ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3
ГЛАВА 1. Описание мультипликаторов степенных рядов некоторых классов аналитических в поликруге функций 18
§1.1 О мультипликаторах из пространств со смешанной нормой в пространства Харди в поликруге 18
§1.2. О мультипликаторах в классы ВМОЛ, Бесова и Липшица в поликруге 43
§1.3. Об ограниченности преобразования Харди в некоторых классах аналитических функций 55
ГЛАВА 2. Ограниченные проекторы, представление функционалов и операторы Теплица в пространствах голоморфных в поли круге функций со смешанной нормой и в классах типа ВМОА 66
§2.1. Ограниченные проекторы в пространствах А™ (С/11) и Вар^({]п ) 66
§2.2. Представление линейных непрерывных функционалов в
пространствах р£*(ип) и А" 77
§2.3. Ограниченность операторов Теплица в пространствах
ВМОА^(17)и ВМОА*(И), 0 < л < 1 88
§2.4. Об операторах Теплица в пространствах (IIп) 99
Литература 106
2
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. В теории классов Харди и ее многочисленных приложениях, как впрочем и во всем комплексном анализе, существенное место занимают вопросы, возникающие при представлении голоморфных в
областях евклидова пространства Сп функций степенными рядами. Проблема описания мультипликаторов степенных рядов в пространствах аналитических функций является одной из классических, несколько результатов в этом направлении были получены еще в начале XX столетия в работах Харди и Литтлвуда (см.[1],[2]). В дальнейшем эти исследования были продолжены в многочисленных работах других математиков (см.[3]-[18], [52]). Интерес к этим задачам со временем сохраняется. Более того, в последние годы появилось большое количество работ по этой тематике. Однако случай функций нескольких переменных до сих пор остается мало исслсдованным(см.[10], [14], [52]).
Операторы Теплица //,(/) = Р+(/И), где Р+ - проектор Рисса, играют важную роль при изучении вопросов связанных с факторизацией функций, при изучении метрических проекций, при описании замкнутых идеалов в алгебрах аналитических функций и т.п. В пространствах голоморфных
функций в единичном шаре пространства Сп эти операторы исследовались в работах А.Б. Александрова, II. Ахерна, Р.Шнейдера (см.[36]). Актуально исследование подобных задач и в классах
голоморфных в поликруге [/"функций.
Возрастающая роль в математическом анализе пространств ограниченных в среднем функций (ВМС) хорошо известна. Поэтому также представляется актуальным исследование различных подпространств таких пространств, составленных из аналитических функций.
Цель работы. Целью настоящей диссертации является:
- получить полное описание мультипликаторов различных классов аналитических в поликруге функций ( со смешанной нормой, пространств Харди),
з
- исследовать действие обобщенного преобразования Харди в весовых пространствах Бергмана, в пространствах Харди и в аналитических подпространствах пространств ограниченных в среднем функций.
- изучить поведение операторов Теплица в пространствах голоморфных в поликруге функций со смешанной нормой, в классах типа В МОЛ.
Методы исследования. В диссертации применяются методы классического функционального и комплексного анализа, теории классов Харди. Существенную роль в работе играют диадические разбиения
поликруга ип\ свойства многомерных ядер Бергмана-Джрбашяна.
Научная новизна и практическая ценность. Результаты, вошедшие в диссертацию, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение за пределами чистой теории функций, в частности при исследовании уравнений в свертках.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» (Ростов-на-Дону, 1999), на конференции «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (Воронеж, 2000), на семинаре в МПГУ (руководитель: профессор Е.Л. Горин).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [54]-[60].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 7 параграфов. Работа занимает 110 страниц текста. Библиография содержит 60 наименований.
Содержание диссертации
Первая глава диссертации посвящена описанию мультипликаторов в пространстве голоморфных в поликруге функций со смешанной нормой, а
также в классах Нр , IIр - Харди и Харди-Соболсва аналитических функций в поликруге и изучению действия обобщенного преобразования
4
Харди в пространствах ВМОА^\ип^ - многомерных аналогах пространств ВМОА.
