Скорости сходимости в эргодических теоремах

Оглавление
Введение
§0.1. Эргодцческис теоремы..................................3
§0.2. Скорости сходимости..................................10
§0.3. Колебательные характеристики сходимости..............16
§0.4. Теория внутренних множеств...........................26
§0.5. Обзор предлагаемых результатов.......................32
ГЛАВА 1. Скорости сходимости в классической индивидуальной эргодической теореме
§1.1. Рост дисперсий 05„/..................................38
§1.2. Убывание вероятностей ^-уклонений....................48
§1.3. О равномерной сходимости и ее скорости...............62
Глава 2. Скорости сходимости и колебания в других эргодических теоремах
§2.1. Скорости сходимости и колебания в других эргодических
теоремах для действия группы 2................................75
§2.2. Скорости сходимости в эргодических теоремах для действий групп 2*............................................... 82
§2.3. Скорости сходимости и колебания в эргодических теоремах для действий локально конечных групп......................89
ГЛАВА 3. Унификация эр годи чес к их теорем и мартингалов
§3.1. Мартивгальио-эргодические теоремы....................97
ГЛАВА 4. Моделирование на языке нестандартного анализа
§4.1. Необходимые сведения из теории внутренних множеств и
формулировки элементарных эргоднческих теорем................103
§4.2. Доказательство ослабленной элементарной эргодической
теоремы.....................................................112
§4.3. О переработке доказательств . . ...................131
Список ЛИТЕРАТУРЫ............................................139
2
ВВЕДЕНИЕ
§0.1. Эргодические теоремы
0.1.1. Эргодические теоремы и эргодическая проблема.
Эргодическими теоремами называют утверждения о существовании Предела временных средних вдоль траектории, а также о возможности замены этого предела на пространственное среднее.
Первые попытки обоснования такой замены ДЛЯ реальных физических систем, т.е. решения так называемой "эргодической проблемы” (на уровне строгости статистической физики своего времени) были предприняты .Л.Больцманом и Дж.Максвеллом во второй половине прошлого века. Эти попытки опирались на "эрго-дическую гипотезу” [69} о том, что траектория любой точки каждой энергетической поверхности покрывает всю эту поверхность. Очевидная (теперь) математическая некорректность такого предположения долго была неочевидна даже для самых выдающихся современников — например, для Л.Эйнштейна [39, с.6‘2, 72]. Первым на эту некорректность обратил внимание, по-видимому, А.Пуанкаре; строгое доказательство принципиальной невыполнимости эргодической гипотезы было дано в 1913 году А.Розенталем [129] и М.Пламшерелем [123].
П. и 'Г. Эренфеслы выдвинули более слабую "квазиэргодичс-скую гипотезу4 о плотности траекторий на рассматриваемой поверхности. Позднее они заметили, что этого условия, конечно же, недостаточно для возможности замены пределов временных средних (если таковые п существуют) на пространственное (см. также работу Э.Ферми [78]).
Основы современной математической модели эргодической проблемы были заложены А.Пуанкаре, предвосхитившим многие важнейшие понятия появившейся позднее теории меры. Его классическую "теорему о возвращении” можно рассматривать как предтечу последовавших позднее эргодических теорем.
Теорема Пуанкаре о возвращении. Пусть (И, А) — пространство с вероятностной мерой, Т — его автоморфизм. Тогда для любого измеримого множества ДСП, А(Л) > 0, почти вес по мере А точки и € А бесконечное число раз возвращаются в А, т.с. для каждого члена некоторой бесконечной возрастающей по-
3
слсдооапхельиости будет Т*кы £ А.
Двадцатые годы — период медленного становления понятийно го аппарата эргодической теории, вбиравшего в себя современные ему достижения теории меры и формирующейся тогда же теории операторов.
