Введение
Задача об оценке собственных значений задачи Штурма-Лиувиллл за счет выбора потенциала из некоторого фиксированного класса функций часто возникает в приложениях. Например, в теории упругости в процессе поиска наиболее прочных конструкций из данного материала. Примером такой задачи служит задача
(p(x)y"(iг))" + Ау"(гг) = О,
У(0) = 1/(0) = 2/(1) = 2/41) =0,
известная как задача Лагранжа о нахождении наиболее прочной колонны заданного объема, которая является телом вращения плоской кривой вокруг некоторой прямой, расположенной в ее плоскости. Для колонны единичной длины и единичного объема прочность означает сопротивление относительно сжатия вдоль оси вращения. Пусть Л — величина нагрузки вдоль оси и и — смещение колонны в ортогональном к оси направлении. Потенциальная энергия колонны равна
I 1
Т = I EI( i)|u"(i)|2(/i ~xf |t»'(i)p<fc, (0. 1)
о о
где Цх) — второй момент площади сечения колонны и Е— модуль Юнга. Критической нагрузкой Aj называется максимальное значение А. при котором irifT = 0. Таким образом,
f EI(x)\u"[x)\zdx
А, = inf FM, F(u] = , (0. 2)
} \u'(x)\7dx
О
где //q — пространство функций, имеющих обобщенные производные до второго порядка включительно, обращающихся в нуль на концах интервала вместе со своими первыми производными, с нормой
/1 ч V*
||у(я) II 1/2(0,1} = ( / (у2(т) + у'2(х) + у"2(х)) dx\ .
1
Уравнение Эйлера — Лагранжа для функционала F имеет вид
(ОШУ + Ат/" = 0, (0. 3)
где функция у(х) удовлетворяет следующим условиям
у{0) = 0, у'(0) - 0, 2/(1) = 0, 2/'('1 ) = 0. (0. Л)
Если 5(я) — площадь сечения колонны при 0 < х < 1, то Q(x) = ES2(x) = 52(х) (считаем модуль Юнга Е постоянным и равным 1). При этом объем колонны фиксирован, т.с.
і і
J S(x)dx = J \jQ(x)dx — 1, Q[x) > 0. о о
В действительности можно рассматривать колонну с сечением произвольной формы, если все сеченил подобны одному из них. Если колонна неоднородна, то есть составлена из слоев с различными упругими свойствами, и сеченил не являются подобными, то условие на функцию Q(x) можно заменить условием
1
Q°(x)dx = 1, Q(x)> 0 (0.5)
о
і
/
при некотором сі € (0,1] (см., например, [11)).
В работе будет изучаться задача более общего вида, где параметр а -любое действительное число, не равное 0.
Исследование экстремалей функционала Е, определенного формулой (0. 2). тесно связано с изучением функционалов
і Р(х)\у’(х)\Чх /!✓(*)! Чх
0[Р, у] = -—г-------------, т У] = т2 . (0. 6)
/\у(х)\2сЬ: } 0(т)\у(х)\г<1т,
о о
и функционала
/.РМИ*)!2^ l[P, Q, у] = ^------------■ (о. 7)
/<?(*) !?/(*)\Чх
О
2
Эти функционалы представляют большой интерес как для приложений, так и для спектральной теории. Им посвящено множество работ (см., например, [1-6]). Отмстим, что подробное описание физической постановки задачи Лагранжа и истории вопроса можно найти в книге Ю.В.Егорова,
В.А. Кондратьева (6] и обзоре А.П.Сейраллна [11).
Связанная с этой постановкой задача
■у"(х) + \р(х)у(х) = О,
3,(0) — 3/(1) = о,
где р(т) — неотрицательная, суммируемая на (0,1) функция, такал что
1
I p°(z)dx = 1, о
рассматривалась Ю.В.Егоровым и В.А.Кондратьевым [5,6]. Ими были получены оценки минимального собственного значения Ai этой задачи в зависимости от а.
Из вариационного принципа следует, что первое собственное значение А: может быть найдено по формуле
IWWfd*
At = inf L[p,y] = inf *т~-----------.
>€Я‘(0,1) »€^(W)/p(x)|y(*)P(ir
0
Оценивались значения
mQ = inf A|, MQ = sup Ab
Р(*)€Ло р(я)еК0
где Rn при ос > 0 — множество неотрицательных вещественнозначных суммируемых на (0,1) функций, удовлетворяющих условию
1
J pa(x)dx as 1, (* ф 0, (0. 8)
о
при а < 0 Я« — множество положительных веществен позначных суммируемых на (0,1) функций, удовлетворяющих условию (0. 8).
Одним из результатов их работы является следующее утверждение
3
Теорема 1 . Если а > 1, то
(а _ i)i+i/e ,х 11ч
a(2a-l)i/«B (.2’2 2«) “ Ма~ 00 ’
где В — бета-функция Эйлера:
г
B(a,b) = f xa~l(l - x)b ldx.
Существуют функции и(х) € Яд (0, 1) « р(ж) € /?а такие, что
шГ Цр, у] = ф, и) = Ш0.
Если а = 1, /по Л/1 = оо и т\ = 4.