Введем некоторые обозначения и определения, необходимые для обзора результатов диссертации, содержащихся в первой главе. Пусть
ип = {г = (г\9...9г„)е Сп, = 1,...,/?} - единичный полидиск в п-
мерном комплексном пространстве Сп,
Тп ={г = (г|,...,г„)бС",|гу| = 1,7 = 1,...,д} - его остов, Н(Цп) - множество всех голоморфных в 11п функций. Как обычно Г’ = [0,1 )л, если е С”,
п
то ^ Г(а)~ известная функция Эйлера. Если
М
71
а={а\,...,ап\ ау >0,у = 1,...,я,то Г{а)=
М
71
\z-\tf = ]"~[|^ - щ\Г> Н Е Сп,у € Я, 2к ф мк, к = 1 /I.
к-\
Приведем определение дифференциального оператора дробного
-ко
порядка. Пусть у >0, / е #((/")/(::) = ^ ак2к , положим
1*1=0
(^/Ь=£ Г(&+/ + 1) Л уп
Х Л ^ГГу + ПП/с + П А
и=0Г(Г + 1)Г(/с + 1)
п
Г(/с + Г +1) = П Г(/с> + г +1)
;=1
Оказалось, что такое, несколько отличающееся от обычного, понятие дробной производной, полезно при описании мультипликаторов различных пространств аналитических в поликруге функций. Заметим, что
по определению, О0/ = /.Очевидно, что для всех /б #((/”), £>'7/(I )еЯ^/й^. Введем классы со смешанной нормой и
) Г0Л0М0РФНЫХ в поликруге ип функций:
5
е?И=-
Гє "И: \КМіА = І ]И^И'-ЛГ-'^
Т"\І*
<у
(Іт,Хг)
< ос
лгИ=-
/є
я(у"):1ИГ^ы= 1 /И^Г^ЛО
Яг
0 < р,цуа < оо, где <7/им(£) - мера Лебега на 7'я, я7? = <:/Я| ...с1Яп.
Далее, Нг(ип) - известные классы Харди в поликруге IIп.
Отметим, что пространства в единичном круге и в различных
многомерных областях изучались в работах многих авторов(см.[52]).
Классы в Кп хорошо изучены в известной монографии X. Трибеля
(см.[26]). Вместе с тем, соответствующие им классы аналитических функций в поликруге (круге) мало исследованы.
Определение. Пусть X и У - подпространства пространства Н\ ип
Скажем, что последовательность
** \аг"
является мультипликатором
или множителем вложения, действующим из X в У, если для любой функции / еХ,/(г) = ^ак2к , функция цу #(?) = У скакгк
кег!1
принадлежит У. Множество всех таких последовательностей, образующих, по определению пространство мультипликаторов, мы обозначим через
мт(х.у).
Основными результатами §1.1 главы 1 являются следующие теоремы.
Теорема 1.1. Пусть # е я(|7;,)^(г) = ^скгк ,Х = {Vй) или
1*И
X = А^^ип^,0 < шах{/?,^} <5 <со,0 < р,с/ <1,0 <а < со.
Тогда следующие условия равносильны:
1)
+ .
6
(\ m+\~a—
й?.ф-г) p<oc (01)
' rel" V }
для некоторого пи m e Nym>- + a-1,
P
В дальнейшем
|Ar|^0 + |*|s0
Ф'ц...Da■ )f(z)= Da' (...(d“"-' (z)“"/(z)))) -«<«,< »,/ = 1 n
< oo,0 ^ a < со}
H%(Un) = {feH(Un):iDaf
H
Теорема 1.2. Пусть m e N, m > —-l,g g я((/л) £(i) = У\ckzk,
P |*|ao
0 < p < \, p<(j< со. Тогда следующие условия равносильны:
'> !(■> i
W+I--
2) sup Ш f^/WV^rlll-r/ '
/•g/'M 7
Замечание. При а = /? = 0, /2 = 1 теорема 1.2 была установлена другим способом в работе М.Мателевича и М.Павловича (см.[11]). Паш способ проще, и даст больше.