В 1931 году произошел прорыв в построении содержательной математической модели эргодической проблемы. Сначала Дж. фон Нейман, а затем Г.Бмркгоф доказали ставшие классическими арго-дические теоремы, носящие имена их авторов: "статистическую” эргодическую теорему Дж. фон Неймана [114] и "индивидуальную” теорему Дж. Бпркгофа [64]. Сам термин "эргодическая теорема" впервые появился, по-видимому, в [64] (и взят там в кавычки); в [114] он еще не употреблялся.
Если (Н, А) — пространство с вероятностной мерой, Т — его автоморфизм, то для характеристической функции \л измеримого множества .4 С (I теорема Биркгофа утверждает существование
предела Нго -хт £ \л(Тки) для п.в. точек и е Я. В так называе
п-юо к_0
мом случае эргодичности рассматриваемой динамической системы (для чего достаточно ее транзитивности, т.е. невозможности разбиения П на два измеримых инвариантных относительно Т подмножества положительной меры) этот предел равен А(Л). Последнее и означает раисиство временных средних среднему по пространству.
Физики до сих пор спорят о содержательности такой математической модели; см., например, обзор Р.Балсску состояния эрго-дичсской проблемы в [3, с.354-390]. Мнение Дж. фон Неймана по этому вопросу (1932 г.) приведено в [115]; там же впервые затрагивался вопрос о скоростях сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Бнркгофа.
Почти сразу было замечено [65], что даже в рамках рассматриваемой модели эти теоремы не решают эргодическую проблему, а лишь сводят ее к вопросу о существовании хорошей (несингулярной и эргодической) инвариантной меры у изучаемой динамической системы. Для гладких динамических систем абсолютно непрерывные относительно меры Лебега инвариантные меры можно указать применением теоремы Лиувилли [1], как это обычно и делается в учебниках по статистической физике; для других динамических систем работают теоремы Хаджана-Какутани [80] и
4
многие другие (см. обзор [8], а также, например, [38] и [26]). Вопрос об эргодичности (и перемешивании) получаемых мер является более тонким, и результаты такой общности, как теорема Лиувплля, здесь отсутствуют.
Имеются и другие математические модели эргодпческой проблемы. Эргодические теоремы для цепей Маркова также являются утверждениями о возможности замены пределов временных средних пространственным средним. Эти теоремы в настоящей работе не рассматриваются.
В целом успехи математических моделей эргод и ческой проблемы очевидны и признаются и критически настроенными по отношению к эргодической теории физиками (см, например, упоминавшийся выше обзор Р.Балеску). Некоторым другим проблемам статистической физики повезло в этом отношении значительно меньше: см., например, захватывающую и драматичную историю попыток математического обоснования второго начала термодинамики, изложенную в ['12].
0.1.2. Классические эргодические теоремы. Как пишет П.Халмош в [50], оригинальное доказательство Г.Биркгофа его эргодичсской теоремы [64] ’’запутано почти до предела”. Не удивительно поэтому, что некоторые ограничения на фазовое пространство (структура аналитического многообразия) и усредняемые функции (рассматривались лишь характеристические функции измеримых подмножеств) в условии теоремы оказались лишними. (>г большей части зтих ограничений избавился Э.Хонф а [84]. Свой окончательный вид индивидуальная эргодичсская теорема приобрела в работе А.Я.Хинчина [101], поэтому ее часто называют "теоремой Биркгофа-Хинчина”.
Эргодичгхжая теорема Биркгофа-Хинчина. Пусть (П, А) — пространство с вероятностной мерой, Т — его автоморфизм,
/ € £|(П). Тогда для п.в. точек и € П существует предо.*
£ /(7*ы) = Г И.
При этом
5
В случае метрической транзитивности (т.е. в эргодическом случае)
/» = / /<А п
для п.о. точек и) € П.
Доказанная несколько ранее (но позже опубликованная — см. соответствующие замечания в [64, 65|) теорема Дж. фон Неймана утверждает для / € ЕДО) сходимость рассматриваемых средних по норме /.3(П). Точнее, было доказано следующее несколько более общее утверждение.
