Содержание
Введение ........................................................... 5
1. Неиертурбативные свойства неабелепых калибровочных теорий 5
2. Струны как фундаментальные степени свободы неабелевых
калибровочных теорий .......................................10
3. Дуальность между электрическими и магнитными зарядами . 14
4. Дуальность между калибровочными теориями и теориями
струн на пространстве анти-де-Ситтера.......................20
5. Общая характеристика работы.................................29
Глава 1. Центральная доминантность в вакууме неабелевых
калибровочных теорий ............................................39
1.1. Введение ...................................................39
1.2. Центральные вихри и экранирование цветных зарядов на асимптотически больших расстояниях ..............................43
1.3. Эффективное действие центральных вихрей.....................48
1.4. Выводы..................................................... 62
Глава 2. Квантовое перепутывание в калибровочных теориях 64
2.1. Введение ...................................................64
2.2. Геометрическая интерпретация энтропии перепутывания в голографических моделях .........................................68
2.3. Энтропия перепутывания и принцип локальной калибровочной инвариантности ................................................. 74
2.4. Численное изучение энтропии перепутывания в решеточных
калибровочных теориях.......................................87
2
2.5. Энтропия перепутывания калибровочных теорий как классическая энтропия концевых точек электрических струн . 90
2.6. Энтропия перепутывания в SU (2) решеточной калибровочной теории ...........................................................94
2.7. Фазовый переход конфайимент-деконфайнмеит и энтропия
перепутывания при конечных температурах ......................99
2.8. Выводы......................................................103
Глава 3. BRST квантование матричных моделей со связями
первого рода.....................................................106
3.1. Введение ...................................................106
3.2. Классическая и квантовая механика на групповом многообразии 109
3.3. Классический BRST генератор и классический BRST-инвариантный гамильтониан........................................112
3.4. Квантовый генератор преобразований BRST и BRST-инвариантный оператор Гамильтона.................................115
3.5. Интеграл по путям в формализме BRST ........................117
3.6. Геометрические структуры на групповом многообразии..........121
3.7. Выводы......................................................126
.Глава 4. Неунитарыость квантовых теорий поля на
пространстве де Ситтера, проблема космологической
постоянной и dS/CFT соответствие.................................128
4.1. Введение ...................................................128
4.2. In- и out- состояния в планарных и глобальных координатах на
пространстве де Ситтера .....................................133
4.3. Излучение и инфракрасные расходимости в пространстве де Ситтера ........................................................ 141
3
4.4. Выводы.............................................148
Заключение ................................................151
Приложение: дифференциальное исчисление на решетке . . . 154
4
Введение
В действительности все не так, как на самом деле
- Станислав Ежи Легг,
1. Непертурбативные свойства неабелевых калибровочных теорий
Неабелевы калибровочные теории [1] были применены для описания сильных взаимодействий адронов, когда стало ясно, что партоны, наблюдаемые в процессах рассеяния частиц высоких энергий посредством Бъёркеновскот скейлинга, являются кварками [2, 3]. Существенной
особенностью неабелевых калибровочных теорий является асимптотическая свобода, означающая, что теория становится эффективно свободной при очень больших импульсах частиц, то есть на очень маленьких расстояниях [2, 3]. Благодаря этому свойству при описании процессов-, в которых-энергии кварков очень высоки, например; при описании реакций частиц высоких энергий, можно использовать методы теории возмущений, хорошо развитые для КЭД и других квантовых теорий поля. Сам факт существования адронов, состоящих из кварков, тем не менее, не может быть объяснен на основании теории возмущений, которая к началу семидесятых была единственным способом анализа неабелевых калибровочных теорий.
