2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.........................................................5
1. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ УI ГРУI ОЙ ПЛАСТИНЫ С ОДНОСТОРОННИМИ РЕБРАМИ ЖЕСТКОСТИ И КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ, ИМЕЮЩЕЙ РЕБРА ЖЕСТКОСТИ.....................18
1.1. Уравнение динамики упругой прямоугольной пластины с
односторонними ребрами жесткости.........................18
1.2. Уравнение динамики упругой круглой пластины с осевой
симметрией, имеющей односторонние ребра жесткости........25
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ГИДРОУПРУГОСТИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ДЕМПФЕРА (ОПОРЫ) С У11РУГИМ ТОНКОСТЕННЫМ РЕБРИСТЫМ СТАТОРОМ И СДАВЛИВАЕМЫМ СЛОЕМ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОС ТИ ПРИ НАЛИЧИИ ВИБРОУСКОРЕНИЯ И ГАРМОНИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ ПРОТИВОДАВЛЕНИЯ В СЛОЕ ЖИДКОСТИ.................................27
2.1. Основные положения и допущения...........................27
2.2. Физическая модель гидродинамического демпфера (опоры) с
упругим тонкостенным ребристым статором и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости..............................33
2.3. Математическая модель гидродинамического демпфера (опоры) с
упругим тонкостенным ребристым статором и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости..............................37
2.4. Формулирование задачи в безразмерном виде................44
2.4.1. Переход к безразмерным переменным и выделение малых
параметров задачи...................................44
2.4.2. Гидромеханическая сила, действующая на вибратор опоры со
стороны слоя жидкости.........................48
. РЕШЕНИЕ СВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИДРОУПРУГОСТИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ДЕМ11ФЕРА (ОПОРЫ) С УПРУГИМ ТОНКОСТЕННЫМ РЕБРИСТЫМ СТАТОРОМ..............................................50
3.1. Выбор метода решения нелинейной задачи гидроупругости
геометрически нерегулярной пластины, взаимодействующей с абсолютно твердым телом через слой вязкой несжимаемой жидкости50
3.2. Решение задач гидроупругости геометрически нерегулярной пластины, взаимодействующей с абсолютно твердым телом через слой вязкой несжимаемой жидкости методом возмущений................52
3.3. Асимптотическое разложение гидромеханической силы, действующей со стороны сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости на абсолютно жесткий вибратор опоры.......................54
3.4. Определение гидродинамического давления в сдавливаемом слое вязкой несжимаемой жидкости........................................55
3.5. Определение упругих перемещений геометрически нерегулярного статора опоры......................................................58
3.6. Определение гидромеханической силы, действующей на абсолютно жесткий вибратор опоры. Закон движения вибратора опоры.............67
3.7. Амплитудные и фазовые частотные характеристики вибратора и статора опоры......................................................69
3.8. Исследование амплитудных частотных характеристик геометрически нерегулярной пластины, взаимодействующей с абсолютно твердым телом через слой вязкой несжимаемой жидкости при наличии виброускорения и гармонически изменяющегося противодавления в слое жидкости....................................................73
4. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ГИДРОУПРУГОСТИ
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ДЕМПФЕРА (ОПОРЫ) С КРУГЛЫМ УПРУГИМ РЕБРИСТЫМ СТАТОРОМ И СДАВЛИВАЕМЫМ СЛОЕМ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ..................................85
4.1. Основные положения и допущения............................85
4.2. Физическая модель гидродинамического демпфера (опоры) с
круглым упругим ребристым статором и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости......................................86
4.3. Математическая модель гидродинамического демпфера (опоры) с
круглым упругим ребристым статором и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости......................................88
4.4. Формулирование задачи в безразмерном виде.................92
4.5. Решение задач гидроупругости упругой круглой пластины,
взаимодействующей с абсолютно твердым телом через слой вязкой несжимаемой жидкости методом возмущений...................95
4.6. Амплитудные и фазовые частотные характеристики упругой круглой
пластины, взаимодействующей с абсолютно твердым телом через слой вязкой несжимаемой жидкости методом возмущений. 112
4.7. Исследование амплитудных частотных характеристик упругой круглой пластины, взаимодействующей с абсолютно твердым телом через слой вязкой несжимаемой жидкости при наличии виброускореиия и гармонически изменяющегося противодавления в
слое жидкости................................... 117
ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................ 128
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ......................................133
ПРИЛОЖЕНИЯ............................................ 148
5
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность работы Современные установки транспортных систем подвержены интенсивному воздействию вибрационных нагрузок с широким спектром частот и высокой интенсивностью воздействия и в то же время сами являются их источниками.