Статистическая эргодическая теорема Дж. фон Неймана. Если и — унитарный оператор в коміиекспом гильбертовом пространстве и Р — оператор, проектирующий »то пространство на подпространство инвариантных относительно I) векторов. то -Ь- £ { сходится при п оо к Р/ для любого /.
Дальнейшее уточнение (с упрощением доказательства) было получено Ф.Риссом (см., например, [51)), заменившего условие унитарности оператора иа изометричность, а позднее и на условие сжатия (43). Это доказательство до сих пор является, по-видимому, самым простым и коротким. Следует упомянуть также промежуточное доказательство Э.Хопфа (84).
Доказательства аргодической теоремы Биркгофа-Хиичпна имеют более длинную историю. Первое значительное упрощение было получено А.Н.Колмогоровым [28). Долгое время одним из лучших считалось (и считается) доказательство Ф.Рисса (51), центральным пунктом которого было доказательство так называемой мак-симальной эргодической теоремы. Самое короткое ее доказательство было получено в 1965 году А.Гарсиа [79).
Максимальная эргодическая теорема Э.Хопфа. Если в
условиях теоремы Биркгофа-Хинчина Е — множество таких то-
П
чеки, д.ля которых хоть одна из сум^м £ /(Т*и) нсотрицателъ-
к=*О
на, то
/ }д\ > 0.
Е
а
В 1982 году Т.Камас (97] было опубликовано доказательство теоремы Биркгофа-Хинчнна на языке нестандартного анализа, переработкой которого И.Кацнельсон и Б.Вейсс (99) получили (стандартный, т.е. обычный) вывод этой теоремы, не опирающийся на максимальную эргодическую теорему (совсем недавно этот подход получил свое дальнейшее развитие в работе Т.Камае и М.Кина [98]). Забегая вперед, отметим, что в настоящей работе будет предложено еще одно нестандартное доказательство индивидуальной эргоднческой теоремы, имеющее мало общего со всеми перечисленными выше.
И, наконец, в 1966 году Э.Бишопом [66] было получено до-казательсгво, опирающееся на неравенство для математического ожидания числа пересечений полосы эргодическими средними (полностью аналогичное знаменитому одноименному неравенству Дж.Дуба для мартингалов — но по какой-то загадочной причине совсем редко упоминаемое).
0.1.3. Дальнейшие обобщения. За почти семьдесят лет, прошедших со времени выхода пионерских работ Дж. фон Неймана и Г.Биркгофа, было опубликовано огромное количество теорем, так или иначе обобщающих индивидуальную и статистическую эргодичсскую теорему: см., например, обзоры и монографии [8, 16, 27, 29, 51, 96, 104]. Поскольку основные результаты настоящей работы также являются уточнениями этих теорем, опишем кратко основные направления этих обобщений.
Одной из первых была опубликованная в 1936 году эргодичс-ская теорема В.В.Степанова (134] (см. также Э.Хопф [53]) для динамических систем с локально компактным сепарабельным метрическим фазовым пространством и конечной на компактных подмножествах инвариантной мерой, утверждающая сходимость п.п.
М П
средних вида 51 /(Ткы){ 51 д(Т'о>) для положительной непрерыв-*=о
ной суммируемой функции д. Подобные средине интенсивно изучались и в дальнейшем; одним из наиболее сильных результатов тут является "общая эргодическая теорема" Чакона-Орнстейна |72) о
П П
сходимости п.в. средних £ Тк// £ Т Р для положительных ежа-
к=о к=0
7
тий Т n L\ и положительных р € L\ для произвольных пространств с вероятностной мерой.
Эта же теорема Чакона- Орнсгейна усиливает ряд результатов по другому большому направлению обобщений — по эргодическим теоремам "без инвариантной меры", начало которому было положено работой В.Гуревича 1944 года [87]; обзор »того направления можно найти в [104].