С другой стороны, когда энергия некоторого процесса рассеяния, включающего сильные взаимодействия, становится очень малой, константа связи неабелевой калибровочной теории становится порядка единицы- или больше, и теория возмущений становится неприменима. Вообще говоря, даже само существование адронов, состоящих из кварков, не может быть объяснено на основании теории возмущений. Из экспериментов известно,
что цветные кварки всегда “удерживаются55 в адронах - отсюда термин “удержание цвета55, или конфайнмент. Анализ экспериментальных данных но адронным спектрам показывает, что сила притяжения между валентными кварками в адронах примерно постоянна на больших расстояниях [6, 7]. Таким образом, кварк и антикварк оказываются связанными своего рода упругой струной с натяжением а, которая обычно называется струной КХД, и не могут быть разведены бесконечно далеко друг от друга, так как это потребует бесконечной энергии. Чтобы изучать это явление удержания цвета, следует рассматривать взаимодействия между кварками, разделенными асимптотически большими расстояниями - другими словами, процессы при очень малых энергиях.
Одним из наиболее важных вкладов в развитие теории, который сделал возможным непертурбативный анализ неабелевых калибровочных теорий, была сформулированная Вильсоном [8] решеточная версия неабелевых калибровочных теория. В то время как при малых затравочных значениях константы связи решеточная теория воспроизводит обычные результаты теории возмущений, при больших значениях константы связи можно применять методы, развитые в статистической физике, например, разложение сильной связи. Дополнительным преимуществом решеточных калибровочных теорий является введение ультрафиолетового обрезания калибровочно-инвариантным способом, что позволило Вильсону сформулировать общие предписания для перенормировки решеточных калибровочных теорий и связать свойства неренормируемости с поведением статистических систем вблизи критических точек. ч
В простейшем случае О - мерной гиперкубической решетки задается набор точек (узлов) с координатами х^ = ае^пь, где е£ - единичные базисные вектора, а есть расстояние между смежными узлами решетки в физических единицах (шаг решетки) и пь, Ь = есть целые числа. Координаты
пь называются решеточными координатами, а координаты х^ - физическими координатами, или координатами в физических единицах длины. Значения скалярных полей задаются в узлах решетки, векторных полей - на связях (линках) между двумя смежными узлами, тензорные ноля ранга 2 - на элементарных площадках (илакетах), натянутых на два разных линка, имеющих одну общую точку, тензорные поля ранга 3 - на элементарных кубах, натянутых на три различных линка с одной общей точкой, и так далее. Соответственно, поля материи, которые для простоты предполагаются скалярными и бозонными, связываются с узлами решетки. Чтобы ввести неабелевы калибровочные поля па решетке, следует принять во внимание, что по определению ковариантной производной две локальные величины должны вычитаться лишь после того, как обе они параллельно перенесены в одну точку. Чтобы определить решеточный аналог ковариантной производной, следует параллельно перенести поле с двух соседних узлов на какой-нибудь один и лишь после этого вычитать их. Операторы параллельного переноса вдоль решеточных линков соответствуют поэтому калибровочным полям А{1 в непрерывном пределе. По аналогии с непрерывной теорией тензор кривизны на решетке связан с оператором параллельного переноса вдоль границы элементарной площадки (плакета).
Вильсоновская формулировка решеточных калибровочных теорий становится особенно простой, когда массы кварков намного больше любых других масштабов энергии в задаче и кварки поэтому могут рассматриваться как статические заряды. В этом случае можно пренебречь спином кварков и вообще всеми квантовыми числами кроме цвета и силу взаимодействия между кварками рассматривать как функцию только расстояния между кварками. Как было показано Вильсоном [8], эта сила может быть найдена из измерений некой нелокальной калибровочно-инвариантной величины, которая определяется как след голономии калибровочною ноля вдоль
некоторого замкнутого контура С, представляющего мировые линии тяжёлых кварка и антикварка:
некоммутирующие множители вдоль контура С, и след берется в некотором неприводимом представлении Л калибровочной группы. Потенциал взаимодействия между кварком и антикварком V [г] связан с вакуумным средним петли Вильсона У/ц [С] как:
где СГХ£ есть прямоугольный контур с размерами г в пространственном направлении и I во временном направлении. Вильсон показал, что в пределе сильной' связи потенциал взаимодействия кварка и аитикварка линеен:
Таким образом, кварк и антикварк оказываются связанными неким подобием упругой струны с натяжением (Т, которая обычно называется струной КХД, и поэтому не могут быть, разведены бесконечно далеко, так как это потребовало бы бесконечной энергии. Этот вывод хорошо согласуется с тем фактом, что кварки никогда не наблюдаются как свободные частицы, но всегда оказываются в связанных состояниях - адронах. Вывод этот, конечно, не может служить каким бы то пи было доказательством конфайнмента кварков, потому что предел сильной связи решеточной калибровочной теории не соответствует никакой непрерывной теории. Как показывает процедура перенормировки теории, непрерывной теории Янга-Миллса должен соответствовать предел слабой связи по затравочной константе связи.