Совершенствование машин и механизмов транспортного машиностроения идет но пути увеличения удельной мощности за счет форсирования рабочих параметров (температура, давление, частота вращения) при одновременном снижении их металлоемкости и ужесточении требований по надежности.
Надежность и ресурс современных изделий высокой удельной мощности во многом определяются уровнем вибрации его узлов и деталей. Поэтому в машино- и приборостроении находят широкое применение различные системы виброгашения на базе гидродинамических демпферов и виброопор. В связи с этим актуальным становится проведение исследования динамики взаимодействия ребристых тонкостенных конструкций, входящих в состав гидродинамических демпферов и опор с рабочей жидкостью. Таким образом, уже на этапе проектирования систем виброгашения возникает потребность в расчете и оценке поведения системы ребристая пластина-жидкость при динамических нафузках, а это сопряжено с постановкой и решением динамической задачи гидроупругости гидродинамического демпфера, в состав которого входит ребристая тонкостенная конструкция.
Работа ряда вибрационных машин и систем гидропривода происходит в условиях взаимодействия их рабочих элементов с жидкостью [1-3]. При этом возникает необходимость в исследовании динамики взаимодействия твердых и упругих тел (элементов вибромашин), имеющих упругий подвес, со слоем вязкой несжимаемой жидкости, находящейся между ними, в условиях вибрации.
Например, с указанным случаем приходится иметь дело при
6
рассмотрении, гидродинамических демпферов, гидродинамических опор, систем охлаждения различных агрегатов и двигателей, систем гидравлического привода, смазки и подачи топлива. При этом элементы конструкции, образующие канал, испытывают существенные нагрузки со стороны жидкости. Причем в процессе эксплуатации давление жидкости может пульсировать и вызывать колебания, в том числе и резонансные, всей конструкции.
В результате этого могут наблюдаться кавитационные повреждения стенок канала [19, 22, 29, 46, 55, 59, 63, 83, 91, 97, 98, 108, 116, 128].
С учетом сказанного, можно констатировать, что исследование динамики взаимодействия пульсирующего потока жидкости с круглой пластиной, подкрепленной односторонними ребрами жесткости, является актуальной для современного машино- и приборостроения.
Следует отметить, что описанный выше вид кавитационного износа часто встречается на поверхностях деталей, работающих в различных условиях, и в жидкостях с различными физическими свойствами. Например, кавитационные разрушения, вызванные вибрацией деталей, встречаются на поверхности коренных и шатунных подшипников, на деталях топливоподающей системы, в насосах и т.д. [22, 29, 55, 83, 116]. Поэтому необходима разработка методов, позволяющих определять условия возникновения вибрационной кавитации, что напрямую связано с постановкой и решением динамических задач гидроупругости.
Таким образом, представляет несомненный как научный, так и практический интерес математическое моделирование указанных процессов, таких как постановка и решение динамических задач гидроупругости плоской ребристой пластины применительно к вибродемпферу, а также задачи гидроупругости ребристой круглой пластины, нацеленных на исследование проблем динамики и прочности в различных отраслях машино-и приборостроения.