Другое крупное направление обобщений образуют эргодиче-ские теоремы для действий общих групп преобразований, т.е. для динамических систем с обобщенным временем. Одна из первых работ на эту тему была опублихована А.Кальдероном в 1953 году [71]. Описание дальнейших работ в этом направлении имеется. например, в обзорах А.М.Вершина и И.П.Корифельда [7] и У.Кренгеля в [104]; см. также специальную монографию А.А.Тем-цельмана [47]. Следует отмстить, что рассматриваемое направление бурно развивается в последнее время.
Большой популярностью совсем недавно пользовался вопрос о сходимости средних по подпоследовательностям. Начало этому направлению было положено в I960 году теоремой Блюма-
Хансона [68], утверждающей, что сходимость средних £ £
Л tsO
в Lj для всех / 6 Ьг по всем строго возрастающим последовательностям равносильна условию перемешивания автоморфиз-
ма Т. Необходимые и достаточные условия сходимости "движущихся" средних вида г- £ /(7'n*+,w) приводятся в недавней ра-
* з=о
боте А.Беллоу, Р.Джонса и Дж.Розекблатта [60]; см. также статью Ж.Бургейна [70].
Имеется также большое количество работ, в которых различные эргодические теоремы и методы их доказательства переносятся на случай пространств с векторнозначными мерами; ссылки на такие работы имеются почти во всех перечисленных выше обзорах.
Несколько особняком стоят весьма многочисленные операторные обобщения статистической эргодической теоремы. Их изолированность объясняется тем, что, как замечено в [8], они "имеют четко выраженный теоретико-операторный характер и по существу далеки от собственно эргодической теории и теории меры". Такие теоремы (и соответствующие обзоры) часто встречаются в учебниках по функциональному анализу; см., например, [16, 23, 52]. Из
8
относительно новых результатов зтого направления можно отметить теорему М.Лина (106], утверждающую, в частности, что для ограниченного линейного оператора в банаховом пространстве, та-кого, что lim || || = 0, условие сходимости средних Ё Тк но
п-юо п "т* j.=o
операторной норме к ограниченному линейному оператору равносильно замкнутости образа оператора / - Т.
Как отмечается в [29], имеющиеся многочисленные обобщения классических зргодических теорем (только очень небольшая часть которых была упомянута выше) в условиях теорем Биркгофа-Хинчина и фон Неймана не дают, как правило, ничего нового. В качестве дающей важную дополнительную информацию в цитируемом обзоре приводится субаддитивная зргодичоская теорема Дж.Кингмана [102]. Она утверждает, что для сходимости и.в последовательности {^}“_, достаточно условия дт+*{и) <
9т(ь>) + 0»(7’mw); усредняемые функции дл(ш) = Е 1(Тки>) в те-
орсмс Виркгофа-Хинчина удовлетворяют болес сильному условию 5m+„(w) = ^(w) + д»{Тпы).
Сравнительно недавно, в 1992 году, было опубликовано любопытное усиление максимальной эргодической теоремы (128].
Имеется также важное уточнение теоремы Пуанкаре о возвращении. Это так называемая "Лемма Каца” |95] (1947 год): если измеримое множество £ С 1! таково, что А(£) > 0, то для функции кв(u>) = min{n > l|7^w € £} (которую естественно назвать "временем возвращения о Б") справедливо неравенство
/Ы»№<ми тпЕ).
Е
Для эргодических автоморфизмов верна * формула Каца”
/*»(»)<«* = щ-у Б
где Ав(А) = для кажД<>го измеримого .4 С П, утвержда-
юшая, что в эргодическом случае среднее время возвращения в множество Е равно 3^. Эта формула использовалась, например, в [29, 46] для иллюстрации к парадоксу Цермсло статистической
9
механики: молекулы газа, заполняющего закрытый ящик, должны, как предсказывает теорема Пуанкаре о возвращении, когда-нибудь собраться в одной из его половин, чего никто еще не наблюдал. Как следует из формулы Кана, экспериментатор просто не доживет до конца подобного эксперимента: время возвращения имеет тут порядок 10» ((46]).