(і)
где Ар есть вектор калибровочного ноля, V есть оператор, упорядочивающий
Ун (г) = - Ига г 11п (у/ц [Сгх<])
(2)
V (г) = а г
(3)
8
і
В решеточной формулировке калибровочных теорий шаг решетки должен рассматриваться как параметр ультрафиолетового обрезания, и для получения физически обоснованных результатов этот параметр должен быть устремлен к бесконечности при фиксированных значениях каких-либо физических наблюдаемых. В квантовой электродинамике, например, обычно фиксируются константа связи, входящая в трехточечную амплитуду, и физическая масса электрона. В неабелевых теориях без динамических кварков можно зафиксировать натяжение струны КХД или корреляционную длину для корреляторов каких-либо калибровочно-инвариантных объектов. На практике обычно фиксируется натяжение струны КХД, которое может быть оценено из спектра мезонов как у/а — 440 МэВ. В решеточных калибровочных теориях в четырех измерениях вообще нет’ размерных параметров, и физический масштаб должен быть введен в теорию вручную в процессе перенормировки. Если непрерывный предел решеточных калибровочных теорий в четырех измерениях существует, вблизи него ноля на решетке должны гладкими. Математически это означает, что значения полевых переменных в соседних узлах решетки должны быть очень близки. Такая ситуация реализуется если при некотором значении затравочной константы связи <70 корреляционная длина системы в решеточных единицах каи (до) становится бесконечной, что соответствует фазовому переходу второго рода. Чтобы ввести физический масштаб, полагается, что шаг решетки имеет длину а в физических единицах длины, и поэтому физическая корреляционная длина есть 1рпуз = 11аи (до) а. Так как 1Р11уз полагается фиксированной и может быть измерена в эксперименте из спектра масс теории, это уравнение даёт значение шага решетки а как функцию затравочной константы связи до: а (до) = 1Рну.ч/каа(Уо)- Такая процедура определяет параметр ультрафиолетового обрезания теории как функцию константы связи до или, обратно, до как функцию ультрафиолетового
обрезания. Оказывается, что для того, чтобы достигнуть непрерывного предела в четырехмерной теории Янга-Миллса на решетке, следует устремить до к нулю и в то же время не потерять непертурбативпой информации о конфайнменте в теории. С точки зрения ренормгрунпы эту задачу можно было бы решить, проследив реиормгрупповой поток от режима произвольно слабой связи и показать, что константы связи монотонно растут в процессе перенормировки по Вильсону. Хотя задача эта не намного легче изучения непрерывной теории в пределе сильной связи, преимуществами решеточной формулировки являются контроль за всеми расходимостями в теории и возможность численных экспериментов с использованием метода Монте-Карло.
2. Струны как фундаментальные степени свободы иеабелевых калибровочных теорий
Наверное, наиболее наглядным способом отождествить фундаментальные степени свободы, калибровочных теорий со струнами является гамильтонова формулировка решеточных, калибровочных теорий Вильсона-Когута [9| в пределе сильной связи д —» оо. Гамильтониан решеточной калибровочной теории с калибровочной группой С имеет следующий вид:
где ді Є Є есть линковые переменные, др = ГІ 9і есть плакетные переменные,
ІЄр
то есть операторы параллельного переноса вокруг элементарных плакетов па решегке и Ад1 есть оператор Лапласа на групповом пространстве линковой
в (4), так что в пределе сильной связи волновая функция основного состояния есть просто константа: Ф (gi) = const . Возбужденные состояния
переменной gi. В пределе д —> сю можно пренебречь вторым членом
10
гамильтониана (4) могут быть затем построены действием на основное
состояние калибровочно-инвариантными операторами вида (^) =
Ті* ц П & - то есть, произведениями матриц представления линковых іес
переменных по некоторой замкнутой петле С. Энергия таких состояний в пределе сильной связи пропорциональна квадратичному оператору Казимира
/ч
представления II, умноженному на длину петли С. Оператор У/ц (С) можно таким образом назвать оператором создания струны на петле-С, и возбужденные состояния можно представить как суперпозицию различных конфигураций струн. Если уменьшить константу связи, второй член в (4) будет описывать взаимодействия между этими струнами, смешивающие состояния с разными С и позволяющие струнам распространяться в пространстве. Однако, такая картина становится все более и более сложной по мере приближения к области слабой связи. Тем не менее, многие важные свойства неабелевых калибровочных теорий - такие, как фазовый переход коифайнмент-деконфайнмент - могут быть поняты в терминах классических флуктуаций этих струн [10].