В §2 гл.1 дано полное описание пространств мультипликаторов,
действующих из классов или в пространства
* < оэ (0.2)
В\ЮА^ ипу Бесова и Липшица в поликруге. Кроме того дано полное описание пространств М (Я р, ВМОА^), М у (Я р, вЦ), (Н ?, ),
О < р < 1, где \РА(и")и д/(С/" ) - классы Липшица и Бесова в поликруге
ип .Для формулировки основных утверждений параграфа введем классы голоморфных в поликруге ип функций:
7
ВМОАЛип) =
(1е/ -
/ е Я1 (и"): ||/| = зир \\т) - /(г)Г х
«"V
о-И )
*-—гтг <*«„(£)
< соЛ < 5 < со
, где
1-а2=п|]-^г.
/с=1
/е//(С/”):||/||л/? = 5ир
.-еЯ'г
ярт / ч
о ’*(*)
_ "'I - '«л
&г, ...дгм
х(1-ЫГ"Ах
х... х (] - |г„ |У”" < со, т- е N. т- > /?(- > 0, г = 1.п, ||т|| = т1 + ... + т„ |
б/(Ял) = {/еЯ(Яи): ||/||^ =
с1т 2п (н-) < со, т > /У, т б7+,0<к +со}
г л
Легко видеть, что при п= 1 ввиду известной теоремы Харди-Литтл вуда и условия Гарсиа введенные пространства ВМОА^(ип)и
дРь-А» совпадают с классами ВМОА(1!) и А^((У) Липшица-Зигмунда. Одним из основных результатов §2 является следующая теорема. Теорема 1.3. А) Пусть £ £ Я ((У" ),#(г)= < р}с/ < 1.
Тогда следующие условия равносильны
1) Ь'К Iе МТ (х, В МО А, (и")), X = А” либо Р”.
Г V
2) эир вир Г Ь,Л£/г (£)-£>'”?«(-) ус1тп(^) X
Де/П геЯ* Т„ 1 МГ /
1 ,
/л-а—(-1
х(1 - /?) Р < со,
(0.3)
где т -некоторое исло,т е N ,т > а + — 1,1 < < <*>;# п(г) = #(Яг),Я е 1п.
Р
8
Б) Пусть gєH(Un), я(г)= ^ск2 ,0 < /?,</ < І. Тогда следующие
І*И
условия равносильны
')\ск\е2г)ьМт(х,Д^-А(і/")), *-Л«либо
2) їир Бир
:eUn Re Іп
m-а—+1
х(І-Л)
< со
(0.4)
1
где /я -некоторое число, те N т>а + — 1, к; > /?.,А:,- є N,1 = 1л,
р • • •
«иы-*
Следующий результат - аналог теоремы 1.3 для пространств Харди Нг\
0 < р < 1.
Теорема 1.4. Пусть £ є //((/"), - '£с/сгк ,0 < р < 1.
|фо
Тогда следующие условия Г) и 2) в пунктах А) и Б) равносильны А) П \ск )ке/„ )е мТ [нр (і/ " ) ВМС)А, ({у"))
I
2) sup
R^J"
г
2
sup f |ETggfgi - DPgM* dmn(й
zW Л |l-2<f
т- +1
х(1 -К) р <оо,(05)
і ...
где т - некоторое число, т є N т > — 1.1 < .у < со; gp(z) = g(Rz)s Я є Г .
Р
Б) ')\ск)ке2п\еМТ[н*\рп)\Ь ^И)
2) sup sup DYg£ (г)(і — Іг,!)"4 A..(\-\zn\f,rfin x(\-R) p <oo,(0.6)
zeUn Яє/л|
где у - некоторое число, у eN у> — 1,к • є N, к • >р,
/? ./ J J'
С-, • • -О- „
9
- Київ+380960830922