По схожим причинам следует признать несостоятельным и один из аргументов Р.Палсску, которыми в упоминавшемся уже обзоре (3, с.354-390] обосновывается утверждение о том, что "эрго-дическая теорема может быть необходимой для обоснования статистической механики, но, возможно, не является достаточной". При обсуждении известной теоремы Я.Г.Сипая (45] о перемешивании (и, следовательно, эргодичмости) системы N > 2 жестких сфер, заключенных в ящике с жесткими стенками, Р. Бал секу замечает, что "некоторые наиболее важные свойства материи ... можно понять только как свойства очень большой системы", каковой система "двух биллиардных шаров на столе” ие является. Между тем, как п в предыдущем эксперименте, никаких ощутимых проявлений эргодичности при N = 2 Экспериментатору просто не дождаться.
§0.2. Скорости сходимости
0.2.0. Впервые вопрос о скоростях сходимости в эргодиче-ских теоремах рассматривался Дж. фон Нейманом в 1932 году (115]. Было замечено, что оригинальное доказательство [114] статистической эр годе! ческой теоремы дает возможность "численной оценки скорости сходимости”, в то время как из доказательства Г.Биркгофа индивидуальной эргодической теоремы такая информация ие извлекается.
Как хорошо известно специалистам, невозможно получить сколько-нибудь общие (т.е. равномерные, зависящие только от усредняемой функции) оценки этих скоростей. Обзору соответствующих запрещающих примеров почти целиком посвящен небольшой раздел "Скорости сходимости" в монографии У.Кренгеля "Эргодяческие теоремы" (104, с. 14-15]. Основная цель диссертации — получение положительных результатов по скоростям сходимости и по тесно примыкающему вопросу о колебательном поведении средних в раз-
10
личных эргодических теоремах.
Система обозначений. Пусть (П, Л) — пространство с вероятностной мерой, Т — его автоморфизм. Для каждой / 6 ^(Я) обозначим ^
5-/-Е/«т* « Л/=-5п/.
*-0 "
Тогда индивидуальная эргодическая теорема утверждает существование п.в. предела
и равенство //</А = //"«/А.
Через 6/т обозначают (унитарный) оператор, действующий п (гильбертовом) пространстве Щ£1) по формуле 6/т/ = / о Т. Статистическая эргодпчесхая теорема утверждает существование предела п1нп ^ 0>/, равного /*, причем /* оказывасгся ортого-
нальной проекцией / на подпрострапство неподвижных векторов оператора 6/г. Через 6*/ будем обозначать корреляционные коэффициенты. т.е. скалярные произведения (£/£/, /). Заметим, что они зависят не только от /, но и от Т, как п спектральная мера <т/ — такая конечная борелевс.кая мера на единичной окружности, что
при всех целых к. В эр годи чех кой теории последний интеграл обычно берется по окружности единичной длины, в теории вероятностей — единичного радиуса. Пам здесь удобнее указанный выше второй вариант. Отметим вытекающую из обсуждаемой формулы прямую связь между {6*4/} и коэффициентами Фурье меры <7/, часто используемую в дальнейшем.
0.2.2. О равномерности оценок. Вопрос о равномерности получаемых оценок является настолько больным для скоростных характеристик сходимости, что иногда (103],1104] даже пишут, что нет скорости сходимости в эргодических теоремах. Между тем, для колебательных характеристик сходимости этот вопрос так остро ас стоит. Следующий совсем простой пример поясняет, п первом приближении, в чем тут дело.
