Раздел 2. Определение полей напряжений в шине при динамическом действии эксплуатационных нагрузок
Как показал проведенный анализ в подразделе 1.2 раздела 1 в существующих методиках определения ресурса пневматических шин в начале определяют поля напряжений в пневматических шинах при статическом действии эксплуатационных нагрузок (внутреннего давления; радиального усилия), которые соответствуют основному режиму эксплуатации шин. Однако методика определения полей напряжений при динамическом нагружении отсутствует. Поэтому целью теоретических разработок является:
исследования частот собственных колебаний армированного элемента пневматических шин в виде шарнирно опертых пластин с учетом анизотропных членов;
нахождение частот собственных колебаний армированного элемента пневматических шин в виде анизотропных пластин с интегральным учетом краевых условий;
определение собственных колебаний армированного элемента пневматических шин в виде ортотропных пластин с жестким защемлением по контуру;
установление частот собственных колебаний армированного элемента пневматических шин в виде пологих ортотропных оболочек;
расчет частот собственных колебаний армированного элемента пневматических шин в виде ортотропных пластин с учетом деформаций поперечного сдвига;
исследование стационарных колебаний армированного элемента пневматических шин в виде гибких ортотропных пластин и оболочек при гармоническом возбуждении.
2.1. Исследования частот собственных колебаний армированного элемента пневматических шин в виде шарнирно опертых пластин с учетом анизотропных членов
Расчет армированного элемента пневматических шин в виде шарнирно опертых анизотропных пластин и оболочек обладает недостатками, связанными с решением в тригонометрических рядах, что не удовлетворяет условиям дифференциального уравнения.
В монографиях [1, 2], посвященных анизотропным пластинам и оболочкам, решались задачи только для ортотропных пластин и оболочек. В справочнике по динамике сооружений [119] также отсутствуют решения для анизотропных пластин и оболочек. В справочном пособии [118] имеется формула для определения частоты собственных колебаний анизотропной пластины. Однако для частного случая - шарнирного опирания, эта формула преобразуется в формулу для расчета частоты свободных колебаний ортотропной пластины.
Рассмотрим собственные упругие колебания армированного элемента пневматических шин в виде прямоугольных шарнирно опертых жестких пластин и определим влияние анизотропных членов дифференциального уравнения движения. Ограничимся рассмотрением жесткой пластины
(2.1)
где Dij - изгибная жесткость; ? - частота собственных колебаний; ? - масса единицы объема.
Подчеркнутые члены в уравнении (2.1) здесь и в дальнейшем будем называть анизотропными членами.
Используя метод разделения переменных Фурье
(2.2)
получим следующее уравнение:
(2.3)
Здесь t - время.
После преобразований получим систему двух независимых уравнений
(2.4)
. (2.5)
Рассмотрим частный случай армированного элемента пневматических шин в виде шарнирно опертой пластины. Решение уравнения (2.4) принимаем в виде двойного тригонометрического ряда
(2.6)
Согласно методу Бубнова-Галеркина
(2.7)
Подставляя принятое решение (2.6) в уравнение (2.7), получим
(2.8)
Здесь
(2.9)
(2.10)
Эти интегралы в зависимости от т, т, k, r принимают следующие значения
при т = k; п = r; (2.11)
при ; (2.12)
при нечетных значениях
(т+k); (m-k); (n+r); (n-r) (2.13)
принимается при всех остальных значениях (т+k); (m-k); (n+r);
(n-r) (2.14)
Подставив вычисленные значения интегралов (2.11) - (2.14) в уравнение (2.8) и выполнив некоторые преобразования, получим частотное уравнение
(2.15)
Рассмотрим первое приближение, т.е. когда т = п = 1 и i = j = 1. Тогда (2.15) запишем в безразмерной форме
(2.16)
Очевидно, что члены уравнения (2.15) с анизотропными коэффициентами обращаются в нуль и получается частотное уравнение армированного элемента пневматических шин в виде ортотропной пластины.
Для того, чтобы выявить влияние анизотропных членов на частоты колебаний необходимо взять минимум четыре члена ряда, т.е. т, п = 1,2.
В уравнении (2.15) члены с анизотропными коэффициентами упругости будут иметь отличные от нуля величины [32] только при нечетных значениях индексов (т+i), (m-i), (n+j), (n-j).
Выберем следующие сочетания индексов:
т, пi, j1,12,21,22,12,11,22,21,1 Следовательно, во втором приближении система (2.15) сведется к четырем уравнениям, которые в безразмерной форме имеют вид
при т = п =1; i = j = 2
, (2.17)
при т = 1; п = 2; i = 2; j = 1;
, (2.18)
при т = 2; п = 1; i = 1; j = 2;
, (2.19)
при т = 2; п = 2; i = 1; j = 1;
. (2.20)
Здесь - безразмерная частота. (2.21)
, (2.22)
, (2.23)
, (2.24)
, (2.25)
, (2.26)
, (2.27)
, (2.28)
, (2.29)
. (2.30)
С учетом (2.21), (2.22) частотное уравнение (2.16) в безразмерной форме имеет вид
. (2.31)
Уравнения (2.17) - (2.20) в виде матрицы можно представить следующим образом
А11А12А21А22С11 - ?о2-С*14С22 - ?о2С*32 (2.32)С*23С33 - ?о2С*41С44 - ?о2
Приравнивая к нулю определитель системы (2.32), получаем две системы независимых уравнений. Решая их относительно частоты, получаем
, (2.33)
, (2.34)
, (2.35)
. (2.36)
С помощью ЭВМ получены величины частот для различных углов ориентации материала (типа РВК) и углов взаимного расположения армирования слоев ?о. В табл.2.1. приведены величины частот ?о квадратной пластины для первого приближения, т.е. когда пластина ортотропная. Для второго приближения приведены соотношения частот, полученных с учетом отношений анизотропных членов ?11 к