7
На сегодняшний день известно значительное число работ [3, 4, 20, 21, 25, 27, 30, 42-45, 50-55, 48-62, 64, 67-72, 75, 77, 82, 91-98, 121-136], посвященных исследованию динамики взаимодействия твердых и упругих тонкостенных конструкций с окружающей средой. Однако в данных работах практически не рассмотрены задачи взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с геометрически нерегулярной пластинкой применительно к виброопорам и гидродемпферам.
Одной из первых работ, посвященных вопросу взаимодействия сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости с упругими стенками, можно считать работу [15]. В ней рассмотрен вопрос о постановке задачи гидроупругости применительно к тонкому слою жидкости, находящейся в щелевом канале одна из стенок которого обладает упругой податливостью.
Приближенный учет влияния упругой податливости элементов конструкций, взаимодействующих с жидкостью, применительно к жидкостному демпферу поплавковых гироскопических приборов осуществлен в работах [76, 77]. В частности, в работе [76] проведено исследование влияния упругой деформации сильфона и кронштейна выносного элемента на вибрационные погрешности акселерометра. В работе [77] проводится приближенный учет упругой податливости корпуса поплавкового акселерометра. Прогиб корпуса прибора, в данной работе, моделируется при помощи двухзвенных балок с прямолинейными звеньями и точкой излома при жесткой заделке обоих концов.
Исследованию моделирования гидроупругости пластин и оболочек посвящены работы Б.А. Антуфьева, A.C. Вольмира, А.Г. Горшкова, Э.И. Григолюка, М.А. Ильгамова, Д.А. Индейцева, А.Т. Пономарева, J1.H. Рабинского, И.М. Раппопорта, Д.В. Тарлаковского, Ф.П. Шклярчука, М. Amabiii, F. Pellicano, A.D. Lucey, J.W. Kim, R.C. Ertekin, R. Kumar и других. В работах указанных авторов рассматриваются геометрически регулярные
8
тонкостенные конструкции, заполненные жидкостью, или находящиеся в акустической среде.
Исследованию моделирования гидроупругости жидкостных демпферов с упругими геометрически регулярными элементами конструкции посвящены работы С.Ф. Коновалова, К.П. Андрейченко, Л.И. Могилевича и ряда других. С другой стороны, на сегодняшний день достаточно хорошо развита теория ребристых пластин и оболочек, которая отражена в работах Н.П. Абовского, С.А. Амбарцумяна, Г.Н. Белосточного, П.А. Жилина, Б.К. Михайлова, H.A. Назарова, Е.С. Гребня, Э.И. Григолюка, В.М. Рассудова, Е.В. Соколова и других. Одними из первых работ по исследованию взаимодействия ребристых пластин с вязкой несжимаемой жидкостью можно считать работы Л.И. Могилевича, B.C. Попова, A.A. Поповой. В них рассмотрена ребристая стенка канала (пластина) при заданном гармоническом законе движения абсолютно жесткой стенки канала или противодавления в жидкости. Для решения задачи динамики прямоугольной бесконечной в одном из направлений пластины применен метод Бубнова-Галеркина в первом приближении.
Однако, целый ряд приборов имеет в своей конструкции поплавки с технологическими ребрами жесткости. Поэтому становится актуальной постановка более общей задачи - динамической задачи гидроупругости гидродинамического демпфера (опоры) с круглым упругим ребристым статором и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости. Данная задача была рассмотрена в работах [92, 96] с помощью привлечения теории ребристых оболочек [2, 7, 8, 22, 23, 46, 47, 56, 65, 88-90, 114]. При этом показано, что наличие технологических ребер может сказываться как положительно, так и отрицательно на динамику и вибрационные погрешности приборов.
С другой стороны, в различных изделиях современного машино- и приборостроения находят широкое применение гидродинамические
9
демпферы (опоры). В частности, в слабонагруженных устройствах приборного типа получили распространение так называемые гидродинамические демпферы (виброопоры) [112], работающие за счет периодических колебаний основания (вибростенда). В связи с этим представляют интерес исследования динамики данных опор с учетом упругой податливости элементов их конструкций, взаимодействующих с рабочим слоем жидкости. При этом, для рассмотрения наиболее общего случая необходимо проведение исследования с учетом возможности подкрепления упругих элементов демпфера ребрами жесткости.
При постановке указанной задачи необходимо учесть влияние, как вязкости жидкости, так и инерции ее движения. В ранних работах [50, 76, 77, 125] инерция движения поддерживающего и демпфирующего слоя жидкости либо совсем не учитывалась, что соответствует ползущим течениям при числе Рейнольдса стремящемся к нулю, либо учитывалась с помощью метода итераций, что соответствует малому по сравнению с единицей числу Рейнольдса.
В работах [9-11] применен метод осреднения инерционных членов уравнения динамики жидкости с введением поправочных коэффициентов, учитывающих нестационарность профиля скорости. Но данный метод эффективен при малых числах Рейнольдса. Более точно учет влияния инерции жидкости, осуществлен в работах [12-15, 17, 75, 94] для режима установившихся гармонических колебаний.
Учитывая вышесказанное, следует отметить, что запросы современного машино- и приборостроения приводят к необходимости построения математических моделей сложных механических систем, состоящих из разнородных тел, и имеющих в своем составе геометрически регулярные и нерегулярные упругие тонкостенные конструкции, взаимодействующие с жидкостью. Исследование данных моделей неразрывно сопряжено с необходимостью постановки и решения динамических задач гидроупругости
10
тонкостенных конструкций подкрепленных ребрами жесткости.
Таким образом, можно определить цель исследования и сформулировать задачи исследования, направленные на постановку и решение динамических задач гидроупругости применительно к демпферам и трубопроводам, имеющим ребра жесткости.
Исследования, выполненные в работе, проводились в рамках госбюджетной научно-исследовательской работы СГТУ-5 «Исследование динамики взаимодействия пульсирующего слоя вязкой жидкости с упругими стенками канала, установленного на вибрирующем основании». Результаты работы использованы при выполнении: проекта СГТУ-236 «Исследование динамики взаимодействия упругого тонкостенного ребристого элемента конструкции с вязкой несжимаемой жидкостью», проводимого в рамках госбюджетных научно-исследовательских работ СГТУ в 2009-2012 г.г.; грантов РФФИ № 10-01-00177а, №08-01-12051-офи, а также грантов Президента РФ МД-234.2007.8, МД-55 1.2009.8.
Целью работы является разработка математических моделей гидроупругости ребристых тонкостенных конструкций, взаимодействующих с пульсирующим слоем вязкой несжимаемой жидкости и исследование на их основе динамики демпферов (виброопор).
Согласно указанной цели сформулированы следующие задачи диссертационного исследования:
1. Постановка задачи гидроупругости гидродинамического демпфера (опоры) с упругим тонкостенным геометрически нерегуляршлм статором в виде прямоугольной пластины, одна из сторон которой значительно больше другой (балки-полоски), а также круглой пластины (с односторонними ребрами жесткости), взаимодействующим через сдавливаемый слой вязкой несжимаемой жидкости с абсолютно жестким вибратором при наличии виброускорения и гармонически изменяющегося противодавления в слое жидкости;
11
2. Решение поставленных динамических задач гидроупругости гидродинамического демпфера (опоры) с упругим тонкостенным геометрически нерегулярным статором в виде прямоугольной пластины, одна из сторон которой значительно больше другой (балки-полоски), а также круглой пластины (с односторонними ребрами жесткости), взаимодействующим через сдавливаемый слой вязкой несжимаемой жидкости с абсолютно жестким вибратором при наличии виброускорсния и гармонически изменяющегося противодавления в слое жидкости;
3. Исследование напряженно-деформированного состояния ребристой конструкции и давления в жидкости.