11
Пусть пространство с мерой — окружность единичной длины с мерой Лебега, / — характеристическая функция се правой половинки. Для каждого натурального N разобьем нашу окружноегь на 2N равггых (полуоткрытых) дуг, по Лг в каждой ее половинке, и рассмотрим автоморфизм Тдг периода 2ЛГ, сдвигающий каждую из этих дуг в соседнюю против часовой стрелки.
Тогда, как нетрудно видеть, скорость сходимости средних к пределу /* = 1/2, как эту скорость ни определяй, зависит от N: чем больше .\\ тем медленнее сходимость. Т.е. ист равномерной по {Ts)n оценки. Между тем, колебательный характер сходимости от N почти не зависит.
Уже этот тривиальный пример показывает, что нельзя давать оценки скорости сходимости в зргодических теоремах, зависящие только от усредняемой функции / и не зависящие от выбора автоморфизма Т (т.е. равномерные по группе автоморфизмов). Напротив, все (рассматриваемые в диссертации) колебательные характеристики допускают такую оценку, равномерную к тому же еще и по шару в ip, т.е. зависящую только от ||/||р и ни от чего больше.
Болес глубохий анализ показывает, что дело со скоростями сходимости обстоит еще хуже. Оказывается, уже для любого отдельно взятого эргодического автоморфизма пространства Лебега нет оценок скоростей сходимости, равномерных по ||/||р (даже в классе характеристических функций), хак эти скорости ни определяй.
А именно, как обнаружили Г.Халаш и У.Кренгель (см. также Del Juuco, Rosenblatt [75]), имеет место следующее утверждение.
Теорема 1 (Halasz (81), Krengel [103]). Для любого зргодическо-го автоморфизма отрезка с мерой Лебега можно подобрать ха-рактсристичсскис функции со сколь угодно быстрой и сколь угодно медленной скоростями сходимости в арготической теорелке:
1) Для любой (сколь угодно медленно) монотонно стремящейся к 6ccKOHc\fwcrnu посмдовательности {оп}^11, fli > 2, найдется подмножество А отрезка любой наперед заданной меры А(А), такое, что
I Мха) - т |< Ь.
п.в. для всех п.
2) Для любой (сколь угодно медленно) стремящейся к пулю последовательности положительных чисел {6n}£Lt найдется под-
12
множество В отрезка, Х{В) € (0,1), такое, что
ton I -Мхе) ~ х(в) 1= 00 п-8-U 1
для всех р € (1, оо).
Позднее Г.О’Брайен [118] показал, что для любой последовательности положительных чисел {tn}*„ удовлетворяющей условиям
1) lim Ьк = со
U—»00
2) lim inf — = О
«-♦OÔ п
можно построить эргодичсский автоморфизм Т и {+1, -1 }-значиую функцию / с Iim6up6^!5r./ = 1 и.в., такую, что / и ( —/) (а потому
н все {/ о Tk}k и {-/ о Г*}*) имеют одинаковые функции распределения (и, следовательно, lim inf b~'Snf = -1 п.в.). Условие
M-*pô
(1) является необходимым для построения соответствующего примера, условие (2) — ие необходимо, но и не может быть совсем опушено [118].
Некоторые другие результаты на ату тему можно найти в [104]. Приведенные выше отрицательные результаты не оставляют никакой надежды на получение оценок скоростей сходимости в эр-годпчсских теоремах, зависящих только от усредняемой функции /. Между- тем, для каждой пары (/,Г) сходимость с какими-то (пусть капризными) скоростями имеет место, и имеет смысл вопрос об их оценке — для разумных постановок вопроса.
Оказывается, в случае / g L2 интересную информацию о скоростях сходимости удается извлекать из свойств спектральной меры <7/ (например, из ее концентрации в окрестности нуля), или из свойств корреляционных коэффициентов {Ь*/} (например, из скорости их убывания — если они стремятся к нулю). Понятно, что ни (7/, ни {bnf} не определяются свойствами одной только функции /, какими бы хорошими эти свойства не были, а зависят еще
13