Важным открытием, сильно повлиявшим на развитие теории струн КХД, было то, что свойство конфайнмеита является общим для всех калибровочных теорий с компактной калибровочной группой. Оказалось, что даже калибровочные теории с калибровочными группами ІІ (1) или 2у обладают коифайнментом [11]. В Абелевых теориях динамика электрических струн хорошо понята - например, Абрикосовские вихри в сверхпроводниках второго рода есть удерживающие струны для гипотетических Дираковских монополей. Эта аналогия является стартовой точкой для еще одной линии исследования неабелевых калибровочных теорий, с базовым предположением о том, что неабелева калибровочная группа нарушается до одной из ее Абелевых подгрупп, например, ненулевым средним какого-либо Хиггсовского поля. Удерживающая струна затем анализируется как классическое решение
в соответствующей Абелевой теории с полем Хиггса. Даже для теорий без поля Хиггса Абелевы подгруппы неабелевой калибровочной теории могут доминировать - в этом случае симметрия нарушается мягко и Абелева доминантность выполняется лишь приближенно. Такая возможность часто рассматривается как релевантная для теорий Янга-Миллса [12].
Задолго до того, как Вильсон получил линейный кварк-аитикварковый
I
потенциал из разложения сильной связи решеточной калибровочной теории, такой потенциал был предсказан исходя из анализа мезонных спектров и из дуальных моделей для резонансов в адронных реакциях. Оказалось, что мезоны ведут себя как два кварка, соединенные классической жесткой струной с ненулевым натяжением. Ещё одно свидетельство в пользу струнной структуры мезонов дало изучение резонансов в рассеянии адронов. Было обнаружено, что амплитуды рассеяния мезонов в .9 - канале в точности совпадают с амплитудами в t- канале, а также с Реджевскими траекториями. Это открытие положило начало обширным исследованиям физики, сильных взаимодействий на основе лишь аналитических свойств ^-матрицы и идей бутстрапа и перекрестной симметрии, без опоры на какую-либо конкретную квантовополевую теорию. Требования перекрестной симметрии оказались настолько строгими, что четырехточечная амплитуда рассеяния, найденная Венециано в [6], фиксируется практически однозначно и оказывается равной просто бета-функции Эйлера. Формула Венециано была вскоре обобщена на самосогласованную форму ЛГ-частичной амплитуды рассеяния, которая была интерпретирована в терминах бесконечного числа гармонических осцилляторов, описывающих движение одномерного протяженного объекта - струны [7].
Таким образом, дуальные модели и теория струи являются хорошим описанием адронной физики при низких энергиях. Если теория Янга-Миллса и КХД претендуют на полное описание сильных взаимодействий,
12
должен существовать способ получить струнные амплитуды напрямую из лагранжиана КХД. Существует несколько подходов, позволяющих в принципе решить эту проблему. Наиболее строгим результатом является вывод замкнутых функциональных уравнений для вакуумных средних петель. Вильсона на основе уравнении Швингера-Дайсона теории Янга-Миллса [И, 13]. Эти уравнения имеют одинаковую форму в теории струн и в теории Янга-Миллса. Явное решение этих уравнений может быть получено лишь в пределе большого числа цветов и выражает вакуумные средние петель Вильсона через амплитуды фермиониой теории струн [14], которая, однако, не может быть проанализирована с использованием обычных методов конформной теории ноля, так как теория на мировом листе явно содержит массовые члены..
