работы касались в основном вариаций в свойствах решеток (фазовые, прямоугольные).
Таким образом, исторически первыми были отмечены периодические свойства световых полей, состоящих из конечного числа плоских (.косинусоидальных) волн.
В /327/ было отмечено, что линейные решетки могут формировать периодически повторяющиеся изображения, отличающиеся от самого объекта. Затем в /122, 262, 326/ были получены выражения для распределения светового поля на долях периода Тальбота (1.26). Так, прямоугольная решетка с периодом а Ха и с функцией пропускания:
где Г,1Я1 - пространственный спектр/(х.у), в приближении Френеля формирует световое поле:
где а' - период Тальбота (1.26). Понятно, что на расстояниях кратных периоду
(1.26)