£сли 0 < а < то
.. (1 - а )1+1/а 2 /1 1\
“ «(1 - 2а)1/“ (г’2а) “
■та = 0.
Существуют функции, гг(лг) € Я01(0, 1) и р(х) 6 такие, что
inf ф, у) = ф, wj = Ма. •/
£ош а < 0, то
(1 -о),+,/а„ гп 1 1\
Ма = - т- * В и П1а ~ 0.
а:(1 — 2CV)1/« \2 2 2а)
Существуют функции u(r) € Яд(0,1) и р(х) € Ra такие, что
inf ф, у) = Ь[р, и\ = Ма.
Если 1 < а < 1, тогда Ма = оо и mQ = 0.
Точные оценим снизу наименьшего собственного значения этой задачи при а — 1 были получены также и И.М.Раппопортом [7). Подобная
4
задача, при других условиях на потенциал р(х) рассматривалась в работе К.КуралбаевоЙ [8].
В настоящей диссертации рассматривался вопрос об оценке минимального собственного значения А!^ при тех значениях а. при которых они существуют, в случае, когда граничные услопип имеют пид
т - **»( о) = о,
у'(1) + А-2?/(1) = 0,
ИЛИ
5
1 Оценки минимального собственного значения одной задачи Штурма-Лиувилля с симметричными краевыми условиями
I
/
Рассматривается следующая задача Ш ту рма-Лиу вил л л
у"(х) + Хр(х)у(х) = О, х € (0,1), (1.9)
{ 1/'(0) - fc2y(0) =0.
\ т + кг !/(1) = 0, (L10)
где р(х) — функция из класса Аа, где Аа при а > 0 — множество неотрицательных ограниченных функций, удовлетворяющих условию
1
р%т) dx = 1, а^О, (1. 11)
о
при о: < 0 Аа — множество положительных ограниченных функций, удовлетворяющих условию (1. 11).
Под решением задачи (1. 9) - (1. 10) будем понимать функцию у(х), определенную на [0,1], такую что у‘(х) — абсолютно непрерывна, и уравнение (1. 9) выполняется почти всюду на (0,1).
Исследуется зависимость минимального собственного значения Ai этой задачи от от.
Из классического вариационного принципа (см., например, [9]), следует, что минимальное собственное значение At задачи (1. 9) - (1. ]0) может быть найдено следующим образом:
Ai = inf L[p. Ы, у{2)е//Ч0.1) ^ J
где
f у*2dx -I- к2 î/2(0) + к2 у2{ 1)
Цр>у] = ---------;-------------------,
J р(х) у2 dx о
Н1(0,1) — пространство функций, определенных на (0,1), имеющих обобщенную производную первого порядка, с нормой
. 1/2
112/(я)11лЧо,1) = ( /{y2{x)+y,2(x))dx
G
В работе оцениваются значения
mQ — inf Л], Mr, ~ sup Л].
Пусть
1 2 а
= {*/(*) : ф) € У/1 (0,1), ^|у(а;)|г'<Я < оо, г/ = ^у}, (1- 12)
о
тогда, имеет место следующая Теорема 2 .
Если а > 1, то 0 < та < оо, Ма = оо, причем существуют такие функции и(х) € Я1 (0,1) и р(.х) Е .4а, что
Кх)ея
#слн q = 1, то Ш\ = н = 2А:2, причем эти оценки являются точными.
Если 0 < q < 1, то 0 < MQ < со, mQ = 0, причем существуют такие функции и(х) Е Я1 (0,1) н р(г) Е Л0, что
inf i[p,i/J = L[p,il\ = Ма.
!/(г)бП,
Если а < 0, то 0 < Ма < оо, та = 0, причем существуют такие функции и(х) Е ЯА(0.1) и р(х) Е Ла, что
inf £[p,t/j = £(р,и) = А/*.
У(*)€Я,
Доказательство.
1. Пусть а > 1. Докажем, что ЛУа = оо.
Введем функционал
1
•^М = J У2 (1х + ^21/2(0) + k2y2( 1).
о
7
Легко видеть, что выполняются неравенства
(113)
Так как
у(х)= I у'(х)(1х + у(0),
J о
то
2/2(ж) = ^^ у1 (х)(1х + у(0)^ < 2 ^У*уг(х)Лс| + 2у2(0),
У2{х)< 2 / 2/'2(я)сЬ; + 2у2(0), (1-14)
./о
/о
следовательно, в силу неравенств (1. 13), имеем
у\х) < 2/7'[у] + 2/^)1 < 2 (1 + 1) Лу], I у2 (х)ск: <2(1 + ^ Р[у]е.
Положим 1
/ \ / 0 < х < е,
Р(1) = 1 о, £ < X < 1,
где £ > 0 — малое число. Тогда 1
Iр(х)у2(х)ёх = е~° I у2(х)сЬ < 2F[^/] (1 + ^)е1 ±,
о о
следовательно,
д. = ;пГ __%!-> М
} р(х) уг{х) Лх ~ й^ячм) 2К[у] (1 + £) ’
О
А,> 4-РТ-
2(1 + А.,2)е £
Поскольку а>1,то1-^>0и
Л/а = Эйр Л! = оо.
р(х)<ЕЛ0
8
- Київ+380960830922