Однако, непонятно, как идентифицировать тонкие • электрические струны, создаваемые оператором И^л(С), в основном состоянии неабелевых калибровочных теорий, и как связать свойства этих струн с дуальными моделями. Некоторое количество информации о физических свойствах струн КХД может быть извлечено из результатов решеточных вычислений. В решеточных вычислениях струны КХД видны как цилиндрические области конечного сечения с большой интенсивностью хромоэлектрического ноля, натянутые между тестовыми цветными зарядами. Натяжение таких тестовых струн, согласно правилам сумм КХД [15], равно интегралу от избытка среднего действия по сечению струны. Таким образом, тонкие струны КХД вообще не наблюдаются в решеточных вычислениях. Иногда такая струна конечной толщины интерпретируется как локализованная волновая функция настоящей тонкой струны [16], однако, до сих пор нет надежных способов извлечь какую-либо полезную информацию о свойствах таких тонких струн из решеточных вычислений. Некоторый прогресс в этом направлении был недавно достигнут в [17].
13 :
Таким образом, остается открытым вопрос, в каком смысле “электрические струны”, удерживающие цветные заряды, есть фундаментальные степени свободы калибровочных теорий. В последние 30 лет попытки ответить на этот вопрос привели к многим красивым физическим идеям, развившимся в независимые научные направления. Здесь стоит упомянуть модели “дуального сверхпроводника” [12, 18, 19], гипотезу центральной доминантности [20, 21], и, наконец, идею о соответствии между калибровочными теориями и теориями струн в пространстве анти-де-Ситтера. Несколько отличный но методологии результат - это точное соответствие между двумерными теориями Янга-Миллса и двумерными теориями струн. Все эти идеи могут быть объединены понятием дуальности между непертурбативными, сильно связанными калибровочными теориями и слабо связанными теориями струн. В настоящей Диссертации, такое дуальное описание исследуется и развивается различными аналитическими и численными методами. Перед тем, как представить собственно результаты Диссертации, вкратце напомним некоторые детали соответствия между теориями струн и калибровочными теориями.
3. Дуальность между электрическими и магнитными
зарядами
Так как при низких энергиях неабелевы калибровочные теории становятся сильно взаимодействующими, для них нет достаточно общих и надежных методов практических вычислений. С самою зарождения квантовой теории поля, единственным систематическим методом вычисления была теория возмущений. Однако, во многих случаях можно переписать интеграл по путям сильно связанной теории в терминах некоторых новых переменных, так что получившаяся квантовая теория поля является
14
слабо взаимодействующей. Наиболее известный пример - это дуальность Крамерса-Ванпье для решеточных спиновых систем. Будучи примененной к Абелевым решеточным калибровочным теориям, дуальность Крамерса-Ванпье меняет роли электрических и магнитных зарядов (монополей) [11, 22]. Рассмотрим, например, 2^ решеточную калибровочную теорию в четырехмерном Евклидовом пространстве. Производящий функционал можно записать в следующем виде:
Суммирование по кр и но гр можно поменять местами, и суммирование по гр может быть проведено точно. Теперь 2, может быть переписано как сумма по кр} однако, с ограничением: сумма кр по всем плакетам, имеющим один общий лиик, должна быть равна пулю (но модулю IV):
Это ограничение может быть разрешено, если положить кр ранным сумме (по модулю IV) некоторых переменных кс, связанных с гиперячейками решетки, по всем гиперячейкам, имеющим общий плакет р. В свою очередь, в четырех измерениях каждая гиперячейка однозначно определяет линк на дуальной решетке - то есть, на решетке с узлами в центрах гииерячеек первоначальной решетки. Поэтому если мы переписываем производящую функцию через переменные кр и разрешаем связи ^_2рэ1^р = то получаем опять решеточную калибровочную теорию переменных кс = кI*:
(6)
{^р},Х,рЭ| кр—'О Р
15
- Київ+380960830922