РОЗДІЛ 2
ДОСЛІДЖЕННЯ ВЕРТИКАЛЬНОЇ СИСТЕМИ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ
В цьому розділі розглядається рідинна система масового обслуговування з
послідовним обслуговуванням, об’єм незавершеної роботи в якій задовольняє
рівняння Ланжевіна. Надалі домовимось називати цю систему вертикальною,
пояснивши вибір запропонованої назви виглядом диференціальних рівнянь, які
описують функціонування даної системи.
В умовах великого завантаження (при великих інтенсивностях вхідного потоку)
досліджується гранична поведінку стаціонарного розподілу розв’язку рівняння
Ланжевіна, а також такі характеристики: тривалість перебування вимоги в
системі, загальна тривалість чекання початку обслуговування вимоги від моменту
надходження її до системи до моменту початку обслуговування її на -му
обслуговуючому пристрої, тривалість перебування вимоги у системі від моменту
надходження її в чергу на -й пристрій до моменту повного виходу з системи,
тривалість перебування вимоги на -му пристрої та в черзі на -му пристрої,
тривалість обслуговування вимоги на -му пристрої в припущенні, що система
знаходиться в стаціонарному режимі.
Опис моделі
Система, яка буде об’єктом нашого дослідження є узагальненням моделі, яка
досліджувалась в [15, c. 121] і яка детально описується в кінці підрозділу 1.1.
Вертикальна система є одноканальною рідинною системою масового обслуговування з
послідовним обслуговуванням, що містить послідовних обслуговуючих пристроїв.
Вхідний потік на перший обслуговуючий пристрій задається узагальненим
пуассонівським процесом з параметром , а далі вихід з кожного пристрою є входом
для наступного, причому швидкість обслуговування на -му обслуговуючому пристрої
прямо пропорційна об’єму незавершеної роботи на цьому пристрої. Вимога, що
надходить до системи, повинна пройти обслуговування на всіх обслуговуючих
пристроях, причому з -ю вимогою зв’язується об’єм роботи, необхідної для її
обслуговування.
Якщо позначити через , , об’єм незавершеної роботи на -му обслуговуючому
пристрої в момент часу , а через , , – швидкість обслуговування на цьому
пристрої, то об’єм незавершеної роботи
в такій системі масового обслуговування задовольняє рівняння Ланжевіна
, (2.1)
де ,
– узагальнений пуасcонівський процес із параметром та стрибками ,
, (2.2)
Оскільки тривалість перебування вимоги в системі залежить від дисципліни вибору
на обслуговування, будемо вважати, що в системі діє принцип “першим прийшов –
першим потрапив на обслуговування”.
Умови існування стаціонарного режиму у вертикальній системі
В [15, c. 133] було показано, що процес має граничний при розподіл, який не
залежить від початкового значення , тоді і тільки тоді, коли
власні значення лежать в лівій напівплощині,
, ,
та доведено, що при виконанні цих умов граничний розподіл є єдиним стаціонарним
розподілом процесу .
Додамо тільки, що умова а) еквівалентна такій умові:
що легко побачити з (2.2), а .
Поведінка стаціонарного розподілу при та інші допоміжні результати
Нехай стаціонарний розподіл процесу
співпадає з розподілом
.
Позначимо через функцію розподілу , через – математичне сподівання, де , та
через – характеристичну функцію , .
Лема 2.1. Якщо матриця неособлива, а власні значення лежать в лівій
напівплощині, то
Доведення. Покладемо
,
,
,
де – функції, визначені на спектрі матриці , тоді треба довести, що
Як відомо [8, c. 111], функції та можна представити в такому вигляді
де – значення -ї похідної від у власному значенні ,
– значення -ї похідної від у власному значенні ,
– індекс , ,
– незалежні від та матриці.
Маємо
,
Тоді
З іншого боку
,
Тоді
що й треба було довести.
Лема 2.2. Якщо стаціонарний розподіл процесу співпадає з розподілом , а , то
при вектор збігається за ймовірністю до вектора .
Доведення. Як показано в [15, c. 133], характеристична функція має вигляд
.
Звідси
=.
Позначимо
де
– кратність кореня матриці ,
– деякі сталі.
Тоді
,
де
Звідси
Позначимо
Для довільного виберемо так, що при .
Тоді
Оскільки
то
Значить, .
Враховуючи це та ті факти, що матриця неособлива, власні значення лежать в
лівій напівплощині, а отже за лемою 2.1
,
маємо
де матриця , як легко отримати з (2.2), має вигляд
Отже,
Таким чином,
Лема доведена.
Лема 2.3. Якщо , де – узагальнений пуассонівський процес, а , то при вектор
збігається за ймовірністю до вектора .
Доведення. Характеристична функція має вигляд [2, c. 17]
Таким чином,
Оскільки , маємо
що й доводить твердження леми.
Дослідження тривалості перебування та тривалості чекання початку обслуговування
вимоги у вертикальній системі в умовах великого завантаження
Припустимо, що для обслуговування вимоги, яка надходить до системи в момент
часу , потрібно одиниць роботи і що
Позначимо через тривалість перебування цієї вимоги в системі, а через –
загальну тривалість чекання початку обслуговування вимоги від моменту
надходження її до системи до моменту початку обслуговування її на -му
обслуговуючому пристрої (). Для визначення розподілів цих характеристик введемо
процес , який дорівнює об’єму роботи, виконаної на -му обслуговуючому пристрої
в момент часу . Не обмежуючи загальності, покладемо . Тоді з визначення процесу
випливає
, (2.3)
(2.4)
де
,
Перепишемо систему (2.1) у такому вигляді: