Приближение функций полиномами и всплесками

Введение.
Обозначения.
одержание
ЧЧ'Ч'-,..
V *л-
. '"Ч,
39
-1-1
рядгУ&Фуш^
СОг,'чЧ-
общённ^'ттеббговЙх мно-
°сс>
^ач
40
40
47
62
1 Линейные методы с^смми
1.1 Обобщенные точки
1.2 Суммируемость рядов
жествах..............
1.3 Рост частичных сумм ряда Фурье.........
'V
1.4 Константы Лебега.......................................... 74
1.5 Принцип локализации....................................... 96
1.6 Суммируемость двойных рядов Фурье в индивидуальной точке. ИЗ
1.7 Квадратные линейные средние с гиперболическими множителями................................................. . . . . 123
1.8 Расходимость линейных методов суммирования рядов Фурье. 135
2 Периодические всплески.
2.1 ПКМА и масштабирующая последовательность..................149
2.2 Порождающая функция.......................................155
2.3 Биортогональные базисы сдвигов и пространства всплесков. 162
2.4 Разложение функций по системам всплесков..................168
2.5 Прямые и обратные теоремы..................................188
2.6 Нормы полиномов по системам всплесков......................195
2.7 Многомерные всплески......................................204
3 Приближение функций алгебраическими полиномами и квазиполиномами.
2
3.1 Полиномиальные базисы Шаудера. в пространстве С[—1,1]. . 215
3.2 Приближение квазиполиномами на выпуклых компактных мно-
' жествах.................................................239
3.3 Квазиполиномы Бернштейна..................................255
3
Введение.
Работа посвящена исследованию связей между различными аппроксима-ционными и структурными свойствами функций одной и нескольких переменных. В трех главах диссертации изучаются соответственно три аппарата приближения: тригонометрические полиномы, всплески и алгебраические полиномы.
Большая часть первой главы посвящена кратным рядам Фурье. Многие вопросы суммируемости рядов Фурье, хорошо изученные в одномерном случае, остаются открытыми для многомерного. Более того, сами одномерные постановки задач неоднозначно распространяются на кратный случай. Это связано в первую очередь с тем, что понятие суммы кратного ряда зависит от способа образования частичных сумм. Обычно рассматриваются кубические, прямоугольные или сферические суммы. Среди многочисленных математиков, изучавших такие методы суммирования, можно назвать имена: Г. Харди, Л. Тоннели, А. Зигмунд, И. Марцинке-вич, Е.М. Стейн, С. Фефферман, П. Шолин, А.А.Талалян, Ш.А.Алимов, Л.В.Жижиашвили, К.И.Бабенко, В.А. Ильин, С.В.Конягин, Р.М.Тригуб, Б.И. Голубов, Л.Д.Гоголадзе, М.Й.Дьяченко, И.Л.Блошанский. Не менее естественно рассматривать частичные суммы, состоящие из гармоник, с номерами из гомотетов некоторого фиксированного множества. Для широкого класса множеств редко удается получать конкретные результаты, т.к. геометрические свойства границы множества существенно влияют на аппроксимационные свойства соответствующих методов суммирования. В связи с этим представляет интерес изучение многогранников, которые достаточно многообразны, но их границы обладают сходными геометрическими свойствами. Суммирование рядов Фурье по многогранникам мало из-
4
учено, хотя рассматривалось в общем и частном случаях рядом авторов (Д. Херриот [5], И.К.Даугавет [15], А.Н.Подкорытов [4], С.П.Байбародов [13], Х.Беренс, И. Шу [6], Г.Травалини [16], А.А.Юдин, В.А.Юдин [17] и др). В первой главе диссертации для таких линейных методов суммирования исследуются вопросы суммируемости почти везде (§ 1.2), вычисления констант Лебега (§ 1.4) и принцип локализации (§ 1.5). С другой стороны, структурные характеристики функций одной переменной тоже неоднозначно распространяются на функции нескольких переменных. Так, например, точки Лебега имеют два естественных обобщения: х является слабой точкой Лебега функции /, если
1-МР
х является сильной точкой Лебега функции /, если
/»I А<*
ййЬй / • • 7|/(т+-/(г)| * = °’ (ол)
—Ах —к*
Ах А«*
Бир -—[ ... [ |/(я+ *) -/(я)|А < оо. (0.2) Ах>о л«*>о т ... у у
-Ах -А<х
Сильные точки Лебега были введены и изучались Э.С.Белинским [2] . Из его результатов следует, что, как и в одномерном случае, каждая такая точка принадлежит множеству сходимости многомерных сумм Фейера. Однако эти точки не наследуют другого замечательного свойства: лебегово множество любой суммируемой функции одной переменной имеет полную меру. Это свойство распространяется на слабые точки Лебега. Поэтому представляет интерес проинтерполировать эти два понятия и найти точки, для которых имеют место оба свойства. Введению таких обобщенных точек Лебега и изучению полноты меры обобщенного лебегова множества
5
посвящен § 1.1. В § 1.2 и § 1.3 соответственно исследуется суммируемость и рост частичных сумм ряда Фурье на обобщенных лебеговых множествах. В §1.6 рассматриваются линейные методы суммирования однократного ряда Фурье, ’’близкие” к частичным суммам. На такие методы распространяется теорема Колмогорова о существовании функции с расходящимся везде рядом Фурье.
В главе 2 мы предлагаем новый подход к периодическим всплескам и изучаем их аппроксимационные свойства. Всплески (wavelets) стали объектом активных исследований около десяти лет назад в связи с эффективностью их приложений и развитием теории, основанной на работах И.Мейера [42] и С.Маллата [36], где было введено понятие кратномасштабного анализа (multiresolution analysis), посредством которого удалось описать базисы всплесков в L2W и найти методы их построения. Периодические всплески стандартно определяются как периодизированные всплески в Ьг(М). Такой подход к периодическим объектам не очень естественен, тем более, что в литературе раса
зераса^^рдаал и с ь периодические всплески
(например, в работе С.К. Чуйд Х.НіМкскара £[37]), которые не подходят
!'•' %, \ % а \\
под такое определение. Определение кр^тномасштабного анализа периоди-
$\ у; \ 2 % Х\ \\
ческих функций (далее ПКМА) предлагалось рядом авторов (С.К. Чуй,
Ж.З.Ванг [38]; В.А.Желудев [39]|,9.С;г\)Н, ^3:Ли,'ІЩен, В.С.Танг [41];
*тЗ \ ^) \ У \;
А.П.Петухов [40] и др.), но по разным при\шнс^і ка основании этих опреде-
\\\ Ь\ % ' >\\
лений не удается построить аналопгсеор$и\вспдесйЬв вМы предла-
;\ I Й \ ^ \ к
гаем альтернативное определение П|С,МА^и\ исію льзуя ’Туиже схему, что и
>■' £ 1 о Н
в непериодическом случае, даем опискйие 5к-3^совТ?ериодических всплесков
і | \ У і Ц
и метод их построения (§§ 2.1-2.3). В §§ 2.% 2:5 изучаются разложения пе-
': V-! ч>) V* і
-Т/і ;
риодических функций по системам всплесков, исследуется сходимость этих
6
разложений, доказываются прямые и обратные теоремы. В § 2.6 изучается свойство квазиматричности для систем всплесков.
В главе 3 рассматривается задача, поставленная П. Л. Ульяновым [54] в 1961 г.: какой можно сделать минимальный рост степеней многочленов, образующих базис (или ортогональный базис) Шаудера в пространстве (?[а, 6]? Исследования многих авторов посвящены этой проблеме. В 1914 г. Г. Фабер [56] доказал, что не существует последовательности алгебраических многочленов Рп степени п, образующих базис Шаудера в С[а,6], В [57] Ал. А. Привалов усилил этот результат, показав, что если Рп образуют базис Шаудера в С[а, 6], то существует такое є > 0, что степень Рп не меньше п(1 4-е) для п > пр. А в [58] он установил окончательность этой оценки, построив пример полиномиального базиса Шаудера, степени которого растут не быстрее, чем п(1 4- є). Однако этот базис не был ортогональным. Параллельно рассматривалась аналогичная задача для тригонометрических полиномов. Ее удалось решить благодаря использованию всплесков. Д. Оффин, К. Осколков [47] заметили, что незначительная модификация всплесков Мейера дает ортогональный базис Шаудера, в котором степень полиномов лишь в два раза превышает минимальную. Заменив обычное всплеск-разложение на пакет всплесков, Р. А. Лоренц, А. А. Саакян [59] окончательно решили задачу для тригонометрических полиномов. Перенести этот результат на отрезок с помощью стандартного метода индуцированных функций не удается. В работе Т. Килгоре, Я. Престина, К. Селиж [60] задача решена для алгебраических многочленов, ортогональных с весом Чебышёва первого рода. Для многочленов, ортогональных без веса вопрос оставался открытым. Ее решению посвящен § 3.1. Идея построения базиса заимствована из [59]. Реализацию этой идеи осложняли следующие обстоя-
7
тельства. Определение базисов всплесков (пакетов всплесков) связано с конструкцией кратномасштабного анализа, состоящего из пространств, инвариантных относительно сдвига. При обычном понимании оператора сдвига его нельзя рассматривать на пространствах функций, заданных на отрезке, т.к. сдвиг выводит за пределы пространства. Мы вводим обобщенные операторы сдвига так, что сохраняются все необходимые свойства сдвига, в частности, сдвиг алгебраического многочлена есть многочлен той же степени. Кроме того, используется подход к периодическому кратномасштабному анализу, изложенный в § 2.1, вместо стандартного (периодизации
кратиомасштабного анализа в /^(М)). При таком подходе понятия кратномасштабного анализа и всплесков естественным образом распространяются на произвольное гильбертово пространство.
В §§ 3.2, 3.3 изучается аппроксимации функций, непрерывных на компакте. Хорошо известно, что функции, непрерывные на отрезке, могут быть приближены алгебраическими многочленами так, что вблизи концов отрезка имеет место улучшение сходимости. Этот эффект, замеченный С.М.Никольским [64], исследовался многими математиками. В современном варианте (Х.Дальгауз [65]) он формулируется так: существует последовательность линейных операторов Тп, действующих из С^[—1,1] в множество полиномов порядка п, п > Зг + 3 такая, что
К/ - Г»)м(*)| < С(г) ш. (0.3)
при всех 5 = 0,1,... ,тт(г,г - ] + 2) и х е [-1,1]. В качестве обобщения этого утверждения на функции нескольких переменных, заданные на компакте, естественно ожидать соотношения типа (0.3) с улучшением сходимости вблизи всей границы компакта. Для этой цели не годятся алгебраические многочлены. Мы получили несколько результатов такого рода,
8
используя в качестве аппарата приближения квазиполиномы.
Переходим к обзору содержания диссертации по главам.
Введем основные обозначения: ТГ*, Zd - соответственно ^-мерные ев-
клидово пространство, единичный тор и целочисленная решетка, Т - множество линейных невырожденных преобразований пространства Если / £ Ь(ил) или / 6 1/2 (Ш^), то / - преобразование Фурье функции /, если
ли / G С(А), то ca(fji) = sup |f(y) - f(x)|, где супремум берется по всем х,у G А, \х - у\ < h.
Глава 1. Линейные методы суммирования рядов Фурье.
§1.1. Обобщенные точки Лебега.
Определение 1.1. Пусть f G L(Td), h > 0, x G Td, T G T, j G Zrf_1,
определим множества точек А£(/,Т) и Л£*(/,Т) (обобщенные лебеговы множества) следующим образом: точка х принадлежит Л£(/,Т), если
f G L(Td) то f(k) - коэффициент Фурье функции / с номером k G Zd. Ес-
положим
'+
точка х принадлежит Л£‘(/, Г), если
sup sup AjIj(f,x)T) h) < oo.
h> 0 jeZd+-1
d-1
Если Aj = 2”^, то AX* (/,!') совпадает с множеством слабых точек
г=1
Лебега функции / при любом Т . Пусть Qt € Т - преобразование пространства которое меняет ролями переменные с номерами in d, положим
AC{f) = Д AC(f, Qe), AC'{f) = П AC{f, Qe)-
t— 1 c=l
Если Aj = 1, то AC*\f) совпадает с множеством сильных точек Лебега функции /. Мы будем говорить, что х есть 7о-сильная точка Лебега
(7о С Т), если ж € г П А£*(/,Г), где А,- = 1.
Те 7о
Теорема 1.2. Пусть А = {Aj};e2<j-i - монотонная последовательность положительных чисел, такая что Aj( 1 + 11°SA?I) < 00• Если / £
L(T^), Т GT, то множество А£(/,Т) имеет полную меру.
Теорема 1.5. Пусть А = - монотонная последовательность
положительных чисел, такая что Y2jezd+~l Aj < оо.Если / € £(Т*); Г £ Т, то множество AC*(f,T) имеет полную меру.
Теоремы 1.2, 1.5 говорят о том, что быстрое убывание последовательности А достаточно для того, чтобы почти псе точки принадлежали обобщенному лебегову множеству. Однако, как будет показано в следующем параграфе, при рассмотрении вопроса суммируемости кратных рядов Фурье интерес представляет как раз обобщенные лебеговы множества, соответствующие медленно убывающим или неубывающим последовательностям. В связи с этим полезно иметь необходимые условия, при которых обобщенное лебегово множество является множеством полной меры.
Теорема 1.7. Пусть А = {Aj}-eZi-\ - последовательность положительных чисел, такая чт.о для некоторого v £ {I,... ,d — 1} и некоторых
10
j*k Є Z+, к = 1,... yd, к is, выполняется соотношение
lim jAj* = oo,
j—»OO
где j* = (jl,... ,7^1, 7, • • • ijd-i)' Т°гда существует неотрицательная
функция f Є L(Td), для которой AC*(f) = 0.
§ 1.2. Суммируемость рядов Фурье на обобщенных лебеговых множествах.
Пусть W - многогранник в IRd, pw{x) = inf {Л > 0 : х Є AW}, Ф() Є С[0,1], Ф(«) = Фо(^(и)), / Є i(Td),
^,ф,„(/,х)= X] ф (£) f(k)e2"i{k,x)- (0-4)
Теорема 1.9. Пусть W - d-мерный многогранник, звездный относительно начала координат, которое является его внутренней точкой и не лежит на гранях и их продолжениях, и пусть А = - .wowo-
тонная последовательность положительных чисел. Если Фо Є С[0,1] -кусочно выпуклая функция, такая что Фо(0) = 1, Фо(1) = 0;
Е ш(ф<ь 2~‘) (г'~1 + A(La) < (О-5)
i=0
и Ф = Фо(pw), тогда для каждой / Є L(Td)
lim ож<*,„(/, х) = f(x) (0.6)
71—»OG
б каждой точке х G П A£(f.T), где Tw ~ некоторое конечное подмно-
TgTw
жесте о Т, зависящее только отi W. В частности, если
Е Лз < °°>
je zjr1
то (Х.6Д выполняется в каждой точке непрерывности функции /. Следствие. Пусть d-мерный многогранник W удовлетворяет условиям теоремы 1.9. Если Фо G С[0,1] - кусочно выпуклая функция, такая что
11
Ф0(0) = 1, Фо(1) = о, аі(Ф0) А) = О (log d~£(l + 1/А)), є > 0, и Ф = Фо(pw), то для каждой функции f Е L(Td) ее ряд Фурье суммируется методом
сгцг,ф,п почти везде.
\
Условие (0.5) в теореме 1.9 может быть заменено на
оо
Еш(фО-2~0 (і + л) < оо,
t=0
если потребовать дополнительно суммируемость функции Ф. Условие не-прохождения граней и их продолжений через начало координат не может быть опущено.
Теорема 1.18. Пусть W - d-мерный многогранник, звездный относительно начала координат, которое является его внутренней точкой и не лежит на гранях и их продолжениях, и пусть А = - моно-
тонная последовательность положительных чисел. Если Фо Є С[0,1] -кусочно выпуклая функция, такая что Фо(0) = 1, Фо(1) = О,
оо
^-Цф0,2-Ч (l + < 00,
1=0
и Ф = Фо(ри'), то для каждой функции f Є L(Td)
lim <Тіг,ф,«(/>*) = f(x)
П-ЮО
в каждой точке г AC'(f.T), где Ту/ ~ некоторое конечное подмно-
жество множества Т, зависящее только от W.
Следствие 1.19. Пусть d-мерный многогранник W удовлетворяет условиям теоремы 1.18. Если Ф0 € С[0,1] - кусочно выпуклая функция, такая что Ф0(0) = 1, Ф0(1) = О,
ш
[$оЛ) — О (log_ei (l + I) log
—1 —Є
log f1+\
, є > 0,
и Ф = Ф0(риО> пго для любой функции / Е Ь(Т^) ее ряд Фурье суммируется методом б каждой Ту?-сильной точке Лебега, где Ту/ ~ некоторое
конечное подмножество Т, зависящее только от IV.
12
В общем случае трудно дать явное описание множества Т\у в утверждениях теорем 1.9, 1.18, т.к. оно зависит от разбиения многогранника
на симплексы, используемого в доказательстве. Но для конкретных Ш это удается сделать. Например, для V/ = [—1,1]2 минимальное множество Т\у состоит из следующих четырех линейных преобразований
§1.3. Рост частичных сумм ряда Фурье.
Хорошо известно, что частичные суммы однократного ряда Фурье растут в точках Лебега как o(logn). Мы изучаем порядок роста квадратных сумм двойного ряда Фурье на обобщенных лебеговых множествах. Пусть
- ряд Фурье функции / € Ь(ТГ2), 5„(/,®) - его n-ая квадратная частичная сумма.
Теорема 1.21. Если А = {А,}^0, Aj > О,
1 А ■ А:
- < lim inf . J < lim sup —— < 1,
2 j—too Aj+\ j—*oo Aj+1
mo
([log n]—1 i \
AJ1 J 1 для всех f £ L(T2) и x 6 AC*{f);
2=0 j=о /
/[log ^]-i % \
2. для любого 7n = о I ^'Aj1 ) существует функция
\ *=о 5=о )
f € L(Т2) такая, что 0 € AC*(f) и lim sup7~1sn(/, 0) = оо.
п—>оо
Следствие. На множестве сильных точек Лебега суммы sn(f) растут как log2 п.
1 Символ log обозначает двоичный логарифм.
13
Теорема 1.23. Если А = {А,-}^0, Aj > О,
А• А •
1 < lim inf 3- < lim sup 3 < 2,
j-*oo Aj+1 ;'->oo
mo
есеж / Є L(T2) и x E A£*(f);
2. существует такая (функция / Е Ь(Т2), что О Є AC*(f) и lim sup A[\ogn]Sn(fy 0) > 0.
Tl.—У со
Теорема 1.24. Если А = {Aj}ji0, Aj > 0;
limsupAj2J < оо,
j—too
то
1- sn(f,x) = о(п) для всех / Є L(ТГ2) и х Є A£*(f);
2. для любого 7П = о(п) существует функция / Е L(T2) такая, что
О Е AC*{f) и limsup7~1sn(/, 0) = оо.
n—too
Ни теорема 1.23, ни теорема 1.24 не могут быть распространены на последовательности, удовлетворяющие условию
lim Ai-= 2. j-юо Aj+1
§ 1.4. Константы Лебега.
В этом параграфе мы рассматриваем операторы вида (0.4), действующие из C(Td) в C(Td), и изучаем поведение их норм (констант Лебега). Теорема 1.31. Пусть W - многогранник в Е(/; звездный относительно начала координат, которое не лежит на его гранях и их продолжениях;
14
n,MGN,0<a<l)<l,/i = (b—a)/M, aj = a+jh, b = 60 < bj < 6J+i < бдг = 1; p - функция, заданная na [0,00), supp<p С [0,1), Ф = (p(pw), 'ф - кусочно линейная функция с узлами в точках (0,<^(0)), j = 1,...,М,
(0,1). Тогда, если pnw(nW П 7/) С {0} U {а;}^£0 U 1710
1к^ф,п||с(т<^С(Т') “ J |Ф(01 dt
nJd
< С Rn,
(0.7)
где
М-1
j=i
а,
|у?(а) - у(0)| |у(сц) - y>(tto)|
na
^lA/k(ai)l+n f kW - 1*WIÄj log* 1(öyw + 2) + + nJ k(0“^WI^| bg'i_1(an +2) +
(|ftin-Ewn-l*ll);:|,|,-l)'t. м«) ь«*-(»+ч.
*=1 6 С - постоянная, зависящая только от W.
Следствие 1.32. В условиях теоремы 1.31, если W - многогранник с рациональными вершинами, а <р - функция ограниченной вариации, то для Rn = (var 4- к(0)|) log^^n + 1) справедливо соотношение (0.7).
В одномерном случае этот результат был получен Э.С.Белинским [33]. Следствие 1.33. В условиях теоремы 1.31, если W - многогранник с рациональными вершинами, а функция у) выпукла на [0,1), то существует а = a(W) такое, что для
*”-(;И>-Э1 + ;К®1 +
sup \<р(1 - t)\) logti"1(n+ 1) + var <p(t)
0 <t<a/n ' 0 <t<a/n
справедливо соотношение (0.7).
15
Теорему 1.31 можно применять и в том случае, если функция <р зависит от п, например к суммам Валле Пуссена
где
( 1, ь € (п - р - 1)И^,
Фжп,р(0 = , < € (п - 1)Ж \ (п - р - 1)1У,
^ 0, * £ (п - 1)Ж
Следствие 1.34. Пусть п € М, р € р < п, Ж - многогранник с рациональными вершинами в удовлетворяющий условиям теоремы 1.31. Тогда
\ogd~1(n+l)\
Мб т V/ I
«п*
11^,71,р||с(Т<*нс(т«*) = J Іф^п,р(01 ді + О
pH- 1
Теорема 1.31 и следствия к ней существенно облегчают нахождение порядка роста констант Лебега. Проиллюстрируем это на нескольких примерах.
Теорема 1.40. Пусть А - рациональное линейное невырожденное преобразование пространства К**, \\г = АТ*, п Є М, р € Ъ+, р < п. Тогда
Н^п,р||сот^с(т-0 = 0) 1о§'' + 1^+0 (іс^-1 +1^ ,
где постоянная в остаточном члене зависит только от Аид.
Теорема 1.41. Пусть А - д-мерный симплекс с рациональными вершинами, п > 1, Тогда
||^д,пд||с(РО->с(т<*) = “ “5+Т " (п + !) + ^ (п + 1)) ,
где постоянная в остаточном члене зависит только от Аид.
16
Теорема 1.42. Пусть IV - замкнутый выпуклый 2^ угольник б К2 с рацио-
нальными вершинами, симметричный относительно начала координат, ф = <р(р\\г), где <р £ (7[0,1] П С1(0,1) удовлетворяет условиям: <р(Ь) > 0; <^(1) = 0 и функции <£>'(£), (£ - 1)^(0 монотонно убывают на [0,1). Тогда
постоянная в остаточном члене зависит только от IV.
Требование рациональности вершин в теоремах 1.40, 1.41, 1.42 существенно, это следует из результатов А.Н.Подкорытова [4].
§1.5. Принцип локализации.
Классическая теорема Римана утверждает, что сходимость однократного ряда Фурье суммируемой функции в точке зависит лишь от ее поведения в сколь угодно малой окрестности этой точки. Эта теорема не распространяется на многомерный случай. Тонелли [18] построил функцию, суммируемую на Т2, которая равна нулю в некотором круге, однако ряд Фурье не сходится по Принсхейму в центре этого круга. Г.Гоффман и Ф.Лю [19] показали, что для любого множества [а, Ь) х [—1/2,1/2], —1/2 < а < Ь < 1/2 существует функция с носителем из этого множества, дифференцируемая в каждой точке, ряд Фурье которой не сходится по квадратам в начале координат. В связи с этим возникает естественная задача: как обобщить понятие окрестности, чтобы принцип локализации был справедлив для любой суммируемой функции? Ответ на этот вопрос тривиален для прямоугольных сумм: под окрестностью следует понимать крестообразную окрестность. Мы рассматриваем задачу для двойных рядов Фурье, сумми-
п
1к^,Ф,п||с(Т2)-)-С(Т2) =
1
17
рование которых производится по гомотетам некоторого многоугольника W.
Через SRw(f) обозначим частичную сумму ряда Фурье функции / Е L(Т2) с номерами гармоник из RW.
Теорема 1.46. Пусть W - i-угольиик в К2 со сторонами bj, j = 1,... ,1, звездный относительно начала координат, которое является его внутренней точкой. Если функция / Е Ь(ТГ2) тождественно равна пулю па
I
множестве Bs(W) = U {х Е IR2 : |(s>fy)| < £}, 6 > 0, то
э=1
lim sRW(f.0) = 0.
R—юс
Теорема неулучшаема в следующем смысле. Для некоторого треугольника W показано, что для любого открытого множества, имеющего непустое пересечение с одним из отрезков {х Е Т2 : 3k Е Z2, {х + к, bj) = 0}, j = 1,2,3, существует такая функция / Е L{Т2) с носителем в этом множестве, что
lim sRW(f.0) ^ 0.
Л-+ос
В связи с отсутствием принципа локализации для частичных сумм кратного ряда Фурье встает вопрос о наличии локализации для их средних на классе всех суммируемых функций или на каком-то более узком классе. Эту задачу мы рассматриваем для линейных методов суммирования двойных рядов вида
„„„(/,*) = 5> (^!ММ) /(Це»м
k£Z2 \ 71 У
где (р - кусочно выпуклая на [0,оо) функция, удовлетворяющая условиям:
supp<p С [0,1]; если i(n) <п и 1(п) —> оо, то
п—>ос
/ £{п)\ ( Л 1
Теорема 1.48. Пусть р > 1.
1. Если (р Е Lipl/р, то для метода суммирования справедлив принцип локализации в пространстве Lp{Т2).
2. Если limsupn1//p|v?(l - 1 /гг) [ = эо; то для метода суммирования cr<p,n
п—>оо
не справедлив принцип локализации в пространстве Lp(T2).
Теорема 1.49.
1. Если lim 1/n) log гг = 0, то для метода суммирования сг„п спра-
гг—>оо 1
ведлив принцип локализации в пространстве Loo(J2).
2. Если limsupiogn|^(l - 1/гс)| = оо, то для метода суммирования сг^п
п—>оо
не справедлив принцип локализации в пространстве С(Т2).
§1.6. Суммируемость двойных рядов Фурье в точке.
Пусть 7 - положительная функция, определенная и монотонно возрастающая на (1,-j-oo), / Е Ь(Т2), положим
h h
I(f,h) = I(h) = ^p-J dtl I I f(t) I dt2.
—h —h
Пусть 9Л7 обозначает В-пространство функций / Е L(Т2), для которых
lim /(/, h) = О,
h-*0
с нормой
||/||юц = sup 0<Ä<i
Если 7 ограничена, то является пространством функций, для которых точка 0 является точкой Лебега и /(0) = 0. Это пространство мы будем обозначать через Ш1.
Пусть 5П(/, я) - квадратные частичные суммы ряда Фурье функции
п
/ Е L(Т2), сгп(/, х) = т^-рг 5/ь(/, х) - средние Фейера-Марцинкевича
1 *=о
19
((С, 1)-средние по квадратам). Из теоремы 1.48 следует, что последовательность о-п(/,ж) сходится почти везде для любой / 6 L(Т2). С другой стороны, из результатов работы [2] следует, что условие / Е 9Л не является достаточным для сходимости последовательности <7П(/, 0). Таким образом, возникает задача: при каких 7 соотношение
справедливо для каждой / € ШТГ
Аналогичную задачу можно рассматривать и для более широкого класса линейных методов суммирования. Пусть А = (Ап^) - матричный метод суммирования, отображающий последовательность в последовательность. Положим АХпк = Ап* - Ап>*+1,
*=о
Следующая теорема дает ответ на поставленный вопрос. Теорема 1.56. Пусть функция 7(и) > 0 возрастает на (1,+оо),
lim сгп(/, 0) = 0
оо
ОС
< оо,
последовательность {А/;П} такова, что
lim kXkn = 0 для любого п Е N,
lim Akn — 0 для любого к Е N,
оо
sup ^ к\А А*л| < 00;
тогда
lim Un(f, 0) = 0
для всех f Е Шіу.
20
По сути дела теорема 1.56 доказывает следующее утверждение: если суммируемость методом un(f) следует из {Су 1) суммируемости по квадратам, то lim un{fyO) = 0 для каждой функции / Є 97L, где 7 удовлетворять оо
ет (1.103). В частности это выполняется для средних Чезаро-Марцинкевича (С, а)
апМ,х) = -^І2Аап-і$М’х')’ <=(Q+1) ,(а + П)-
к=о ■
и для средних Абеля-Пуассона-Марцинкевича
оо
As{f, х) = (1- е-м) X] e~2lriksk(f, х), S > 0.
Jfc=0
Теорема 1.59. Пусть ^{и) > 0 возрастает па (1,+оо),
оо
/
du
= 00,
Д7(д)
і
тогда существует положительное / Є 9Л7 такое, что
limsup A$(fy 0) = сх>. <f-*+o
§ 1.7. Квадратные линейные средние с гиперболическими множителями.
В этом параграфе изучаются линейные средние вида
1ЫМ<лг 4 У
где А (х) = (1 - х\ х1)а , а > 0.
В отличие от рассматриваемых ранее линейных методов суммирования, у которых функция А (в прежних обозначениях <р{р\у)) тождественно равна нулю на д\Уу для средних она обращается в нуль лишь в четырех точках. А.А.Кивинукк [29] изучал некоторые средние с аналогичным свойством
21
и установил, что их поведение существенно отличается, от поведения, как сумм Фурье, так и средних типа Фейера.
Теорема 1.62. Пусть а > 0, тогда
||£л,л||сг(Т1)-*С(,П) = С \cfgN + 0(1).
Теорема 1.62. Пусть а > О, тогда принцип локализации справедлив для па пространстве С (Т2), но не справедлив на пространствах Ьр(Т2) при всех р > 1.
Когда для некоторой последовательности операторов {Ьп} отсутствует обычная локализация, представляет интерес изучение так называемой обобщенной локализации (см. [30], [31]). Говорят, что для последовательности операторов {Ьп} справедлив обобщенный принцип локализации на пространстве 9Л, если для любого открытого множества Е СТ2
Пт Гдг (/, х) = О
N—>00
для всех / £ 9Я, тождественно равных нулю на Е, при почти всех х £ Е. И.Л.Блошанский [32] доказал, что обобщенный принцип локализации не справедлив для квадратных частичных сумм Фурье на пространстве и (Т2).
Теорема 1.64. Пусть а > 0, тогда обобщенный принцип локализации справедлив для Са^ па пространстве Ь\(Т2).
Суммируемость функции / не влечет сходимости средних (/) почти всюду. Существует функция / С Ь(Т2) для которой последовательность (/,х) расходится в каждой точке х.
§1.8. Расходимость линейных методов суммирования рядов Фурье.
22
В этом параграфе рассматриваются ряды Фурье функций одной переменной. Пусть / Е Ь(Т). задана на [0,1],
**«(/,*) = £ V №) 1{к)е^к\
к——т '
Вопрос СХОДИМОСТИ ПОЧТИ везде последовательности {я>,т}ш= 1 изучался многими авторами. Известно, что если выпуклая функция (р такова, что </?(0) =
1, <р( 1) =0, *>'(0) <
1
J <р(1 - и)^- < оо. (0.8)
о
то 0>,т(/, х) —> /(;х) для почти всех х. С другой стороны, А.Н.Колмогоров
Ш-+00
доказал, что для (р = 1 существует такая / £ Ь(Т), что i (в данном
случае это последовательность частных сумм Фурье) расходится в каждой точке.
Теорема 1.67. Пусть р - ограниченная кусочно выпуклая дифференцируемая на [0,1) функция,
j^yj =o(log|log(l-*)|) (* ->1-0). (0.9)
Тогда существует функция / £ £(Т), такая что
sup|cr^,w(/,x)| = оо
m
для почти всех х £ (0,1).
Из (0.8) ясно, что log log в (0.9) не может быть заменен на log1+e. Вопрос о возможности сокращения этого зазора остается открытым. Причины, не позволяющие заменить двойной логарифм на функцию с более быстрым ростом, здесь те же, что в известном усилении теоремы Колмагорова о существовании функции / £ L log log L с рядом Фурье, расходящимся в каждой точке, которое тоже не стыкуется с позитивным условием теоремы Карлесона-Ханта.
23