Научная новизна. Новые научные результаты, полученные в работе:
1. Представлена новая физическая модель гидродинамического демпфера, в котором статор представляется упругой тонкостенной конструкцией, подкрепленной односторонними ребрами жесткости, вибратор считается абсолютно жестким, имеющим упругую связь; вибратор и статор взаимодействуют друг с другом через сдавливаемый слой вязкой несжимаемой жидкости в условиях вибрации основания, к которому крепится статор и пульсации давления в жидкости.
2. Предложены единые подходы, позволившие для представленных в работе физических моделей разработать математические модели, которые в общем случае, представляют собой связанную систему уравнений в частных производных, описывающих динамику тонкостенной ребристой конструкции и жидкости, и обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику абсолютно твердых тел, с соответствующими граничными условиями. Решение этих задач представлено в виде гармонических функций по времени и бесконечных рядов по координате с использованием процедуры Бубнова-Галеркина. Результаты получены для любого приближения.
3. Па основе найденного решения сформулированных в работе динамических задач гидроупругости исследованы динамические процессы в
12
гидродинамических демпферах и виброопорах, применяемых в машинах и приборах. Получены их амплитудные и фазовые частотные характеристики, найдены резонансные частоты, соответствующие условиям возможного возникновения кавитации в рабочей жидкости и значения амплитудных частотных характеристик на резонансных частотах для пяти приближений в методе Бубнова-Галеркина.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением вариационных принципов вывода уравнений, классических математических методов и известных методов возмущений, использованием основополагающих и апробированных принципов и подходов теории тонких и упругих ребристых пластин и оболочек, теоретической механики и гидромеханики. Полученные результаты, при переходе к частным случаям, полностью совпадают с известными результатами, полученными ранее другими авторами, а также не противоречат имеющимся физическим представлениям и известным экспериментальным данным.
Практическая ценность и реализация результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут найти применение при моделировании динамики сложных механических систем, включающих в себя абсолютно жесткие, геометрически нерегулярные тонкостенные конструкции и жидкость. Разработанные математические модели и подходы для решения динамических задач гидроупругости также могут быть использованы в современном машино- и приборостроении для исследования динамики и прочности машин, приборов и аппаратуры. В частности, данные методы применимы для определения резонансных частот колебаний тонкостенных конструкций, взаимодействующих с жидкостью, оценки возможности возникновения вибрационной кавитации в жидкости, и, как следствие, кавитационной коррозии элементов конструкции. Кроме того, становится возможным, оценивать вклад в явление вибрационной кавитации
13
физических свойств жидкости и тонкостенных конструкций, конструкционных и технологических особенностей машин и приборов, таких как наличие ребер жесткости на поверхности тонкостенных конструкций.
Разработанные математические модели позволяют проектировать высокоэффективные и малоэнергоёмкие механические вибраторы для различных технологических процессов, а так же гидроопоры, гидродемпферы, системы смазки и охлаждения. Например, вибраторы-кавитаторы для создания кавитационного поля в воде для её бактериологической очистки, или вибраторов для создания оптимальных условий и ускорения пропитки пористых изделий жидкостью.
Диссертация выполнена в рамках госбюджетной научно-исследовательской работы СГТУ-5 «Исследование динамики взаимодействия пульсирующего слоя вязкой жидкости с упругими стенками канала, установленного на вибрирующем основании». Результаты работы использованы при выполнении: проекта СГТУ-236 «Исследование динамики взаимодействия упругого тонкостенного ребристого элемента конструкции с вязкой несжимаемой жидкостью», проводимого в рамках госбюджетных научно-исследовательских работ СГТУ в 2009-2012 г.г.; грантов РФФИ № 10-01-00177а, №08-01-12051-офи, а также грантов Президента РФ МД-
234.2007.8, МД-551.2009.8. Справки об использовании результатов
диссертации приведены в приложении.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались, обсуждались и были одобрены на: семинарах кафедры «Теплогазоснабженис, вентиляция, водоотведение и прикладная гидрогазодинамика», XXV Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Волгоград, Волгоградский государственный технический университет, 2012), на VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование»
- Киев+380960830922